পাঠ ১২ / ১২অনুচ্ছেদ ২.৯ (ক–ঙ), ২.১০

গাউসের সূত্রের প্রয়োগ ও কুলম্বের সূত্রের সীমাবদ্ধতাApplications of Gauss's law & limits of Coulomb's law

এই পাঠের আগে পড়ো (read first): পাঠ ৫ — আহিত পরিবাহী: গোলকের বিভব, প্রাবল্য ও আধান ঘনত্ব, পাঠ ১১ — তড়িৎ ফ্লাক্স ও গাউসের সূত্র (3D)

একটি বিশাল আহিত সমতল পাত (charged sheet) থেকে একটি প্রোব (probe) ধীরে ধীরে দূরে নিয়ে যাও — 1 cm থেকে 100 m পর্যন্ত। পাশে তুলনার জন্য একটি বিন্দু চার্জের (point charge) প্রাবল্যও দেখানো আছে:

পাত থেকে দূরত্ব (distance) d = 0.0316 m

পাতের প্রাবল্য (sheet field) E999.4 N/C

তুলনা: বিন্দু চার্জ (point charge), 1 cm-এ 1000 N/C100 N/C

নীল প্রোবটি পাত থেকে ডানে টেনে দূরে নাও (দূরত্বের স্কেল লগারিদমিক)। প্রাবল্যের মান লক্ষ করো।

বিন্দু চার্জের প্রাবল্য দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতে হুড়মুড় করে কমে, অথচ পাতের প্রাবল্য মিটারের পর মিটার প্রায় একই থাকে। দূরে গেলেও প্রাবল্য কমছে না কেন? কুলম্বের সূত্র দিয়ে লাখো বিন্দু চার্জ যোগ করে এর উত্তর পাওয়া কঠিন; গাউসের সূত্র (Gauss’s law) দিয়ে এক লাইনে। এই পাঠে:

কৌশল: প্রতিসাম্য (symmetry) দেখে গাউসীয় তল (Gaussian surface) বাছাই
আহিত গোলক — খোল, ধাতব গোলক আর অপরিবাহী গোলক
অসীম লম্বা তার (infinite line charge) — আর সসীম তারে কখন সূত্রটি খাটে
সমতল পাত: পাতলা পাতে $\sigma/2\varepsilon_0$ , ধাতব পৃষ্ঠে $\sigma/\varepsilon_0$
দুটি বিপরীত আহিত সমান্তরাল পাত
কুলম্বের সূত্রের সীমাবদ্ধতা (limitations of Coulomb’s law)
এবার নিজে করে দেখো — গাউসীয় তল ও প্রতিসাম্য 3D ল্যাব

ধাপ ১: কৌশল — প্রতিসাম্য দেখে তল বাছাই

আগের পাঠ (পাঠ ১১) থেকে মনে করো: যেকোনো বদ্ধ তলের (closed surface) মধ্য দিয়ে মোট তড়িৎ ফ্লাক্স (electric flux) তলটি যে চার্জ ঘিরে রাখে তার $1/\varepsilon_0$ গুণ:

\phi = \oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{q_\text{enc}}{\varepsilon_0}

সূত্রটি সব সময় সত্য। কিন্তু এ থেকে $E$ বের করতে হলে বাম পাশের সমাকলন (integral) সহজ হতে হবে। তাই আমরা এমন তল বেছে নিই যার:

কিছু অংশে $\vec{E}$ তলের লম্ব আর সব জায়গায় সমান মানের — সেখানে $\vec{E}\cdot d\vec{A} = E\,dA$ , তাই ফ্লাক্স $= E \times$ ক্ষেত্রফল;
বাকি অংশে $\vec{E}$ তলের সমান্তরাল — সেখানে ফ্লাক্স শূন্য।

এমন তল পাওয়া যায় শুধু যখন চার্জ বিন্যাসে প্রতিসাম্য (symmetry) থাকে: গোলীয় (spherical) → গোলক, বেলনীয় (cylindrical) → বেলন, সমতলীয় (planar) → পিলবক্স (pillbox)। প্রতিটি বিন্যাস বেছে নাও, তারপর “পরের ধাপ” চেপে গাউসের সমীকরণটি গড়ে ওঠা দেখো:

গাউসীয় তল, ফ্লাক্স যায় (flux)ফ্লাক্স শূন্য (zero flux)প্রাবল্য (field) E

প্রতিসাম্য (symmetry): সব দিক একই রকম, তাই E শুধু r-এর ওপর নির্ভর করে আর ব্যাসার্ধ বরাবর। তল: চার্জকে কেন্দ্র করে r ব্যাসার্ধের গোলক।

নিজে যাচাই করো

একটি অসীম লম্বা আহিত তারের জন্য গাউসীয় বেলন নেওয়া হলো। বেলনের দুই প্রান্তের সমতল মুখ দিয়ে ফ্লাক্স কত?

ধাপ ২: আহিত গোলক — বাইরে, পৃষ্ঠে, ভেতরে

(ক) পাতলা খোল বা ধাতব গোলক (conducting sphere): $R$ ব্যাসার্ধে $Q$ চার্জ পৃষ্ঠে সুষমভাবে ছড়ানো (পাঠ ৫)। কেন্দ্রীয় $r$ ব্যাসার্ধের গাউসীয় গোলক নাও। গোলীয় প্রতিসাম্যের জন্য $E$ তলের সব জায়গায় সমান আর ব্যাসার্ধ বরাবর:

E\cdot 4\pi r^2 = \frac{q_\text{enc}}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E = \begin{cases} \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r^2}, & r > R \\[2mm] 0, & r < R \end{cases}

বাইরে গোলকটি কেন্দ্রে রাখা একটি বিন্দু চার্জের মতো আচরণ করে; ভেতরের গাউসীয় তল কোনো চার্জ ঘিরে রাখে না, তাই $E = 0$ । পৃষ্ঠের ঠিক বাইরে, তলমাত্রিক আধান ঘনত্ব (surface charge density) $\sigma = Q/4\pi R^2$ দিয়ে, $E = \sigma/\varepsilon_0$ ।

(খ) সুষমভাবে আহিত অপরিবাহী গোলক (uniformly charged insulating sphere): চার্জ পুরো আয়তনে ছড়ানো। ভেতরের $r$ ব্যাসার্ধের তল চার্জের একটি অংশ ঘিরে রাখে, $q_\text{enc} = Q\,r^3/R^3$ :

E\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q r^3}{\varepsilon_0 R^3} \quad\Rightarrow\quad E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q r}{R^3}\quad (r < R)

দুই ধরনের গোলক তুলনা করো — দূরত্বের স্লাইডার টেনে ভেতরে-বাইরে মান দেখো:

পরিবাহী / খোল (conductor)অপরিবাহী গোলক (insulating)

r / R = 0.50

পরিবাহী / খোল (conductor)0.000

অপরিবাহী গোলক (insulating)0.500

ভেতরে: ধাতব গোলকে চার্জ শুধু পৃষ্ঠে, তাই E = 0; অপরিবাহী গোলকে গাউসীয় তল চার্জের একটি অংশ (r³/R³) ঘিরে রাখে, তাই E ∝ r।

উদাহরণ: 30 cm ব্যাসার্ধের একটি ধাতব গোলকে 9 C চার্জ। পৃষ্ঠের ঠিক বাইরে প্রাবল্য:

E = \frac{kQ}{R^2} = \frac{8.988\times10^{9}\times 9}{(0.30)^2} = 8.99\times10^{11}\ \text{N C}^{-1}

যাচাই: $\sigma = \dfrac{9}{4\pi(0.30)^2} = 7.96$ C m⁻², $\sigma/\varepsilon_0 = 8.99\times10^{11}$ N C⁻¹ — একই। বোর্ডের মান ( $k = 9\times10^9$ ): $9.0\times10^{11}$ N C⁻¹। (এত বড় চার্জ বাস্তবে অসম্ভব — বাতাস $3\times10^{6}$ V m⁻¹-এই আয়নিত হয়ে যায়।)

নিজে যাচাই করো

R ব্যাসার্ধের একটি সুষমভাবে আহিত অপরিবাহী গোলকের কেন্দ্র থেকে R/2 দূরে প্রাবল্য পৃষ্ঠের প্রাবল্যের কত গুণ?

ধাপ ৩: অসীম লম্বা আহিত তার

একটি অসীম লম্বা সরু তারে রৈখিক আধান ঘনত্ব (linear charge density) $\lambda$ (C m⁻¹)। তারকে অক্ষ ধরে $r$ ব্যাসার্ধ আর $l$ দৈর্ঘ্যের গাউসীয় বেলন নাও। বেলনীয় প্রতিসাম্যের জন্য বাঁকা তলে $E$ সমান আর তলের লম্ব; দুই প্রান্তমুখে $E$ তলের সমান্তরাল, তাই সেখানে ফ্লাক্স শূন্য:

E\cdot 2\pi r l = \frac{\lambda l}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} = \frac{2k\lambda}{r}

প্রাবল্য কমে $1/r$ হারে, বিন্দু চার্জের $1/r^2$ নয়। কিন্তু সাবধান: বাস্তবের তার সসীম (finite)। $L$ দৈর্ঘ্যের তারের লম্বদ্বিখণ্ডকের (perpendicular bisector) ওপর আসল প্রাবল্য

E = \frac{2k\lambda}{r}\sin\theta,\qquad \sin\theta = \frac{L/2}{\sqrt{r^2 + L^2/4}}

$r \ll L$ হলে $\sin\theta \to 1$ আর অসীম-তারের সূত্র ফিরে আসে। তারের দৈর্ঘ্য বদলে দেখো কখন দুটি মেলে:

অসীম তার (infinite), λ/2πε₀rসসীম তার (finite)

তারের দৈর্ঘ্য (length) L = 4 m

r (m) = 2.00

অসীম তার (infinite), λ/2πε₀r0.500

সসীম তার (finite)0.354

মিল (agreement)70.7 %

r/L = 0.50। অসীম তারের সূত্র ঠিক থাকে শুধু r ≪ L হলে — 5 %-এর মধ্যে মিলতে r/L ≤ 0.16 লাগে।

উদাহরণ (বইয়ের উদা. ২.১৮-১ ধরনের): 4 m লম্বা একটি তারে 6 μC চার্জ; তারের মধ্যবিন্দু থেকে 2 m দূরে প্রাবল্য কত? $\lambda = 6\times10^{-6}/4 = 1.5\times10^{-6}$ C m⁻¹।

অসীম-তারের সূত্রে (বই ও বোর্ডের পদ্ধতি): $E = \dfrac{1.5\times10^{-6}}{2\pi\times8.854\times10^{-12}\times2} = 1.35\times10^{4}$ N C⁻¹।

কিন্তু এখানে $r = L/2$ — মোটেই $r \ll L$ নয়। আসল মান: $\sin\theta = 2/\sqrt{8} = 0.707$ , তাই $E = 1.348\times10^{4}\times0.707 = 9.53\times10^{3}$ N C⁻¹ — 41 % কম। পরীক্ষায় বোর্ডের উত্তর 1.35 × 10⁴ N C⁻¹ লিখবে, তবে জেনে রাখো এটি অসীম-তারের অনুমান। 5 %-এর মধ্যে মিলতে লাগে $r/L \le 0.16$ ।

নিজে যাচাই করো

একটি অসীম লম্বা আহিত তার থেকে দূরত্ব দ্বিগুণ করলে প্রাবল্য কত হবে?

ধাপ ৪: সমতল পাত — পাতলা পাত বনাম ধাতব পৃষ্ঠ

(ক) অসীম পাতলা অপরিবাহী পাত (thin non-conducting sheet): তলমাত্রিক আধান ঘনত্ব $\sigma$ । প্রতিসাম্য বলে $E$ দুই পাশেই পাতের লম্ব আর পাত থেকে সমান দূরে সমান। পাত ভেদ করা একটি পিলবক্স নাও, মুখের ক্ষেত্রফল $A$ । দেয়ালে ফ্লাক্স শূন্য, দুই মুখ দিয়েই ফ্লাক্স বেরোয়:

EA + EA = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}

সূত্রে দূরত্ব নেই — হুকের প্রশ্নের উত্তর এটাই। দূরে গেলে প্রতিটি চার্জের প্রভাব কমে ঠিকই, কিন্তু প্রোব থেকে একই কোণে আরও বেশি চার্জ “দেখা” যায়; দুটি ঠিক কাটাকাটি করে। বাস্তবের পাত সসীম, তাই পাতের মাপের তুলনায় কাছে থাকলেই কেবল এটি খাটে:

অসীম পাত (infinite), σ/2ε₀বর্গাকার পাত (square sheet)

পাতের বাহু (side) a = 10 m

দূরত্ব z (m) = 1.00

অসীম পাত (infinite), σ/2ε₀1.000

বর্গাকার পাত (square sheet)0.823

মিল (agreement)82.3 %

z/a = 0.10। পাতের মাপের তুলনায় কাছে থাকলে প্রাবল্য প্রায় σ/2ε₀; দূরে গেলে পাতটি বিন্দু চার্জের মতো আচরণ করে।

(খ) ধাতব পাত বা যেকোনো পরিবাহীর পৃষ্ঠ (conductor surface): পৃষ্ঠে স্থানীয় ঘনত্ব $\sigma$ । পরিবাহীর ভেতরে $E = 0$ (পাঠ ৫), তাই পিলবক্সের এক মুখ ধাতুর ভেতরে রাখলে সেই মুখ দিয়ে কোনো ফ্লাক্স যায় না — সব ফ্লাক্স এক মুখ দিয়ে:

EA + 0 = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}

দুটি সূত্র গুলিয়ে ফেলো না: পাতলা অপরিবাহী পাত → $\sigma/2\varepsilon_0$ , পরিবাহীর পৃষ্ঠের ঠিক বাইরে → $\sigma/\varepsilon_0$ ।

উদাহরণ: একটি বিশাল পাতলা পাতের কাছে প্রাবল্য 1000 N C⁻¹ হলে $\sigma = 2\varepsilon_0 E = 2\times8.854\times10^{-12}\times1000 = 1.77\times10^{-8}$ C m⁻²।

নিজে যাচাই করো

একই σ-এর একটি পাতলা অপরিবাহী পাত আর একটি ধাতব পাতের পৃষ্ঠ। ঠিক বাইরে কোনটির প্রাবল্য বেশি?

ধাপ ৫: দুটি বিপরীত আহিত সমান্তরাল পাত

দুটি বড় সমান্তরাল পাত, একটিতে $+\sigma$ আর অন্যটিতে $-\sigma$ । প্রতিটি পাত একা $\sigma/2\varepsilon_0$ প্রাবল্য দেয় — ধনাত্মক পাত থেকে দূরে, ঋণাত্মক পাতের দিকে। উপরিপাতন নীতি (superposition principle) দিয়ে যোগ করো:

উপরিপাতন (superposition): বাইরে দুই পাতের ক্ষেত্র বিপরীতমুখী — কাটাকাটি; মাঝে একমুখী — যোগ।

E_\text{between} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}, \qquad E_\text{outside} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = 0

গাউস দিয়েও একই ফল: পিলবক্সের এক মুখ বাইরে ( $E = 0$ ) আর অন্যটি পাতের মাঝে রাখলে $EA = \sigma A/\varepsilon_0$ । এই সুষম ক্ষেত্রই সমান্তরাল পাত ধারকের (parallel-plate capacitor) মূল কথা — পাঠ ৮-এ $C = \varepsilon_0 A/d$ এখান থেকেই আসে।

নিজে যাচাই করো

দুটি বড় সমান্তরাল পাতে +σ আর −σ। পাত দুটির বাইরের দিকে প্রাবল্য কত?

ধাপ ৬: কুলম্বের সূত্রের সীমাবদ্ধতা

$F = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q_1 q_2}{r^2}$ সূত্রটি নির্ভুল, তবে নির্দিষ্ট শর্তে:

সীমাবদ্ধতা (limitation)	কেন
শুধু বিন্দু চার্জ (point charge) বা গোলীয়ভাবে প্রতিসম আহিত বস্তুর জন্য সরাসরি খাটে	বড় অনিয়মিত বস্তুতে $r$ কোথা থেকে মাপব তা নির্দিষ্ট নয়; বস্তুকে ছোট ছোট চার্জে ভাগ করে সমাকলন (integration) করতে হয়, অথবা প্রতিসাম্য থাকলে গাউসের সূত্র ব্যবহার করতে হয়
শুধু স্থির (stationary) চার্জের জন্য	চলমান চার্জের ওপর চৌম্বক বলও (magnetic force) কাজ করে; দ্রুত চলমান চার্জের ক্ষেত্র সূত্র থেকে আলাদা
খুব ছোট দূরত্বে (নিউক্লিয়াসের ভেতরে, ~ $10^{-15}$ m) একা যথেষ্ট নয়	সেখানে সবল নিউক্লীয় বল (strong nuclear force) প্রাধান্য পায় — তাই প্রোটনগুলো বিকর্ষণ সত্ত্বেও নিউক্লিয়াসে আটকে থাকে
মাধ্যম সুষম আর সমসত্ত্ব (homogeneous) ধরে নিতে হয়	মাধ্যমে $\varepsilon_0$ -এর জায়গায় $\varepsilon = K\varepsilon_0$ ; মাধ্যম বদলালে সরল সূত্র খাটে না

গাউসের সূত্র আর কুলম্বের সূত্র আসলে একই নিয়মের দুই রূপ — বিন্দু চার্জে গাউস প্রয়োগ করলেই কুলম্বের সূত্র বেরিয়ে আসে (ধাপ ১)। পার্থক্য হলো কাজের সুবিধায়: প্রতিসাম্য থাকলে গাউস সহজ, না থাকলে কুলম্ব দিয়ে যোগ করতে হয়।

নিজে যাচাই করো

নিচের কোনটি কুলম্বের সূত্রের প্রকৃত সীমাবদ্ধতা?

ধাপ ৭: এবার নিজে করে দেখো

নিচের 3D ল্যাবে চারটি বিন্যাস: তার (wire), পাত (sheet), দুটি পাত (two plates) আর গোলক (sphere)। প্রতিটিতে হলুদ গাউসীয় তলের মাপ স্লাইডার দিয়ে বদলাও। পাশাপাশি দেখবে:

ঘেরা চার্জ $q$ আর $\phi = q/\varepsilon_0$ — এবং তলের প্রতিটি টুকরোয় $\vec{E}\cdot d\vec{A}$ যোগ করে পাওয়া ফ্লাক্স (দুটি সব সময় মেলে: গাউসের সূত্র কখনো ভাঙে না);
গাউস + প্রতিসাম্য ধরে পাওয়া $E$ , আর সসীম বস্তুর আসল $E$ (পুরো বস্তুর ওপর সমাকলন করে)। দুটির মিল দেখায় প্রতিসাম্যের অনুমান কতটা খাটে।

কমলা তীর আসল প্রাবল্য; বেগুনি তীর সেসব জায়গায় যেখানে আদর্শ হিসাবে ফ্লাক্স শূন্য ধরা হয়। আঙুলে টেনে দৃশ্য ঘোরাও, অথবা “প্রস্থচ্ছেদ” চেপে 2D দেখো। খাতায় লেখো চাপলে মাপটি পর্যবেক্ষণ খাতায় যাবে।

গাউসীয় তল ও প্রতিসাম্য 3D ল্যাব

Gaussian surfaces & symmetry 3D lab

↗

3D লোড হচ্ছে…

গাউসীয় তল (Gaussian surface)E, ফ্লাক্সের অংশেE, যেখানে φ = 0 ধরা হয়প্রোব (probe) P

আঙুলে টেনে ঘোরাও (drag to orbit)। তীরের দৈর্ঘ্য ∝ |E|।

তারের দৈর্ঘ্য (length) L = 4 mQ

গাউসীয় বেলনের ব্যাসার্ধ (radius) r = 2.00 m

ঘেরা চার্জ (enclosed) q1.50 × 10⁻⁶ C

φ = q/ε₀ (N m² C⁻¹)1.694 × 10⁵তলে যোগ করে (summed): 1.695 × 10⁵

E, গাউস + প্রতিসাম্য13481 N/Cবোর্ডের মান (board): 13482

E, আসল (true) P বিন্দুতে9533 N/C

মিল (agreement)70.7 %

প্রতিসাম্য ভেঙেছে: ফ্লাক্স (φ) এখনো q/ε₀ (মোট ফ্লাক্সের দুটি মান মিলিয়ে দেখো), কিন্তু তলে E সমান নয় — তাই φ = E·A লিখে E বের করা যায় না।

চ্যালেঞ্জ (challenges)

0/6

তার মোডে L = 4 m, Q = 6 μC রেখে গাউসীয় বেলনের ব্যাসার্ধ r = 2 m করো: গাউসের E আর আসল E মেলাও। তারপর r কমিয়ে দেখো কত ছোট হলে দুটি 5 %-এর মধ্যে মেলে।
পাত মোডে (পাতলা পাত) σ এমন করো যেন গাউসের E = 1000 N/C হয়। তারপর বড় পাতে পিলবক্সের দূরত্ব 0.1 m-এর কম আর 0.5 m-এর বেশি — দুই জায়গায় আসল E প্রায় একই কিনা দেখো।
একই σ রেখে “পাতলা পাত” আর “ধাতব পাত” দুটিই বেছে নাও — গাউসের E তুলনা করো।
দুটি পাত মোডে বাইরের মুখে (outer cap) আসল E মাঝের E-এর 5 %-এর কম করো (পাত বড় করো)।
গোলক মোডে R = 30 cm, Q = 9 C নিয়ে গাউসীয় গোলককে ঠিক পৃষ্ঠে (r = R) আনো — পৃষ্ঠের ঠিক বাইরে E কত?
গোলকের ভেতরে (r < R) একবার “ধাতব” আর একবার “অপরিবাহী” গোলক নিয়ে E তুলনা করো।

পর্যবেক্ষণ খাতা (observation notebook)

এখনো কিছু লেখা হয়নি — মাপ নিয়ে “খাতায় লেখো” চাপো।

বই পড়ার সময় সাবধান — পাঠ্যবইয়ের এই অংশে কয়েকটি ভুল আছে:

পৃ. 142, উদা. ২.১৮-২: $\phi = 5.6\times10^{5}$ N m² C⁻¹ থেকে চার্জ লেখা হয়েছে “ $4.96\times10^{-8}$ C”। আসলে $q = \varepsilon_0\phi = 8.854\times10^{-12}\times5.6\times10^{5} = 4.96\times10^{-6}$ C — ঘাতে 100 গুণের ভুল।
পৃ. 142, উদা. ২.১৮-১: 4 m তারের মধ্যবিন্দু থেকে 2 m দূরে অসীম-তারের সূত্র বসিয়ে $1.35\times10^{4}$ N C⁻¹ — এত কাছে-দূরে ( $r = L/2$ ) সূত্রটি খাটে না; আসল মান $9.53\times10^{3}$ N C⁻¹। বোর্ডের উত্তর হিসেবে 1.35 × 10⁴ লিখতে পারো, কিন্তু এটি অনুমান।
পৃ. 142–143, ২.৯ঘ: শিরোনাম “চার্জিত সমতল পরিবাহীর সন্নিকটে তড়িৎ প্রাবল্য”, অথচ ফল $\sigma/2\varepsilon_0$ — এটি পাতলা অপরিবাহী পাতের সূত্র। পরিবাহীর পৃষ্ঠের ঠিক বাইরে $E = \sigma/\varepsilon_0$ (বইয়ের নিজের পৃ. 97, 102, 140-এও তাই)। প্রশ্নব্যাংকের MCQ 55-এর উত্তর (ক) $\sigma/2\varepsilon_0$ — বোর্ড এটিই চায়, তবে কোন পরিস্থিতিতে কোন সূত্র তা জেনে রাখো।
পৃ. 141: রৈখিক চার্জের প্রমাণে “উভয় বক্রতলের জন্য ফ্লাক্স শূন্য” — আসলে দুই সমতল প্রান্তমুখের ফ্লাক্স শূন্য; সব ফ্লাক্স বাঁকা তল দিয়ে যায় (ছাপার ভুল)।
পৃ. 143, কুলম্বের সূত্রের সীমাবদ্ধতা: “চার্জিত বস্তু বড় হলে তড়িৎ বলের ওপর মহাকর্ষ বলের প্রভাব পড়বে” — ভুল; মহাকর্ষ তড়িৎ বলকে বদলায় না। আসল সমস্যা হলো বড় বস্তু বিন্দু চার্জ নয়। আর “প্রতিসম বিন্যাসে প্রয়োগ কঠিন” কথাটি উল্টো — প্রতিসাম্য থাকলেই গাউসের সূত্রে কাজ সবচেয়ে সহজ। সঠিক তালিকা ধাপ ৬-এ।

এই পাঠের জন্য ঘরে বসে করার মতো নিরাপদ, অর্থবহ কোনো পরীক্ষা নেই — তড়িৎক্ষেত্র মাপার যন্ত্র ছাড়া পাতের প্রাবল্য মাপা যায় না। ফ্যারাডে খাঁচার ঘরোয়া পরীক্ষাটি (পাঠ ৫) গাউসের “ভেতরে E = 0” ফলাফলেরই প্রমাণ — সেটি করে দেখতে পারো।

পরীক্ষার প্রস্তুতি

১. (সৃজনশীল ঘ ধরনের) গাউসের সূত্র ব্যবহার করে অসীম লম্বা আহিত তারের নিকটে প্রাবল্যের রাশিমালা প্রতিপাদন করো।

উত্তর দেখো

তারের রৈখিক আধান ঘনত্ব $\lambda$ । তারকে অক্ষ ধরে $r$ ব্যাসার্ধ আর $l$ দৈর্ঘ্যের একটি গাউসীয় বেলন কল্পনা করি। প্রতিসাম্যের জন্য $\vec{E}$ তার থেকে ব্যাসার্ধ বরাবর বাইরে আর বাঁকা তলের সব বিন্দুতে সমান।

দুই প্রান্তমুখে $\vec{E} \perp d\vec{A}$ , তাই $\vec{E}\cdot d\vec{A} = 0$ ।
বাঁকা তলে $\vec{E} \parallel d\vec{A}$ , তাই $\int \vec{E}\cdot d\vec{A} = E\cdot 2\pi r l$ ।

বেলনের ভেতরে চার্জ $q = \lambda l$ । গাউসের সূত্র:

E\cdot 2\pi r l = \frac{\lambda l}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}

দিক তার থেকে লম্বভাবে বাইরে (λ ধনাত্মক হলে)। সসীম তারে এটি খাটে শুধু $r \ll L$ হলে।

২. একটি বদ্ধ তলের মধ্য দিয়ে $5.6\times10^{5}$ N m² C⁻¹ তড়িৎ ফ্লাক্স নির্গত হয়। তলটির ভেতরের চার্জ কত?

উত্তর দেখো

q = \varepsilon_0\phi = 8.854\times10^{-12}\times5.6\times10^{5} = 4.96\times10^{-6}\ \text{C}

অর্থাৎ প্রায় 4.96 μC। (বইয়ে $10^{-8}$ ছাপা — ভুল।)

৩. 4 m লম্বা একটি সরু তারে 6 μC চার্জ সুষমভাবে ছড়ানো। (ক) রৈখিক আধান ঘনত্ব কত? (খ) অসীম-তারের সূত্র ধরে মধ্যবিন্দু থেকে 2 m দূরে প্রাবল্য কত? (গ) এই উত্তর কতটা নির্ভরযোগ্য?

উত্তর দেখো

(ক) $\lambda = \dfrac{6\times10^{-6}}{4} = 1.5\times10^{-6}$ C m⁻¹।

(খ) $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} = \dfrac{1.5\times10^{-6}}{2\pi\times8.854\times10^{-12}\times2} = 1.35\times10^{4}$ N C⁻¹ (বোর্ডের উত্তর)।

(গ) সূত্রটি অসীম তারের; এখানে $r = 2$ m আর $L = 4$ m, তাই $r \ll L$ শর্ত মানা হয়নি। সসীম তারের সঠিক সূত্রে $E = \dfrac{2k\lambda}{r}\cdot\dfrac{L/2}{\sqrt{r^2 + L^2/4}} = 1.348\times10^{4}\times0.707 = 9.53\times10^{3}$ N C⁻¹ — প্রায় 41 % কম।

৪. (MCQ) σ তলমাত্রিক আধান ঘনত্বের একটি অসীম পাতলা অপরিবাহী পাত থেকে r দূরত্বে প্রাবল্য — (ক) $\sigma/\varepsilon_0$ , r-এর ওপর নির্ভরশীল নয় (খ) $\sigma/2\varepsilon_0$ , r-এর ওপর নির্ভরশীল নয় (গ) $\sigma/2\varepsilon_0 r$ (ঘ) $\sigma/4\pi\varepsilon_0 r^2$

উত্তর দেখো

(খ)। পিলবক্সের দুই মুখ দিয়ে ফ্লাক্স: $2EA = \sigma A/\varepsilon_0$ , তাই $E = \sigma/2\varepsilon_0$ , দূরত্বের ওপর নির্ভর করে না। (ক) ধাতব পৃষ্ঠের ঠিক বাইরের প্রাবল্য। বই এই প্রশ্নে “সমতল পরিবাহী” লিখে (খ) উত্তর দেয় — বোর্ডে সেটিই লিখবে, কিন্তু পদার্থবিজ্ঞানে পরিবাহীর জন্য $\sigma/\varepsilon_0$ ।

৫. (MCQ) একটি ফাঁপা আহিত ধাতব গোলকের কেন্দ্রে প্রাবল্য — (ক) $kQ/R^2$ (খ) $kQ/R$ (গ) $\sigma/\varepsilon_0$ (ঘ) শূন্য

উত্তর দেখো

(ঘ)। ভেতরের যেকোনো গাউসীয় গোলক কোনো চার্জ ঘিরে রাখে না, তাই $E\cdot4\pi r^2 = 0$ , $E = 0$ । (খ) হলো বিভব (প্রাবল্য নয়), আর (ক), (গ) পৃষ্ঠের ঠিক বাইরের প্রাবল্য।

৬. (সৃজনশীল) দুটি বড় সমান্তরাল ধাতব পাত 2 mm দূরে রাখা; একটিতে $+8.854\times10^{-8}$ C m⁻² আর অন্যটিতে সমান ঋণাত্মক তলমাত্রিক আধান ঘনত্ব। (ক) গাউসীয় তল কী? (খ) কুলম্বের সূত্রের দুটি সীমাবদ্ধতা লেখো। (গ) পাত দুটির মাঝে ও বাইরে প্রাবল্য নির্ণয় করো। (ঘ) পাত দুটির বিভব পার্থক্য কত? পাতের মাঝে একটি ইলেকট্রন কত বল অনুভব করবে?

উত্তর দেখো

(ক) গাউসের সূত্র প্রয়োগের জন্য কল্পিত যে বদ্ধ তল নেওয়া হয়, তাকে গাউসীয় তল বলে; সুবিধামতো প্রতিসাম্য দেখে বাছাই করা হয়।

(খ) সূত্রটি সরাসরি খাটে শুধু স্থির বিন্দু চার্জে (বা গোলীয়ভাবে প্রতিসম বস্তুতে); নিউক্লীয় দূরত্বে (~ $10^{-15}$ m) সবল নিউক্লীয় বল প্রাধান্য পায়।

(গ) মাঝে $E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0} = \dfrac{8.854\times10^{-8}}{8.854\times10^{-12}} = 1.0\times10^{4}$ N C⁻¹ (CODATA $\varepsilon_0$ দিয়ে $9.9998\times10^{3}$ , কার্যত একই)। বাইরে দুই পাতের $\sigma/2\varepsilon_0$ বিপরীতমুখী, তাই $E = 0$ ।

(ঘ) সুষম ক্ষেত্রে $V = Ed = 1.0\times10^{4}\times2\times10^{-3} = 20$ V। ইলেকট্রনের ওপর বল $F = eE = 1.602\times10^{-19}\times1.0\times10^{4} = 1.60\times10^{-15}$ N, ধনাত্মক পাতের দিকে (প্রাবল্যের বিপরীতে)। মাঝে যেকোনো জায়গায় বল একই, কারণ ক্ষেত্র সুষম।