পাঠ ১১ / ১২অনুচ্ছেদ ২.২.৫, ২.৮–২.৮খ

তড়িৎ ফ্লাক্স ও গাউসের সূত্র (3D)Electric flux & Gauss's law (3D)

এই পাঠের আগে পড়ো (read first): পাঠ ২ — তড়িৎ ক্ষেত্র, প্রাবল্য ও বলরেখা

বৃষ্টির মধ্যে একটি চারকোনা ফ্রেম ধরে আছো। ফ্রেমটা সোজা রাখলে তার ভেতর দিয়ে অনেক পানি পড়ে; হেলালে কমে যায়। স্লাইডার দিয়ে ফ্রেম হেলাও, তারপর বৃষ্টিকে বলরেখায় বদলে দাও:

ফ্রেম হেলাও (tilt) θ = 0°

ফ্রেম দিয়ে যাওয়া ধারা (streams through)30 / 30

অনুপাত (ratio)1.00

cosθ1.00

ফ্রেম সোজা মুখ করে আছে: S বৃষ্টির দিকেই, সবচেয়ে বেশি ধারা ঢোকে।

ফ্রেমটা হেলালে কম পানি ঢোকে কেন — আর বৃষ্টির জায়গায় তড়িৎ ক্ষেত্র থাকলে “কতটা ক্ষেত্র তল ভেদ করল” কীভাবে মাপব? এই মাপের নাম তড়িৎ ফ্লাক্স (electric flux)। আর এর সবচেয়ে চমৎকার নিয়মটি হলো গাউসের সূত্র (Gauss’s law): একটি বদ্ধ তল দিয়ে মোট ফ্লাক্স শুধু ভেতরের চার্জের ওপর নির্ভর করে — তলের আকার বা মাপের ওপর নয়। ধাপে ধাপে:

ক্ষেত্রফল ভেক্টর (area vector)
সমতল তল দিয়ে ফ্লাক্স: $\phi = \vec{E}\cdot\vec{S} = ES\cos\theta$
বাঁকা ও বদ্ধ তল (closed surface): $\oint \vec{E}\cdot d\vec{S}$
ঘনকোণ (solid angle) আর গাউসের সূত্র: $\phi = q/\varepsilon_0$
গাউসীয় তল (Gaussian surface) — যেকোনো বদ্ধ তল
গাউসের সূত্র থেকে কুলম্বের সূত্র
ঘনকের কেন্দ্রে চার্জ, আর “বলরেখার সংখ্যা”
মাধ্যমে গাউসের সূত্র
এবার নিজে করে দেখো — গাউসের সূত্র 3D ল্যাব

ফ্লাক্সের গণিত (ডাইভারজেন্স, divergence) পদার্থবিজ্ঞান প্রথম পত্রের ডাইভারজেন্স ও কার্ল পাঠে আছে — এখানে দরকারি সবটুকু আবার বলা হলো।

ধাপ ১: ক্ষেত্রফল ভেক্টর

হুকে দেখলে, কতটা পানি ঢুকবে তা দুটি জিনিসে নির্ভর করে: ফ্রেম কত বড়, আর কোন দিকে মুখ করে আছে। দুটোকে একসাথে ধরতে ক্ষেত্রফলকে একটি ভেক্টর বানানো হয় — ক্ষেত্রফল ভেক্টর (area vector) $\vec{S}$ :

মান = তলের ক্ষেত্রফল (m²);
দিক = তলের লম্ব (normal) বরাবর।

একটি সমতল তলের লম্ব দুই দিকেই আঁকা যায়; সমস্যায় যেটা বলা থাকে সেটা নিই। কিন্তু বদ্ধ তলের (closed surface) — যেমন বল, বাক্স — জন্য নিয়ম বাঁধা: প্রতিটি ছোট টুকরো $d\vec{S}$ বাইরের দিকে (outward)।

ক্ষেত্রফলকে ভেক্টর বানানো হয় যাতে “তলটা কোন দিকে মুখ করে আছে” হিসাবে আসে। বদ্ধ তলের জন্য নিয়ম: লম্ব সবসময় বাইরের দিকে (outward)।

নিজে যাচাই করো

xy-তলে রাখা 4 m² ক্ষেত্রফলের একটি সমতল পাতের ক্ষেত্রফল ভেক্টর কোনটি হতে পারে?

ধাপ ২: সমতল তল দিয়ে ফ্লাক্স

একটি সুষম তড়িৎ ক্ষেত্র $\vec{E}$ -এ একটি সমতল তল $\vec{S}$ রাখা। $\vec{E}$ আর $\vec{S}$ -এর মধ্যে কোণ $\theta$ হলে ওই তলের মধ্য দিয়ে তড়িৎ ফ্লাক্স (electric flux)

\phi = \vec{E}\cdot\vec{S} = ES\cos\theta

ফ্লাক্স একটি স্কেলার (scalar) রাশি — দুটি ভেক্টরের ডট গুণফল।
$\theta = 0°$ (ক্ষেত্র তলের লম্ব বরাবর): $\phi = ES$ , সর্বোচ্চ।
$\theta = 90°$ (ক্ষেত্র তলের গা ঘেঁষে যায়): $\phi = 0$ ।
$\theta > 90°$ : $\phi$ ঋণাত্মক — ক্ষেত্র $\vec{S}$ -এর উল্টো দিক দিয়ে ঢুকছে।
একক: N C⁻¹ × m² = N m² C⁻¹, আর N C⁻¹ = V m⁻¹ বলে একে V m-ও লেখা যায়।

হুকের $\cos\theta$ এখানেই: ক্ষেত্রের চোখে তলটা দেখায় $S\cos\theta$ মাপের — যতটুকু “ছায়া” পড়ে, ততটুকু দিয়েই রেখা যায়। নিচে কোণ, প্রাবল্য আর বাহু বদলে দেখো; তার নিচে ভেক্টর রূপে হিসাব করো:

θ = 30°E = 1000 N C⁻¹বাহু (side) = 1.0 m

ক্ষেত্রফল (area) S1.00 m²

cosθ0.866

ফ্লাক্স (flux) φ = ES cosθ866 N m² C⁻¹

হলুদ রেখাগুলো জানালা ভেদ করছে — হেলালে কমে, cosθ গুণ।

ভেক্টর রূপে (vector form): φ = E·S

Ex5Ey4Ez3

S (m²)15

S = 15 i^m^{2}

E \cdot S = 5 (15) + 4 (0) + 3 (0) = 75 V m

তল যে সমতলে থাকে, S তার লম্ব: yz-তলের লম্ব x-অক্ষ, তাই S = S î। শুধু S-এর দিক বরাবর E-এর উপাংশই ফ্লাক্স দেয়।

উদাহরণ ১: 1000 N C⁻¹ সুষম ক্ষেত্রে 5.5 mm বাহুর একটি বর্গাকার তল এমনভাবে রাখা যে তলের লম্ব ক্ষেত্রের সাথে 60° কোণ করে। ফ্লাক্স কত?

\phi = ES\cos\theta = 1000 \times (5.5\times10^{-3})^2 \times \cos 60^\circ = 1000 \times 3.025\times10^{-5} \times 0.5 = 1.51\times10^{-2}\ \text{N m}^2\,\text{C}^{-1}

সাবধান: প্রশ্নে যদি বলা থাকে “ক্ষেত্র তলের সাথে 60°”, তাহলে লম্বের সাথে কোণ 30°, আর $\cos 30^\circ$ নিতে হবে।

উদাহরণ ২ (ভেক্টর রূপ): $\vec{E} = 5\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$ N C⁻¹ ক্ষেত্রে yz-তলে 15 m² একটি তল। yz-তলের লম্ব x-অক্ষ, তাই $\vec{S} = 15\hat{i}$ m²:

\phi = \vec{E}\cdot\vec{S} = (5)(15) + (4)(0) + (3)(0) = 75\ \text{V m}

শুধু $\vec{S}$ -এর দিক বরাবর উপাংশ $E_x$ কাজে লাগে; $E_y$ , $E_z$ তলের গা বরাবর, তারা তল ভেদ করে না।

নিজে যাচাই করো

একটি সমতল তলের মধ্য দিয়ে ফ্লাক্স শূন্য, অথচ সেখানে E শূন্য নয়। কী বলা যায়?

ধাপ ৩: বাঁকা ও বদ্ধ তল

তল বাঁকা হলে বা ক্ষেত্র সুষম না হলে পুরো তলে একটি $\theta$ থাকে না। তখন তলটাকে অসংখ্য ছোট টুকরো $d\vec{S}$ -এ ভাগ করি — প্রতিটি টুকরো প্রায় সমতল, তার ওপর $\vec{E}$ প্রায় ধ্রুব — আর সব টুকরোর ফ্লাক্স যোগ করি:

\phi = \int \vec{E}\cdot d\vec{S}

বদ্ধ তলের জন্য যোগফলকে গোল-চিহ্নওয়ালা সমাকল $\oint$ দিয়ে লেখা হয়। $d\vec{S}$ বাইরের দিকে বলে বেরিয়ে যাওয়া ফ্লাক্স ধনাত্মক, ঢুকে পড়া ফ্লাক্স ঋণাত্মক।

একটি উদাহরণ: সুষম ক্ষেত্রে একটি বদ্ধ সিলিন্ডার, অক্ষ ক্ষেত্রের সমান্তরাল (মুখের ক্ষেত্রফল $A$ ):

বাঁ মুখ দিয়ে যত রেখা ঢোকে, ডান মুখ দিয়ে ঠিক ততটাই বেরোয়; বক্রতলের লম্ব E-এর লম্ব। মোট ∮E·dS = −EA + 0 + EA = 0 — ভেতরে কোনো চার্জ নেই।

\oint \vec{E}\cdot d\vec{S} = \underbrace{EA\cos 180^\circ}_{\text{left}} + \underbrace{EA\cos 0^\circ}_{\text{right}} + \underbrace{0}_{\text{curved}} = -EA + EA + 0 = 0

ভেতরে কোনো চার্জ নেই — আর মোট ফ্লাক্সও শূন্য। কাকতালীয় নয়; পরের ধাপে দেখবে কেন।

নিজে যাচাই করো

সুষম ক্ষেত্রে রাখা একটি বদ্ধ ঘনকের (ভেতরে কোনো চার্জ নেই) মোট ফ্লাক্স কত?

ধাপ ৪: ঘনকোণ আর গাউসের সূত্র

এবার একটি বিন্দু চার্জ $q$ কে যেকোনো আকারের বদ্ধ তল দিয়ে ঘিরে ফেলো। তলের একটি টুকরো $dS$ চার্জ থেকে $r$ দূরে, তার লম্ব $\hat{r}$ -এর সাথে $\theta$ কোণে হেলানো। কুলম্বের সূত্র থেকে সেখানে $E = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{r^2}$ , $\hat{r}$ বরাবর। তাহলে

d\phi = E\,dS\cos\theta = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{dS\cos\theta}{r^2}

$\dfrac{dS\cos\theta}{r^2}$ হলো টুকরোটি চার্জের অবস্থান থেকে যে ঘনকোণ (solid angle) $d\omega$ তৈরি করে (একক স্টেরেডিয়ান, sr):

q থেকে একটি সরু শঙ্কু (cone) তলের টুকরো dS-কে কাটে। টুকরোটা যত দূরে বা যত হেলানো, একই শঙ্কুর জন্য dS তত বড় — তাই E·dS শুধু শঙ্কুর ঘনকোণের ওপর নির্ভর করে, দূরত্ব বা হেলানোর ওপর নয়।

দূরত্ব বাড়লে $E$ কমে $1/r^2$ হারে, কিন্তু একই শঙ্কুর (cone) কাটা টুকরো বাড়ে $r^2$ হারে — দুটো কাটাকাটি। হেলালে $\cos\theta$ কমে, কিন্তু একই শঙ্কু কাটতে টুকরো বড় লাগে। তাই প্রতিটি টুকরোর ফ্লাক্স শুধু তার ঘনকোণের ওপর নির্ভর করে: $d\phi = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}d\omega$ । চার্জের চারদিকে পুরো ঘনকোণ $4\pi$ sr, তাই

\phi = \oint \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\oint d\omega = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot 4\pi = \frac{q}{\varepsilon_0}

এটাই গাউসের সূত্র (Gauss’s law): শূন্য মাধ্যমে যেকোনো বদ্ধ তলের মধ্য দিয়ে মোট তড়িৎ ফ্লাক্স তলের ভেতরের মোট চার্জের $1/\varepsilon_0$ গুণ।

\oint \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{q_\text{enc}}{\varepsilon_0}

তলের আকার ও মাপ নিয়ে সূত্রে কিছু নেই — গোলক, ঘনক, আলুর মতো এবড়োখেবড়ো তল, সবগুলোর জন্য একই উত্তর।
চার্জ বাইরে থাকলে তার প্রতিটি শঙ্কু তলকে জোড়ায় জোড়ায় কাটে — একবার ঢোকে ( $-d\omega$ ), একবার বেরোয় ( $+d\omega$ )। মোট ফ্লাক্স শূন্য, যদিও তলের ওপর $E$ শূন্য নয়।
অনেক চার্জ থাকলে উপরিপাতন (superposition): শুধু ভেতরের চার্জগুলোর বীজগাণিতিক যোগফল $q_\text{enc}$ গোনে।

নিচে তলের একটি প্রস্থচ্ছেদ (cross-section) আর একটি চার্জের 16টি বলরেখা। চার্জটা টেনে ভেতরে-বাইরে নাও, আকার বদলাও, আর কাটা-বিন্দুগুলো গোনো:

বেরিয়ে যাওয়া (leaving)ঢুকে পড়া (entering)

বেরোনো (out)16

ঢোকা (in)0

নিট (net) = বেরোনো − ঢোকা16

চার্জ ভেতরে: প্রতিটি রেখা নিট একবার বেরোয়, তাই নিট = 16 — তলের আকার বা চার্জের জায়গা যা-ই হোক। রেখা যত বার এঁকেবেঁকে ঢোকে-বেরোয়, জোড়ায় জোড়ায় কাটাকাটি হয়।

নিজে যাচাই করো

একটি বদ্ধ তলের বাইরে +5 μC আর ভেতরে −2 μC ও +3 μC চার্জ আছে। তলের মধ্য দিয়ে মোট ফ্লাক্স কত?

ধাপ ৫: গাউসীয় তল

গাউসের সূত্র প্রয়োগের জন্য আমরা যে কাল্পনিক বদ্ধ তল কল্পনা করি, তাকে গাউসীয় তল (Gaussian surface) বলে। মনে রাখো:

যেকোনো বদ্ধ তলই গাউসীয় তল হতে পারে; সূত্রটি সবার জন্য সত্য। তল কাল্পনিক — কোনো বস্তু নয়, চার্জের ওপর কোনো প্রভাবও ফেলে না।
হিসাব সহজ করতে আমরা এমন তল বাছি যার প্রতিটি বিন্দুতে $E$ -এর মান সমান আর $\vec{E}$ তলের লম্ব (বা কোনো অংশে তলের সমান্তরাল)। তখন $\oint \vec{E}\cdot d\vec{S} = E \times (\text{area})$ হয়ে যায়। এটা সুবিধার জন্য বাছাই, সংজ্ঞার অংশ নয়।
বিন্দু চার্জ বা গোলীয় চার্জের জন্য সমকেন্দ্রিক গোলক, লম্বা তারের জন্য সমাক্ষ সিলিন্ডার, সমতল পাতের জন্য পাত ভেদ করা ছোট সিলিন্ডার (“পিলবক্স”) — এসব পরের পাঠে।

নিজে যাচাই করো

নিচের কোনটি গাউসীয় তল সম্পর্কে সঠিক?

ধাপ ৬: গাউসের সূত্র থেকে কুলম্বের সূত্র

উল্টো দিকেও যাওয়া যায়। একটি বিন্দু চার্জ $q$ কে কেন্দ্র করে $r$ ব্যাসার্ধের একটি গোলীয় গাউসীয় তল নাও। প্রতিসাম্যের জন্য তলের প্রতিটি বিন্দুতে $E$ সমান আর ব্যাসার্ধ বরাবর — অর্থাৎ $d\vec{S}$ -এর সমান্তরাল ( $\theta = 0$ ):

\oint \vec{E}\cdot d\vec{S} = E\oint dS = E\cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0} \;\Rightarrow\; E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}

এখন ওই বিন্দুতে আরেকটি চার্জ $q_0$ রাখলে বল $F = q_0E = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{qq_0}{r^2}$ — এটাই কুলম্বের সূত্র। তাই দুটি সূত্র একই পদার্থবিজ্ঞানের দুটি রূপ; স্থির চার্জের জন্য গাউসের রূপটি বেশি সাধারণ আর প্রতিসম সমস্যায় অনেক দ্রুত।

উদাহরণ: 2 m ব্যাসার্ধের গোলকের কেন্দ্রে 2 μC। তলে প্রাবল্য $E = \dfrac{8.988\times10^{9}\times2\times10^{-6}}{2^2} = 4494$ N C⁻¹ (বোর্ডের মান, $k = 9\times10^9$ : 4500 N C⁻¹)। ফ্লাক্স $\phi = E\cdot4\pi r^2 = q/\varepsilon_0 = 2.26\times10^{5}$ N m² C⁻¹। ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করলে $E$ এক-চতুর্থাংশ হয়, ক্ষেত্রফল চার গুণ — ফ্লাক্স একই থাকে।

ধাপ ৭: ঘনকের কেন্দ্রে চার্জ আর “বলরেখার সংখ্যা”

একটি ঘনকের ঠিক কেন্দ্রে $q$ । মোট ফ্লাক্স $q/\varepsilon_0$ , আর ছয়টি মুখ কেন্দ্রের সাপেক্ষে হুবহু এক রকম, তাই প্রতিটি মুখে

\phi_\text{face} = \frac{q}{6\varepsilon_0}

1 μC হলে $\phi_\text{face} = \dfrac{10^{-6}}{6\times 8.854\times10^{-12}} = 1.88\times10^{4}$ N m² C⁻¹। কোনো একটি মুখে $E$ মোটেই সুষম নয় (মাঝখানে বেশি, কোণে কম) — তবু প্রতিসাম্য দিয়ে সমাকল না করেই উত্তর পেলাম। এটাই গাউসের সূত্রের শক্তি।

বইয়ে ফ্লাক্সকে প্রায়ই “তল ভেদ করা বলরেখার সংখ্যা” বলা হয়, আর বলা হয় 1 C চার্জ থেকে $1/\varepsilon_0 = 1.13\times10^{11}$ টি বলরেখা বের হয়। এটা একটা প্রথা (convention): “1 C থেকে মোট ফ্লাক্স $1.13\times10^{11}$ N m² C⁻¹” কথাটাকেই রেখার সংখ্যা হিসেবে বলা। সেই অর্থে, কোনো চার্জ থেকে 5500 “রেখা” বের হলে $q = 5500\,\varepsilon_0 = 4.87\times10^{-8}$ C।

নিজে যাচাই করো

একটি ঘনকের কেন্দ্রে 3 μC চার্জ। ঘনকের যেকোনো একটি মুখ দিয়ে ফ্লাক্স কত?

ধাপ ৮: মাধ্যমে গাউসের সূত্র

চার্জটি যদি শূন্যস্থানে না থেকে $K$ পরাবৈদ্যুতিক ধ্রুবকের (dielectric constant) কোনো মাধ্যমে থাকে, তাহলে মাধ্যমের ভেদনযোগ্যতা (permittivity) $\varepsilon = K\varepsilon_0$ , আর

\varepsilon\oint \vec{E}\cdot d\vec{S} = q \quad\Rightarrow\quad \oint \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{q}{K\varepsilon_0}

এখানে $q$ হলো ভেতরের মুক্ত চার্জ (free charge) — যে চার্জ আমরা নিজেরা রেখেছি। মাধ্যমের অণুগুলো পোলারায়িত হয়ে (পাঠ ৭) ক্ষেত্রকে $K$ গুণ দুর্বল করে, তাই একই চার্জের ফ্লাক্সও $K$ গুণ কম। পানিতে ( $K \approx 80$ ) একই চার্জের ফ্লাক্স বাতাসের প্রায় 80 ভাগের এক ভাগ।

নিজে যাচাই করো

বাতাসে একটি চার্জকে ঘিরে থাকা বদ্ধ তলের ফ্লাক্স φ। পুরো ব্যবস্থাটা K = 4 মাধ্যমে ডোবালে ফ্লাক্স কত হবে?

ধাপ ৯: এবার নিজে করে দেখো

নিচের 3D ল্যাবে একটি গাউসীয় তল বাছো — গোলক (sphere), ঘনক (cube), সিলিন্ডার (cylinder) বা এবড়োখেবড়ো (lumpy) তল। তলের প্রতিটি টুকরো রং পায় $\vec{E}\cdot\hat{n}$ অনুযায়ী: লাল = ফ্লাক্স বেরোচ্ছে, নীল = ঢুকছে।

“তল (surface)” বাছাই করে x, y, z বোতামে তল সরাও আর স্লাইডারে বড়-ছোট করো; Q1…Q4 বাছাই করে চার্জ সরাও আর তার মান (μC) বদলাও। সর্বোচ্চ 4টি চার্জ।
ল্যাবটি তলকে 2000-এর বেশি ছোট টুকরোয় (patches) ভাগ করে প্রতিটির $\vec{E}\cdot\Delta\vec{S}$ যোগ করে — সত্যিকারের সমাকল (numerical integration)। পাশে গাউসের ভবিষ্যদ্বাণী $q_\text{enc}/\varepsilon_0$ — মিলিয়ে দেখো।
3D দৃশ্য আঙুলে ঘোরানো যায়; ধীর ফোনে প্রস্থচ্ছেদ (2D cross-section) বোতামটি ব্যবহার করো।
প্রতিটি মাপ খাতায় লেখো — চ্যালেঞ্জগুলো শেষ করলে “কেন” ব্যাখ্যা খুলবে।

গাউসের সূত্র 3D ল্যাব

Gauss's law 3D lab

↗

3D লোড হচ্ছে…

E·n̂ > 0: বেরোচ্ছে (out)E·n̂ < 0: ঢুকছে (in)≈ 0বলরেখা (field lines, 12)

আঙুলে টেনে ঘোরাও (drag to orbit), দুই আঙুলে জুম।

x0.3y0.0z0.2

চার্জ (charge) Q1μC

ভেতরের চার্জ q_enc6 μC

φ, প্যাচ যোগ করে (numerical, 2304 patches)6.76 × 10⁵N m² C⁻¹

গাউস: q_enc/ε₀6.78 × 10⁵বোর্ডের মান (ε₀ = 8.854 × 10⁻¹²): 6.78 × 10⁵

হিসাব আর গাউসের মান মেলে (পার্থক্য 0.20%) — তলের আকার, মাপ বা ভেতরে চার্জের জায়গা বদলালেও।

চ্যালেঞ্জ (challenges)

0/6

যেকোনো তলের ভেতরে মোট 6 μC রাখো — φ কত?
চার্জটিকে তলের বাইরে নিয়ে যাও (তল বা চার্জ সরিয়ে)।
ঘনকের ঠিক কেন্দ্রে 1 μC রাখো (“কেন্দ্রে 1 μC” বোতাম) — প্রতিটি মুখে ফ্লাক্স কত?
(কঠিন) চার্জটি ঘনকের একটি কোণে বসাও (“ঘনকের কোণে”) — পুরো ঘনকে ফ্লাক্স কত?
ঘনকের ভেতরে ছয়টি দ্বিমেরু (six dipoles) রাখো — নিট ফ্লাক্স কত?
উল্টো হিসাব: তল দিয়ে φ = 5.6 × 10⁵ N m² C⁻¹ পেতে ভেতরে কত চার্জ লাগবে? চার্জ বসিয়ে মিলিয়ে দেখো।

পর্যবেক্ষণ খাতা (observation notebook)

এখনো কিছু লেখা হয়নি — তল আর চার্জ বসিয়ে “খাতায় লেখো” চাপো।

বই পড়ার সময় সাবধান — এই অংশে বইয়ের কয়েকটি কথা ভুল বা বিভ্রান্তিকর:

পৃ. 159 (অধ্যায়ের সারসংক্ষেপ): “গাউসীয় তল: … এই তলের প্রতিটি বিন্দুতে তড়িৎ প্রাবল্যের মান সমান এবং তড়িৎ ফ্লাক্স তলের উপর লম্ব হয়” — ভুল সংজ্ঞা। গাউসীয় তল হলো যেকোনো কাল্পনিক বদ্ধ তল; E সমান ও লম্ব এমন তল বাছাই শুধু হিসাবের সুবিধা (ধাপ ৫)। বইয়ের পৃ. 136-এর সংজ্ঞাটিই ঠিক।
পৃ. 160, তথ্য #23: প্রাবল্য বের করা যায় “অ্যাম্পিয়ারের এবং গাউসের সূত্র” দিয়ে — ভুল। অ্যাম্পিয়ারের সূত্র চৌম্বক ক্ষেত্রের (magnetic field) জন্য। তড়িৎ প্রাবল্যের জন্য কুলম্ব ও গাউসের সূত্র (বইয়ের MCQ 27-এর উত্তর “কুলম্ব ও গাউস” ঠিক)।
পৃ. 144, সূত্র-তালিকা: “ $E = \oint\vec{E}\cdot d\vec{S} = q/\varepsilon_0$ ” — ছাপার ভুল; বাঁ পাশে হবে ফ্লাক্স: $\phi = \oint\vec{E}\cdot d\vec{S} = q/\varepsilon_0$ ।
পৃ. 88, 135, 159: ফ্লাক্সকে “তল ভেদকারী বলরেখার সংখ্যা” বলা হয়েছে। এটা একটা ছবি, সংজ্ঞা নয় — বলরেখা কয়টা আঁকব তা আমাদের ইচ্ছা। ফ্লাক্সের সংজ্ঞা $\phi = \oint\vec{E}\cdot d\vec{S}$ , একক N m² C⁻¹। “1 C থেকে $1/\varepsilon_0 = 1.13\times10^{11}$ টি রেখা” পরীক্ষায় লিখতে পারো, তবে অর্থ হলো 1 C-এর মোট ফ্লাক্স।
এই পাঠের সব হিসাব CODATA মান দিয়ে ( $\varepsilon_0 = 8.854\times10^{-12}$ F m⁻¹, $k = 8.988\times10^{9}$ N m² C⁻²); বইয়ের কিছু হিসাবে $k = 9\times10^9$ আর $\varepsilon_0 = 8.854\times10^{-12}$ একসাথে মেশানো, তাই তৃতীয় অঙ্কে সামান্য গরমিল হয়।

ঘরে বসে পরীক্ষা: রোদে ফ্লাক্স মাপো

সূর্যের আলোর রশ্মিগুলো প্রায় সমান্তরাল — ঠিক সুষম ক্ষেত্রের বলরেখার মতো। তাই রোদ দিয়ে $\phi = ES\cos\theta$ নিজে মাপা যায়।

তোমার লাগবে: একটি শক্ত কার্ডবোর্ড, কাঁচি, স্কেল, একটি চাঁদা (protractor), একটি পেনসিল, আর 1 cm ঘরের ছক কাটা একটি সাদা কাগজ।

কার্ডবোর্ডের মাঝখানে 4 cm × 4 cm একটি বর্গাকার জানালা কেটে নাও।
ছক কাটা কাগজটি একটি বইয়ের ওপর রাখো আর রোদের দিকে এমনভাবে হেলাও যে কাগজের ওপর খাড়া রাখা পেনসিলের কোনো ছায়া না পড়ে — তখন কাগজটি রশ্মির লম্ব।
জানালাটি কাগজের সমান্তরাল ধরে রাখো (θ = 0)। কাগজে আলোর বর্গটি কত ঘর ঢাকে গোনো — প্রায় 16 ঘর।
এবার কার্ডবোর্ডটি একটি বাহু বরাবর অক্ষ ধরে 30°, 45°, 60°, 75° হেলাও (চাঁদা দিয়ে মেপে)। প্রতিবার আলোকিত অংশের ক্ষেত্রফল গোনো।
সারণি করো: θ, আলোকিত ক্ষেত্রফল, $16\cos\theta$ । দুটি কলাম প্রায় মিলবে — জানালা দিয়ে যাওয়া আলো (আলোর “ফ্লাক্স”) $\propto S\cos\theta$ ।

বৃষ্টির দিনে বিকল্প: বারান্দার বাইরে চারকোনা ফ্রেমওয়ালা একটি ফানেল বা বাটি ধরো, প্রতিবার সমান সময় (ধরো 2 মিনিট) পানি জমাও, ফ্রেম হেলালে পানি কমবে প্রায় $\cos\theta$ হারে।

নিরাপত্তা: কখনো সরাসরি সূর্যের দিকে তাকাবে না, আর আতশ কাচ (magnifying glass) বা চশমার কাচ দিয়ে রোদ কেন্দ্রীভূত করবে না — চোখ নষ্ট হতে পারে, কাগজে আগুন ধরতে পারে। বৃষ্টির পরীক্ষায় মোবাইল ফোন শুকনো জায়গায় রাখো, আর বজ্রপাতের সময় বাইরে যাবে না।

পরীক্ষার প্রস্তুতি

১. (সৃজনশীল, ঘ-অংশ ধরনের) গাউসের সূত্র বিবৃত করো। কুলম্বের সূত্র থেকে গাউসের সূত্র প্রতিপাদন করো, আর দেখাও যে গাউসের সূত্র থেকে কুলম্বের সূত্র পাওয়া যায়।

উত্তর দেখো

বিবৃতি: শূন্য মাধ্যমে যেকোনো বদ্ধ তলের মধ্য দিয়ে মোট তড়িৎ ফ্লাক্স তলের ভেতরের মোট চার্জের $1/\varepsilon_0$ গুণ: $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S} = q/\varepsilon_0$ ।

কুলম্ব → গাউস: $q$ চার্জকে ঘিরে যেকোনো বদ্ধ তল নাও। $r$ দূরের টুকরো $dS$ -এ $E = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ , আর $\vec{E}$ ও $d\vec{S}$ -এর কোণ $\theta$ :

d\phi = E\,dS\cos\theta = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dS\cos\theta}{r^2} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,d\omega

পুরো তল চার্জকে ঘিরে $4\pi$ ঘনকোণ তৈরি করে, তাই $\phi = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot4\pi = \dfrac{q}{\varepsilon_0}$ । বাইরের চার্জের প্রতিটি শঙ্কু তলকে দুবার কাটে ( $+d\omega$ , $-d\omega$ ), তাই তার অবদান শূন্য।

গাউস → কুলম্ব: $q$ -কে কেন্দ্র করে $r$ ব্যাসার্ধের গোলীয় গাউসীয় তল। প্রতিসাম্যে $E$ সর্বত্র সমান ও ব্যাসার্ধ বরাবর: $E\cdot4\pi r^2 = q/\varepsilon_0 \Rightarrow E = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}$ । সেখানে $q_0$ রাখলে $F = q_0E = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{qq_0}{r^2}$ — কুলম্বের সূত্র।

২. 1000 N C⁻¹ সুষম তড়িৎ ক্ষেত্রে 5.5 mm বাহুর একটি বর্গাকার তল রাখা আছে; তলের লম্ব ক্ষেত্রের সাথে 60° কোণ করে। তলের মধ্য দিয়ে ফ্লাক্স নির্ণয় করো।

উত্তর দেখো

$S = (5.5\times10^{-3})^2 = 3.025\times10^{-5}$ m²। $\phi = ES\cos60^\circ = 1000\times3.025\times10^{-5}\times0.5 = 1.51\times10^{-2}$ N m² C⁻¹ (0.0151)।

৩. $\vec{E} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 8\hat{k}$ N C⁻¹ ক্ষেত্রে zx-তলে রাখা 12 m² একটি তলের মধ্য দিয়ে ফ্লাক্স কত?

উত্তর দেখো

zx-তলের লম্ব y-অক্ষ, তাই $\vec{S} = 12\hat{j}$ m²। $\phi = \vec{E}\cdot\vec{S} = (3)(0) + (5)(12) + (8)(0) = 60$ V m (N m² C⁻¹)। $\vec{S}$ -কে $12\hat{i}$ বা $12\hat{k}$ ধরা সাধারণ ভুল।

৪. 2 m ব্যাসার্ধের একটি কাল্পনিক গোলকের কেন্দ্রে 2 μC চার্জ। (ক) গোলকের তলে প্রাবল্য, (খ) গোলকের মধ্য দিয়ে মোট ফ্লাক্স নির্ণয় করো। (গ) ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করলে এ দুটি কী হবে?

উত্তর দেখো

(ক) $E = \dfrac{kq}{r^2} = \dfrac{8.988\times10^{9}\times2\times10^{-6}}{4} = 4494$ N C⁻¹ (বোর্ডের মান 4500)।

(খ) $\phi = q/\varepsilon_0 = \dfrac{2\times10^{-6}}{8.854\times10^{-12}} = 2.26\times10^{5}$ N m² C⁻¹। (যাচাই: $E\cdot4\pi r^2 = 4494\times50.27 = 2.26\times10^5$ ।)

(গ) $E$ এক-চতুর্থাংশ হবে (1124 N C⁻¹), কিন্তু ফ্লাক্স একই থাকবে — ভেতরের চার্জ বদলায়নি।

৫. (MCQ) তড়িৎ ফ্লাক্সের একক কোনটি? (ক) N C⁻¹ (খ) N m² C⁻¹ (গ) V m⁻¹ (ঘ) C m² N⁻¹

উত্তর দেখো

(খ)। $\phi = ES$ : (N C⁻¹)(m²) = N m² C⁻¹ = V m। (ক) আর (গ) প্রাবল্যের একক; (ঘ) হলো $\varepsilon_0$ -এর এককের সাথে মিলিয়ে ভুল করা।

৬. (MCQ) একটি চার্জ থেকে 5500টি বলরেখা (ফ্লাক্স 5500 N m² C⁻¹) নির্গত হয়। চার্জের পরিমাণ কত? (ক) $6.21\times10^{14}$ C (খ) $4.87\times10^{-8}$ C (গ) $4.87\times10^{-14}$ C (ঘ) $1.61\times10^{-15}$ C

উত্তর দেখো

(খ)। $q = \varepsilon_0\phi = 8.854\times10^{-12}\times5500 = 4.87\times10^{-8}$ C। (ক) আসে $\phi/\varepsilon_0$ করলে।

৭. (সৃজনশীল) 0.2 m বাহুর একটি কাল্পনিক ঘনকের ঠিক কেন্দ্রে 1 μC চার্জ রাখা আছে। (ক) তড়িৎ ফ্লাক্স কাকে বলে? (খ) বদ্ধ তলের বাইরের চার্জের জন্য তলের মোট ফ্লাক্স শূন্য কেন? (গ) ঘনকের প্রতিটি মুখ দিয়ে ফ্লাক্স নির্ণয় করো। (ঘ) চার্জটিকে সরিয়ে ঘনকের একটি কোণে বসালে ঘনকের মোট ফ্লাক্স কি $q/\varepsilon_0$ থাকবে? গাণিতিক যুক্তি দাও।

উত্তর দেখো

(ক) কোনো তলের প্রতিটি টুকরোর জন্য তড়িৎ প্রাবল্য আর ক্ষেত্রফল ভেক্টরের ডট গুণফলের যোগফল $\phi = \int\vec{E}\cdot d\vec{S}$ — সেটাই তলের মধ্য দিয়ে তড়িৎ ফ্লাক্স; একক N m² C⁻¹।

(খ) বাইরের চার্জ থেকে আসা প্রতিটি বলরেখা (প্রতিটি সরু শঙ্কু) তলে যত বার ঢোকে, তত বার বেরোয়। ঢোকার ফ্লাক্স ঋণাত্মক, বেরোনোর ধনাত্মক, আর একই শঙ্কুর জন্য দুটির মান সমান ( $\pm\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}d\omega$ ) — মোট শূন্য।

(গ) $\phi_\text{face} = \dfrac{q}{6\varepsilon_0} = \dfrac{10^{-6}}{6\times8.854\times10^{-12}} = 1.88\times10^{4}$ N m² C⁻¹। ঘনকের বাহুর মাপ (0.2 m) উত্তরে লাগে না।

(ঘ) না। কোণে বসা চার্জকে পুরোপুরি ঘিরতে ঠিক 8টি এমন ঘনক লাগে, প্রতিসাম্যে প্রত্যেকে সমান ভাগ পায়। তাই এই ঘনকের ফ্লাক্স $\dfrac{q}{8\varepsilon_0} = \dfrac{10^{-6}}{8\times8.854\times10^{-12}} = 1.41\times10^{4}$ N m² C⁻¹। কোণ-ছোঁয়া তিনটি মুখে $\vec{E}$ তলের সমান্তরাল (ফ্লাক্স 0); বাকি তিনটিতে $q/24\varepsilon_0$ করে। (ল্যাবের “ঘনকের কোণে” বোতামে মিলিয়ে দেখো।)