পাঠ ১ / ১৩অনুচ্ছেদ ২.১–২.৩

স্কেলার ও ভেক্টর রাশি, ভেক্টরের প্রকাশ ও বিশেষ ভেক্টরScalars, vectors, notation & special vectors

রোজ সকালে তুমি বাড়ি থেকে কলেজে যাও। রাস্তা ঘুরে ঘুরে গেছে — বাজার পেরিয়ে, মাঠের পাশ দিয়ে, পুকুর ঘুরে। মোট কত হাঁটলে? আর কলেজটা আসলে তোমার বাড়ি থেকে কত দূরে, কোন দিকে? নিচের মানচিত্রে হাঁটা মানুষটিকে টেনে নিজে দেখো:

হাঁটো (walk)

অতিক্রান্ত দূরত্ব (distance) — স্কেলার0 m

সরণের মান (displacement) — ভেক্টর0 m

সরণের দিক: উত্তর থেকে ঘড়ির কাঁটার দিকে (bearing)নেই (undefined)

হাঁটা মানুষটিকে (walker) টেনে রাস্তা ধরে কলেজের দিকে নিয়ে যাও, বা নিচের স্লাইডার সরাও।

800 m হাঁটলে, তবু কমলা তীরটি মাত্র 300 m — কেন? আর আবার বাড়ি ফিরে এলে তীরটি একটি বিন্দু হয়ে যায় কেন? এর উত্তর লুকিয়ে আছে দুই রকম রাশিতে: যাদের শুধু মান আছে, আর যাদের মানের সাথে দিকও আছে।

এই পাঠে ধাপে ধাপে এগোব:

ভৌত রাশি (physical quantity): স্কেলার (scalar) আর ভেক্টর (vector)
ভেক্টর লেখা আর আঁকা — চিহ্ন (notation) ও তীর
ভৌত ভেক্টরের প্রকাশ — বল, সরণ, ক্ষেত্র ভেক্টর (area vector)
একক ভেক্টর (unit vector) আর শূন্য ভেক্টর (null vector)
ভেক্টরের সম্পর্ক — সমান, বিপরীত, সমমুখী, সমরেখ …
অবস্থান ভেক্টর (position vector) আর সরণ (displacement)
পোলার (polar) আর অক্ষীয় (axial) ভেক্টর
এবার নিজে করে দেখো — ভেক্টর তীর ল্যাব (vector arrow lab)

ধাপ ১: স্কেলার আর ভেক্টর রাশি

যা মাপা যায়, তা-ই ভৌত রাশি (physical quantity) — ভর, সময়, বল, বেগ … প্রতিটি মাপের একটি মান (magnitude) থাকে: একটি সংখ্যা আর একক, যেমন 5 kg বা 20 m/s।

স্কেলার রাশি (scalar quantity): শুধু মান দিয়েই পুরোপুরি বোঝা যায়। যেমন ভর (mass), সময় (time), তাপমাত্রা (temperature), দ্রুতি (speed), কাজ (work), শক্তি (energy), তড়িৎ বিভব (electric potential)। এদের যোগ সাধারণ পাটিগণিতের নিয়মে: 2 kg + 3 kg = 5 kg।
ভেক্টর রাশি (vector quantity): মান এবং দিক (direction) দুটোই লাগে, আর এরা ভেক্টর যোগের নিয়ম (vector addition law) মেনে যোগ হয়। যেমন সরণ (displacement), বেগ (velocity), ত্বরণ (acceleration), বল (force), ওজন (weight), ভরবেগ (momentum), টর্ক (torque)।

“10 N বল প্রয়োগ করো” বললে কাজ শেষ হয় না — উত্তরে ঠেলবে, না নিচে চাপবে? দিক না জানলে ফল জানা যায় না। কিন্তু “10 kg চাল” বললে আর কিছু জিজ্ঞেস করতে হয় না।

দিক থাকলেই কি ভেক্টর? না। তড়িৎ প্রবাহের (electric current) একটি দিক আছে — তার বরাবর এক দিকে চলে। কিন্তু কোনো সংযোগবিন্দুতে (junction) 3 A আর 4 A প্রবাহ যেকোনো কোণে এসে মিলুক, বেরিয়ে যায় মোট 7 A। ভেক্টর হলে 90° কোণে এদের লব্ধি হতো

\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\ \text{A} \neq 7\ \text{A}

তাই তড়িৎ প্রবাহ ভেক্টর যোগ মানে না — এটি স্কেলার। মনে রাখো: ভেক্টর হতে দুটি শর্তই লাগে — দিক থাকা, আর ভেক্টর নিয়মে যোগ হওয়া।

নিচের কার্ডগুলো ঠিক ঝুড়িতে ফেলো। ভুল করলে কার্ড ফিরে আসবে, সাথে কারণ:

ভর(mass) · কার্ড 1 / 12

কার্ডটি কোন ঝুড়িতে যাবে? বোতামে চাপ দাও। প্রশ্ন একটাই: মান ছাড়াও দিক লাগে কি, আর ভেক্টরের মতো যোগ হয় কি?

নিজে যাচাই করো

নিচের কোন জোড়ার দুটিই ভেক্টর রাশি?

ধাপ ২: ভেক্টর লেখা আর আঁকা

ভেক্টর বোঝাতে অক্ষরের ওপর তীর দেওয়া হয়: $\vec{A}$ (ছাপা বইয়ে মোটা অক্ষরে A, হাতে লিখলে তীর বা নিচে দাগ)। শুধু মান বোঝাতে লেখা হয় $|\vec{A}|$ বা সাধারণ অক্ষরে $A$ । মান সবসময় ধনাত্মক বা শূন্য, কখনো ঋণাত্মক নয়।

ছবিতে ভেক্টর একটি তীর (arrow): যেখান থেকে শুরু তা পাদবিন্দু (tail), যেখানে মাথা তা শীর্ষবিন্দু (head)। একটি স্কেল ঠিক করে তীরের দৈর্ঘ্য মানের সমানুপাতিক আঁকা হয়, আর একটি রেফারেন্স অক্ষের (reference axis) সাথে কোণ দিয়ে দিক বলা হয়।

তীরের দৈর্ঘ্য স্কেল মেনে মান দেখায় (যেমন 1 cm = 10 N), আর রেফারেন্স অক্ষের সাথে কোণ θ দিক দেখায়।

O থেকে P পর্যন্ত তীরকে লেখা হয় $\vec{OP}$ । উল্টো দিকে, P থেকে O পর্যন্ত তীর $\vec{PO}$ — মান একই, দিক উল্টো, তাই $\vec{PO} = -\vec{OP}$ ।

ধাপ ৩: ভৌত ভেক্টরের প্রকাশ

ভৌত রাশির সম্পর্ক লিখতেও ভেক্টর লাগে। যেমন নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র:

\vec{F} = m\vec{a}

ভর $m$ একটি ধনাত্মক স্কেলার, তাই বল আর ত্বরণ সবসময় একই দিকে। একইভাবে সরণ $\vec{s}$ , বেগ $\vec{v}$ , ভরবেগ $\vec{p} = m\vec{v}$ ।

ঘূর্ণনের সাথে জড়িত কিছু ভেক্টরের নাম এখন জেনে রাখো — এদের হিসাব শিখবে ভেক্টর গুণনের (cross product) পাঠে:

টর্ক (torque): $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
রৈখিক ও কৌণিক বেগ (angular velocity): $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ , $\vec{\omega}$ -এর দিক ঘূর্ণন অক্ষ বরাবর, ডান হাতি স্ক্রু নিয়মে (right-hand screw rule)
কৌণিক ভরবেগ (angular momentum): $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$

ক্ষেত্র ভেক্টর (area vector): একটি সমতল তলের ক্ষেত্রফল $A$ একটি স্কেলার। কিন্তু তলটি কোন দিকে মুখ করে আছে, সেটিও অনেক সময় দরকার (যেমন জানালা দিয়ে কতটা বাতাস বা আলো ঢুকবে)। তাই তলের লম্ব (normal) বরাবর একক ভেক্টর $\hat{n}$ নিয়ে লেখা হয় $\vec{A} = A\hat{n}$ — এর মান ক্ষেত্রফল, দিক তলের লম্ব বরাবর।

বল, সরণ, বেগের দিক চোখে দেখা যায়। ক্ষেত্রফলের দিক ধরা হয় তলের লম্ব (normal) বরাবর। চাকা যেদিকে ঘোরে, একটি ডান হাতি স্ক্রু (right-hand screw) সেদিকে ঘোরালে স্ক্রু যেদিকে এগোয় — সেটিই ω-এর দিক।

নিজে যাচাই করো

একটি টেবিলের ওপরের তল অনুভূমিক, ক্ষেত্রফল 2 m²। এর ক্ষেত্র ভেক্টরের দিক কোনটি?

ধাপ ৪: একক ভেক্টর আর শূন্য ভেক্টর

একক ভেক্টর (unit vector): যে ভেক্টরের মান 1, তা শুধু দিক জানায়। কোনো ভেক্টরকে তার মান দিয়ে ভাগ করলে তার দিক বরাবর একক ভেক্টর পাই:

\hat{a} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}, \qquad \vec{A} = A\,\hat{a}

অর্থাৎ যেকোনো ভেক্টর = মান × দিক। x, y, z অক্ষ বরাবর একক ভেক্টরের বিশেষ নাম: $\hat{i}$ , $\hat{j}$ , $\hat{k}$ — এদের বলে আয়ত একক ভেক্টর (rectangular unit vectors)। যেমন $\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ হলে

|\vec{A}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, \qquad \hat{a} = \frac{3\hat{i} + 4\hat{j}}{5} = 0.6\,\hat{i} + 0.8\,\hat{j}

যে ভেক্টরের মান শূন্য নয়, তাকে প্রকৃত ভেক্টর (proper vector) বলে।

শূন্য ভেক্টর (null vector), $\vec{0}$ : মান শূন্য, আর কোনো নির্দিষ্ট দিক নেই। কোথায় পাই?

একই ভেক্টর থেকে নিজেকে বাদ দিলে: $\vec{A} - \vec{A} = \vec{A} + (-\vec{A}) = \vec{0}$
বন্ধ পথে ঘুরে শুরুর বিন্দুতে ফিরলে মোট সরণ — শুরুর মানচিত্রের ফিরতি পথটি মনে করো
সুষম বেগে (uniform velocity) চলা বস্তুর ত্বরণ
দুটি সমান্তরাল ভেক্টরের ক্রস গুণফল: $\vec{A} \times \vec{A} = \vec{0}$

শূন্য ভেক্টরের গুরুত্ব: সংখ্যার জগতে 0 যেমন, ভেক্টরের জগতে $\vec{0}$ তেমন। $\vec{A} + \vec{0} = \vec{A}$ ; আর দুটি ভেক্টরের যোগফল শূন্য হলে বোঝা যায় তারা সমান ও বিপরীত — যেমন কোনো বস্তুর ওপর সব বলের লব্ধি $\vec{0}$ হলে বস্তুটি সাম্যাবস্থায় (equilibrium) থাকে। তবে মনে রাখো: শূন্য ভেক্টরের একক ভেক্টর বানানো যায় না — শূন্য দিয়ে ভাগ করা যায় না।

বিপ্রতীপ ভেক্টর (reciprocal vector): বইয়ের সংজ্ঞায়, কোনো ভেক্টরের সমান্তরাল (একই দিকে) কিন্তু মান তার বিপরীত (1/A)। যেমন $5\hat{i}$ -এর বিপ্রতীপ ভেক্টর $\tfrac{1}{5}\hat{i} = 0.2\,\hat{i}$ ।

নিচে A-এর শীর্ষবিন্দু টেনে ঘোরাও, তারপর বোতামগুলো একে একে চালু করো:

A = (তীরের শীর্ষ টানো)4î + 3ĵ

মান |A| (magnitude), +x থেকে কোণ5.00 · 36.9°

একক ভেক্টর â = A/|A|0.8î + 0.6ĵ

বিপ্রতীপ (reciprocal), মান 1/|A|0.200

A-এর শীর্ষবিন্দু (tip) টেনে ঘোরাও। â-এর দৈর্ঘ্য সবসময় 1 থাকে — শুধু দিক জানায়।

নিজে যাচাই করো

A = 6î − 8ĵ হলে A-এর দিকে একক ভেক্টর কোনটি?

ধাপ ৫: ভেক্টরের সম্পর্ক

দুই বা ততোধিক ভেক্টরের মধ্যে সম্পর্ক দেখে তাদের নাম দেওয়া হয়:

নাম	মানে
সমান ভেক্টর (equal vectors)	মান ও দিক দুটোই এক — কোথায় আঁকা, তা নয়
মুক্ত ভেক্টর (free vector)	পাদবিন্দু যেকোনো জায়গায় সরানো যায়, মান-দিক না বদলালে সমানই থাকে (যেমন সুষম বেগ)
বিপরীত বা ঋণাত্মক ভেক্টর (negative vector), $-\vec{A}$	মান এক, দিক ঠিক উল্টো
সমমুখী ভেক্টর (like vectors)	সমান্তরাল, একই দিকে; মান আলাদা হতে পারে
বিপরীতমুখী ভেক্টর (unlike vectors)	সমান্তরাল, উল্টো দিকে; মান আলাদা হতে পারে
সমরেখ ভেক্টর (collinear vectors)	একই রেখা বরাবর ক্রিয়া করে
সমতলীয় ভেক্টর (coplanar vectors)	সবগুলো একই সমতলে
সমপ্রারম্ভিক ভেক্টর (co-initial vectors)	সবার পাদবিন্দু একই
সীমাবদ্ধ ভেক্টর (localized vector)	পাদবিন্দু নির্দিষ্ট, সরানো যায় না — যেমন অবস্থান ভেক্টর

নীল = A, সবুজ = B। “সমান” হতে একই জায়গায় থাকতে হয় না — মান আর দিক মিললেই হলো।

একটি গুরুত্বপূর্ণ ফল: $\vec{A} + \vec{B} = \vec{0}$ হতে হলে $\vec{B} = -\vec{A}$ হতেই হবে — মান সমান, দিক উল্টো। তাই $|\vec{A}| \neq |\vec{B}|$ হলে দুটি ভেক্টরের যোগফল কখনো শূন্য হতে পারে না।

নিজে যাচাই করো

A = 2î + 3ĵ আর B = −4î − 6ĵ। এদের সম্পর্ক কী?

ধাপ ৬: অবস্থান ভেক্টর আর সরণ

একটি নির্দিষ্ট বিন্দু (মূলবিন্দু, origin O) থেকে কোনো বিন্দু P পর্যন্ত তীরকে P-এর অবস্থান ভেক্টর (position vector) বলে। P-এর স্থানাঙ্ক (x, y, z) হলে

\vec{r} = \vec{OP} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}, \qquad r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

এর মান $r$ হলো O থেকে P-এর দূরত্ব — কিন্তু ভেক্টরটি নিজে দূরত্ব নয়, দূরত্ব তার মান মাত্র। একে ব্যাসার্ধ ভেক্টরও (radius vector) বলে।

কোনো বস্তু $P_1$ থেকে $P_2$ -তে গেলে তার সরণ (displacement) হলো অবস্থান ভেক্টরের পরিবর্তন:

\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1

এটি শুধু শুরু আর শেষ বিন্দুর ওপর নির্ভর করে, কোন পথে গেলে তার ওপর নয়। আর দূরত্ব (distance) হলো আসলে যে পথ অতিক্রম করা হলো তার দৈর্ঘ্য — একটি স্কেলার, যা কখনো কমে না। তাই দূরত্ব ≥ |সরণ|; সমান হয় শুধু সোজা পথে এক দিকে চললে।

অবস্থান ভেক্টর (position vector) মূলবিন্দু থেকে বিন্দু পর্যন্ত। সরণ (displacement) Δr = r₂ − r₁ — যে পথেই যাও, একই। দূরত্ব হলো পথের দৈর্ঘ্য, একটি স্কেলার।

উদাহরণ: P(−3, 4, 5) আর Q(3, −2, 4) বিন্দু দুটির জন্য

\vec{PQ} = \vec{r}_Q - \vec{r}_P = (3+3)\hat{i} + (-2-4)\hat{j} + (4-5)\hat{k} = 6\hat{i} - 6\hat{j} - \hat{k}

|\vec{PQ}| = \sqrt{6^2 + 6^2 + 1^2} = \sqrt{73} \approx 8.54\ \text{unit}

নিজে যাচাই করো

একজন দৌড়বিদ 400 m বৃত্তাকার ট্র্যাকে ঠিক একবার পুরো ঘুরে শুরুর জায়গায় ফিরল। দূরত্ব আর সরণ কত?

ধাপ ৭: পোলার আর অক্ষীয় ভেক্টর

পোলার ভেক্টর (polar vector): ঘূর্ণনের সাথে সম্পর্কিত নয়; দিক সরলরেখা বরাবর — সরণ, বেগ, বল, ত্বরণ।
অক্ষীয় ভেক্টর (axial vector): ঘূর্ণনের সাথে সম্পর্কিত; দিক ঘূর্ণন অক্ষ বরাবর, ডান হাতি স্ক্রু নিয়মে — কৌণিক বেগ $\vec{\omega}$ , টর্ক $\vec{\tau}$ , কৌণিক ভরবেগ $\vec{L}$ ।

এটিই বোর্ডের সংজ্ঞা — পরীক্ষায় এভাবেই লিখো। একটু গভীরে: অক্ষীয় ভেক্টর আসে দুটি পোলার ভেক্টরের ক্রস গুণফল থেকে (যেমন $\vec{r} \times \vec{F}$ ), আর আয়নায় প্রতিফলনে এরা পোলার ভেক্টরের মতো উল্টে যায় না — তাই এদের ছদ্মভেক্টরও (pseudovector) বলে।

নিজে যাচাই করো

নিচের কোনটি অক্ষীয় (axial) ভেক্টর?

ধাপ ৮: এবার নিজে করে দেখো

নিচের গ্রিড বোর্ডে নিজের তীর আঁকো:

তীরের শীর্ষবিন্দু (tip) বা পাদবিন্দু (tail) টেনে আকার বদলাও; তীরের মাঝখান টেনে পুরো তীর সরাও।
+ তীর দিয়ে সর্বোচ্চ 4টি তীর নাও। নিচের সারণিতে প্রতিটির উপাংশ (components), মান, +x অক্ষের সাথে কোণ আর একক ভেক্টর দেখাবে।
তীরগুলোর মধ্যে সম্পর্ক (সমান, বিপরীত, সমমুখী, সমরেখ, সমপ্রারম্ভিক) নিজে থেকেই লেখা হবে; যোগফল (sum) চালু করলে সব তীরের লব্ধি কমলা রঙে দেখাবে।
চ্যালেঞ্জগুলো শেষ করো, আর খাতায় লেখো চেপে মাপগুলো পর্যবেক্ষণ খাতায় (observation notebook) রাখো।

ভেক্টর তীর ল্যাব

Vector arrow lab — magnitude, direction, special vectors

↗

শীর্ষবিন্দু (tip, ভরাট বৃত্ত) বা পাদবিন্দু (tail, ফাঁপা বৃত্ত) টানো; তীরের মাঝখান টানলে পুরো তীর সরে যায়, মান-দিক বদলায় না।

তীর	উপাংশ (components)	মান	+x থেকে কোণ	একক ভেক্টর â
A	4î + 2ĵ	4.47	26.6°	0.89î + 0.45ĵ
B	2î + 3ĵ	3.61	56.3°	0.55î + 0.83ĵ

A, B: বিশেষ সম্পর্ক নেইযোগফল (sum) R, মূলবিন্দু থেকে কমলা তীর: 6î + 5ĵ, |R| = 7.81

চ্যালেঞ্জ (challenges)

0/6

দুটি সমান ভেক্টর (equal vectors) বানাও, যাদের পাদবিন্দু (tail) আলাদা জায়গায়।
B-কে A-এর ঋণাত্মক ভেক্টর (−A) বানাও, তারপর “যোগফল (sum)” চালু করে দেখো A + B = 0।
(3, 4) দিক বরাবর একটি তীর আঁকো আর “একক ভেক্টর (unit vector)” চালু করো। â কত?
একটি তীরের পাদবিন্দু P(−3, 4) আর শীর্ষবিন্দু Q(3, −2) এ বসাও। PQ কত?
দুটি সমমুখী (like) ভেক্টর বানাও যেখানে একটি অপরটির ঠিক দ্বিগুণ: A = 2B।
কমপক্ষে 3টি তীর মাথা-লেজ (tip-to-tail) জুড়ে একটি বন্ধ পথ (closed path) বানাও। মোট সরণ কত?

পর্যবেক্ষণ খাতা (observation notebook)

এখনো কিছু লেখা হয়নি। তীর সাজিয়ে “খাতায় লেখো” চাপো।

বই পড়ার সময় সাবধান — পাঠ্যবইয়ের এই অংশে কিছু ভুল আর বিভ্রান্তিকর কথা আছে:

সরণের সংজ্ঞা (পৃ. 69, সারসংক্ষেপ পৃ. 134): “সরল পথে বা নির্দিষ্ট দিকে কোনো বিন্দুর অতিক্রান্ত দূরত্বকে সরণ ভেক্টর বলে।” সরণ কোনো দূরত্ব নয় — এটি অবস্থান ভেক্টরের পরিবর্তন, $\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$ , পথ যা-ই হোক। দূরত্ব পথের দৈর্ঘ্য, একটি স্কেলার।
ব্যাসার্ধ ভেক্টর (পৃ. 69): “মূলবিন্দু হতে কোনো বিন্দুর অবস্থানের দূরত্বই হলো ব্যাসার্ধ ভেক্টর।” দূরত্ব হলো ভেক্টরটির মান; ভেক্টরটি নিজে মান আর দিক দুটোই।
বিপরীত ভেক্টর (পৃ. 70, চিত্র 2.16): “এখানে $\vec{AB} = \vec{BA}$ ” লেখা আছে — ভুল। আসলে $\vec{AB} = -\vec{BA}$ ; শুধু মান সমান, $|\vec{AB}| = |\vec{BA}|$ ।
তলের ক্ষেত্রফল (পৃ. 66): ক্ষেত্র ভেক্টরের সংজ্ঞার পরেই “কোনো বস্তুর তল একটি স্কেলার রাশি” — শুধু ক্ষেত্রফলের মান স্কেলার; দিকসহ তল $A\hat{n}$ একটি ভেক্টর। পদার্থবিজ্ঞান দ্বিতীয় পত্রে ফ্লাক্সের (flux) হিসাবে এটিই লাগবে।
অতিরিক্ত নাম (সারসংক্ষেপ): “বিপরীত বা বন্ধন ভেক্টর”, “সমভেক্টর” নতুন ধরনের মতো লেখা — এগুলো আসলে বিপরীত আর সমান ভেক্টরই। নতুন নাম মুখস্থ করো না।
রচনামূলক প্রশ্ন 25: “ভেক্টরের মান কখন ঋণাত্মক হয়?” — কখনোই না। মান সবসময় ≥ 0; ঋণাত্মক হতে পারে শুধু কোনো উপাংশ (component) বা ডট গুণফল।

ঘরে বসে পরীক্ষা: তিন পথ, এক সরণ

তোমার লাগবে: একটু স্কচটেপ, একটি মাপার ফিতা (না থাকলে পা গুনে মাপো), আর একটি ফোন (কম্পাস অ্যাপসহ)।

ঘরের বা উঠানের মেঝেতে টেপ দিয়ে একটি শুরু (S) আর একটি শেষ (F) বিন্দু চিহ্নিত করো, 3–4 m দূরে।
S থেকে F-এ তিনটি আলাদা পথে হাঁটো: (ক) সোজা, (খ) এক কোণে একবার মোড় নিয়ে, (গ) খাটের চারপাশ ঘুরে। প্রতিবার কত পা বা কত মিটার হাঁটলে, লিখে রাখো — এটি দূরত্ব।
এবার S থেকে F পর্যন্ত সোজা ফিতা ধরে দৈর্ঘ্য মাপো, আর S-এ দাঁড়িয়ে ফোনের কম্পাস F-এর দিকে তাক করে কোণ (bearing) পড়ো — এটি সরণ: মান আর দিক।
তিন পথের দূরত্ব আলাদা, কিন্তু সরণ একটিই। শেষে F থেকে S-এ ফিরে এলে মোট সরণ কত? (উত্তর: শূন্য ভেক্টর।)

নিরাপত্তা: খালি, সমতল জায়গায় হাঁটো; সিঁড়ি বা ভেজা মেঝে এড়িয়ে চলো। এ ছাড়া কোনো ঝুঁকি নেই।

পরীক্ষার প্রস্তুতি

১. স্কেলার ও ভেক্টর রাশির সংজ্ঞা দাও। তড়িৎ প্রবাহের দিক থাকা সত্ত্বেও এটি ভেক্টর নয় কেন?

উত্তর দেখো

যে রাশি শুধু মান দিয়েই সম্পূর্ণ প্রকাশ করা যায় তা স্কেলার (যেমন ভর, কাজ); যে রাশি প্রকাশে মান ও দিক দুটোই লাগে এবং যা ভেক্টর যোগের নিয়ম মানে তা ভেক্টর (যেমন বল, সরণ)। তড়িৎ প্রবাহ কোনো সংযোগবিন্দুতে বীজগাণিতিকভাবে যোগ হয় — 3 A ও 4 A মিলে সবসময় 7 A, কোণ যা-ই হোক। ভেক্টর যোগে 90° কোণে তা 5 A হতো। তাই প্রবাহ ভেক্টর যোগের নিয়ম মানে না, এটি স্কেলার।

২. শূন্য ভেক্টর কী? এর দুটি উদাহরণ দাও এবং গুরুত্ব লেখো।

উত্তর দেখো

যে ভেক্টরের মান শূন্য এবং কোনো নির্দিষ্ট দিক নেই, তা শূন্য ভেক্টর $\vec{0}$ । উদাহরণ: $\vec{A} + (-\vec{A}) = \vec{0}$ ; বন্ধ পথে ঘুরে শুরুর বিন্দুতে ফিরলে মোট সরণ; সুষম বেগে চলা বস্তুর ত্বরণ। গুরুত্ব: ভেক্টর যোগের অভেদ ( $\vec{A} + \vec{0} = \vec{A}$ ), সাম্যাবস্থার শর্ত (সব বলের লব্ধি $\vec{0}$ ), আর দুটি ভেক্টর সমান ও বিপরীত কি না তা প্রকাশ করা।

৩. $|\vec{A}| \neq |\vec{B}|$ হলে $\vec{A} + \vec{B}$ কি শূন্য হতে পারে? যুক্তি দাও।

উত্তর দেখো

না। $\vec{A} + \vec{B} = \vec{0}$ মানে $\vec{B} = -\vec{A}$ , অর্থাৎ $|\vec{B}| = |\vec{A}|$ হতেই হবে। মান আলাদা হলে, যে কোণেই রাখো, লব্ধির মান অন্তত $\big||\vec{A}| - |\vec{B}|\big| > 0$ । (তিনটি অসমান ভেক্টরের যোগফল কিন্তু শূন্য হতে পারে — যেমন ত্রিভুজের তিন বাহু।)

৪. P(−3, 4, 5) ও Q(3, −2, 4) বিন্দু দুটির সংযোগকারী ভেক্টর $\vec{PQ}$ ও তার মান নির্ণয় করো। $\vec{PQ}$ -এর দিকে একক ভেক্টর কত? (ঢাবি প্রযুক্তি 2022-23 ধরনের)

উত্তর দেখো

$\vec{PQ} = \vec{r}_Q - \vec{r}_P = 6\hat{i} - 6\hat{j} - \hat{k}$

$|\vec{PQ}| = \sqrt{36 + 36 + 1} = \sqrt{73} = 8.544$ একক

$\hat{n} = \dfrac{6\hat{i} - 6\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{73}} = 0.702\,\hat{i} - 0.702\,\hat{j} - 0.117\,\hat{k}$

৫. একটি বস্তুর অবস্থান ভেক্টর $\vec{r}_1 = 10\hat{i} - 12\hat{j} + 16\hat{k}$ থেকে $\vec{r}_2 = 4\hat{i} + 5\hat{j} - 12\hat{k}$ -তে গেল (একক m)। সরণের মান কত? বস্তুটি কি অবশ্যই এতটুকু দূরত্ব অতিক্রম করেছে?

উত্তর দেখো

$\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = -6\hat{i} + 17\hat{j} - 28\hat{k}$

$|\Delta\vec{r}| = \sqrt{36 + 289 + 784} = \sqrt{1109} = 33.30$ m

অতিক্রান্ত দূরত্ব কমপক্ষে 33.30 m — সোজা পথে গেলে ঠিক এতটুকু, অন্য যেকোনো পথে বেশি। সরণ থেকে দূরত্ব জানা যায় না।

৬. (MCQ) নিচের কোন জোড়ায় প্রথমটি পোলার আর দ্বিতীয়টি অক্ষীয় ভেক্টর? (ক) বেগ, সরণ (খ) বল, টর্ক (গ) কৌণিক বেগ, ত্বরণ (ঘ) কৌণিক ভরবেগ, টর্ক

উত্তর দেখো

(খ) বল পোলার ভেক্টর (সরলরেখা বরাবর), টর্ক $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ অক্ষীয় ভেক্টর (ঘূর্ণন অক্ষ বরাবর)। (ক)-তে দুটিই পোলার, (ঘ)-তে দুটিই অক্ষীয়, (গ)-তে ক্রম উল্টো।