পাঠ ১২ / ১৩অনুচ্ছেদ ২.১২.১, ২.১৩

স্কেলার ক্ষেত্র, ডেল অপারেটর ও গ্রেডিয়েন্টScalar fields, the del operator & gradient

এই পাঠের আগে পড়ো (read first): পাঠ ৮ — স্কেলার (ডট) গুণন: অভিক্ষেপ, কোণ ও কাজ, পাঠ ১১ — ভেক্টর ক্যালকুলাস: অবকলন, সমাকলন, বেগ ও ত্বরণ

নিচে একটি পাহাড়ের ওপর থেকে দেখা মানচিত্র। সাদা রেখাগুলো কনট্যুর রেখা (contour line) — একই রেখার সব বিন্দুর উচ্চতা সমান। যেকোনো জায়গায় টোকা দিয়ে একটি বল রাখো, দেখো সেটি কোন পথে গড়ায়:

কনট্যুর রেখা (contour): প্রতি 25 m উচ্চতায়সবচেয়ে খাড়া চড়াই (steepest uphill)এই বিন্দুর কনট্যুর

উচ্চতা (height) h—

সবচেয়ে খাড়া ঢাল (steepest slope)—

তীর ও কনট্যুরের কোণ (angle)—

মানচিত্রের যেকোনো জায়গায় টোকা দাও — সেখানে একটি বল রাখা হবে।

কাল্পনিক পাহাড় (illustrative hill): দুটি চূড়া, 300 m ও 200 m উঁচু; x, y কিলোমিটারে।

পাহাড়ে সবচেয়ে খাড়া পথ কোনটি, আর সেটি কনট্যুর রেখাকে কত কোণে কাটে? প্রতিটি বিন্দুতে উচ্চতা একটি সংখ্যা মাত্র — তবু সেই সংখ্যাগুলো থেকেই একটি দিক বের হয়ে আসে। সংখ্যার ক্ষেত্র থেকে “সবচেয়ে খাড়া চড়াইয়ের দিক” বের করার নিয়মটির নাম গ্রেডিয়েন্ট (gradient)।

এই পাঠে ধাপে ধাপে এগোব:

ক্ষেত্র (field) — স্কেলার ক্ষেত্র আর ভেক্টর ক্ষেত্র
অপারেটর (operator) আর ডেল $\nabla$ (del); ল্যাপলাসিয়ান $\nabla^2$
আংশিক অন্তরজ (partial derivative) — একটি স্থানাঙ্ক বদলাও, বাকিগুলো স্থির
গ্রেডিয়েন্ট $\nabla\phi$ — দিক, মান আর কনট্যুরের সাথে লম্বতা
যেকোনো দিকে পরিবর্তনের হার $\nabla\phi\cdot\hat{u}$ ; $\vec{E} = -\nabla V$
পরীক্ষার ধরন — বিন্দুতে $\nabla\phi$ , $\vec{A}\cdot\nabla\phi$ , লম্ব হওয়ার শর্ত, একক ভেক্টর
এবার নিজে করে দেখো — গ্রেডিয়েন্ট মানচিত্র ল্যাব (gradient map lab)

ধাপ ১: ক্ষেত্র — স্কেলার ও ভেক্টর

কোনো অঞ্চলের প্রতিটি বিন্দুতে যদি একটি ভৌত রাশির নির্দিষ্ট মান থাকে, তবে ওই অঞ্চলকে সেই রাশির ক্ষেত্র (field) বলে।

স্কেলার ক্ষেত্র (scalar field): প্রতিটি বিন্দুতে রাশিটি একটি স্কেলার — শুধু একটি সংখ্যা ও একক। যেমন ঘরের তাপমাত্রা $T(x, y, z)$ , পাহাড়ের উচ্চতা $h(x, y)$ , বায়ুর ঘনত্ব, তড়িৎ বিভব (electric potential) $V(x, y, z)$ ।
ভেক্টর ক্ষেত্র (vector field): প্রতিটি বিন্দুতে রাশিটি একটি ভেক্টর — মান আর দিক দুটোই। যেমন বাতাস বা নদীর পানির বেগ, মহাকর্ষ ক্ষেত্র (gravitational field), তড়িৎ ক্ষেত্র (electric field) $\vec{E}$ ।

বাঁয়ে প্রতিটি বিন্দুতে শুধু একটি সংখ্যা; ডানে প্রতিটি বিন্দুতে একটি তীর। (কাল্পনিক মান, illustrative)

গণিতে স্কেলার ক্ষেত্রকে একটি স্কেলার অপেক্ষক (scalar function) $\phi(x, y, z)$ দিয়ে লেখা হয়: বিন্দুর স্থানাঙ্ক বসালে একটি সংখ্যা পাওয়া যায়। ভেক্টর ক্ষেত্র লেখা হয় তিনটি উপাংশ দিয়ে, $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$ , যেখানে প্রতিটি উপাংশ নিজেই $x, y, z$ -এর অপেক্ষক।

নিজে যাচাই করো

নিচের কোনটি ভেক্টর ক্ষেত্র?

ধাপ ২: অপারেটর আর ডেল ( $\nabla$ )

অপারেটর (operator) হলো একটি নির্দেশ, যা তার ডান পাশে লেখা জিনিসের ওপর কাজ করে। একা এর কোনো মান নেই। যেমন $\sqrt{\phantom{x}}$ মানে “বর্গমূল নাও”, $\sin$ মানে “সাইন নাও”, আর $\dfrac{d}{dx}$ মানে “ $x$ -এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করো” — $\dfrac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$ ।

ভেক্টর বিশ্লেষণের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অপারেটর হলো ডেল (del) বা ন্যাবলা (nabla), চিহ্ন $\nabla$ :

\nabla = \hat{i}\,\frac{\partial}{\partial x} + \hat{j}\,\frac{\partial}{\partial y} + \hat{k}\,\frac{\partial}{\partial z}

দেখতে এটি একটি ভেক্টরের মতো — তিনটি উপাংশ, সাথে $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ । তাই একে ভেক্টর অপারেটর (vector operator) বলে। কিন্তু এটি আসল ভেক্টর নয়: এর কোনো মান বা দিক নেই, যতক্ষণ না কোনো ক্ষেত্রের ওপর কাজ করে।
এটি বিনিময় নিয়ম মানে না: $\nabla\cdot\vec{A} \neq \vec{A}\cdot\nabla$ । বাঁ দিকেরটি একটি সংখ্যা-ক্ষেত্র (ডাইভারজেন্স, পরের পাঠে); ডান দিকেরটি এখনো একটি অপারেটর, $A_x\dfrac{\partial}{\partial x} + A_y\dfrac{\partial}{\partial y} + A_z\dfrac{\partial}{\partial z}$ , যা কিছুর ওপর কাজ করার অপেক্ষায়।
$\nabla$ -কে নিজের সাথে ডট করলে পাই ল্যাপলাসিয়ান (Laplacian) — একটি স্কেলার অপারেটর (scalar operator):

\nabla^2 = \nabla\cdot\nabla = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}

$\nabla$ তিনভাবে কাজ করে: স্কেলার ক্ষেত্রের ওপর সরাসরি ( $\nabla\phi$ , গ্রেডিয়েন্ট — এই পাঠ), আর ভেক্টর ক্ষেত্রের সাথে ডট ( $\nabla\cdot\vec{A}$ , ডাইভারজেন্স) বা ক্রস ( $\nabla\times\vec{A}$ , কার্ল) — পরের পাঠ।

নিজে যাচাই করো

নিচের কোন উক্তিটি সঠিক?

ধাপ ৩: আংশিক অন্তরজ — একটি বদলাও, বাকিগুলো স্থির

$\nabla$ -এর ভেতরে $\dfrac{\partial}{\partial x}$ চিহ্নটি আংশিক অন্তরজ (partial derivative)। যে অপেক্ষক একাধিক চলকের ( $x, y, z$ ) ওপর নির্ভর করে, তার ক্ষেত্রে $\dfrac{\partial\phi}{\partial x}$ মানে: $y$ আর $z$ -কে ধ্রুবক ধরে শুধু $x$ -এর সাপেক্ষে সাধারণ অন্তরীকরণ।

পাহাড়ের ভাষায়: $y$ স্থির রেখে পূর্ব-পশ্চিমে (x বরাবর) পাহাড়টা ছুরি দিয়ে কাটলে যে প্রোফাইল পাও, বিন্দুতে তার ঢালই $\dfrac{\partial h}{\partial x}$ । একইভাবে $x$ স্থির রেখে উত্তর-দক্ষিণে কাটলে $\dfrac{\partial h}{\partial y}$ । নিচে বিন্দু সরাও আর কাটার দিক বদলাও:

x = −0.4 kmy = 1.2 km

∂h/∂x (y স্থির)120 m/km

∂h/∂y (x স্থির)−70.3 m/km

মান (magnitude) |∇h|139.1 m/km

x বরাবর কাটা প্রোফাইলে বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল (slope of the tangent) = 120 m/km। এটিই ∇h-এর x (নীল) উপাংশ; দুই উপাংশ জুড়ে কমলা তীর ∇h।

দুই কাটার দুটি ঢাল আলাদা সংখ্যা — কিন্তু একসাথে জুড়লে কমলা তীরটি পাও, যেটি ঠিক সবচেয়ে খাড়া চড়াইয়ের দিকে। এটিই পরের ধাপের গ্রেডিয়েন্ট।

উদাহরণ: $\phi = x^2y + 3yz$ হলে

\frac{\partial\phi}{\partial x} = 2xy, \qquad \frac{\partial\phi}{\partial y} = x^2 + 3z, \qquad \frac{\partial\phi}{\partial z} = 3y

$\partial/\partial x$ করার সময় $3yz$ পদে $x$ নেই, তাই সেটি ধ্রুবকের মতো শূন্য হয়ে যায়।

নিজে যাচাই করো

φ = x³y² − 4yz হলে ∂φ/∂y = ?

ধাপ ৪: গ্রেডিয়েন্ট

একটি অন্তরীকরণযোগ্য স্কেলার ক্ষেত্র $\phi(x, y, z)$ -এর ওপর $\nabla$ প্রয়োগ করলে যে ভেক্টর পাওয়া যায়, তা-ই $\phi$ -এর গ্রেডিয়েন্ট (gradient), লেখা হয় $\nabla\phi$ বা $\text{grad}\,\phi$ :

\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial x}\,\hat{i} + \frac{\partial\phi}{\partial y}\,\hat{j} + \frac{\partial\phi}{\partial z}\,\hat{k}

একটি স্কেলার ক্ষেত্র থেকে একটি ভেক্টর ক্ষেত্র তৈরি হলো — প্রতিটি বিন্দুতে একটি তীর। এর তিনটি ভৌত অর্থ মনে রাখো:

দিক: $\nabla\phi$ সেই দিকে নির্দেশ করে, যেদিকে $\phi$ সবচেয়ে দ্রুত বাড়ে (পাহাড়ে সবচেয়ে খাড়া চড়াই)।
মান: $|\nabla\phi|$ হলো ওই সর্বোচ্চ বৃদ্ধির হার (প্রতি একক দূরত্বে $\phi$ কতটা বাড়ে)। কনট্যুর রেখা যেখানে ঘন, সেখানে $|\nabla\phi|$ বড়।
লম্বতা: $\nabla\phi$ সবসময় ওই বিন্দুর সমমান তল বা কনট্যুরের (level surface / contour) লম্ব। শুরুর বলটি তাই কনট্যুর রেখাগুলো আড়াআড়ি, 90°-এ কেটে নেমেছিল — নামার পথ $-\nabla h$ ।

চূড়ায় বা একদম সমতল জায়গায় $\nabla\phi = \vec{0}$ — সেখানে কোনো দিকেই প্রথম ধাপে $\phi$ বাড়ে না।

উদাহরণ (বইয়ের উদাহরণ ২.১১-১): $\phi = 2z - x^3y$ হলে (1, 1, −1) বিন্দুতে $\nabla\phi$ :

\frac{\partial\phi}{\partial x} = -3x^2y, \qquad \frac{\partial\phi}{\partial y} = -x^3, \qquad \frac{\partial\phi}{\partial z} = 2

\nabla\phi = -3x^2y\,\hat{i} - x^3\,\hat{j} + 2\hat{k} \;\Rightarrow\; \nabla\phi\big|_{(1,\,1,\,-1)} = -3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}

নিজে যাচাই করো

একটি স্কেলার ক্ষেত্র φ-এর গ্রেডিয়েন্ট ∇φ কী ধরনের রাশি?

ধাপ ৫: যেকোনো দিকে পরিবর্তনের হার

বিন্দু থেকে কোনো একক ভেক্টর $\hat{u}$ -এর দিকে সামান্য সরলে $\phi$ কোন হারে বদলায়? উত্তর হলো একটি ডট গুণন — একে দিকনির্ভর অন্তরজ (directional derivative) বলে:

\frac{d\phi}{ds}\bigg|_{\hat{u}} = \nabla\phi\cdot\hat{u} = |\nabla\phi|\cos\theta

যেখানে $\theta$ হলো $\hat{u}$ আর $\nabla\phi$ -এর মধ্যবর্তী কোণ। (বইয়ে বলা হয়েছে, স্কেলার ক্ষেত্রের পরিবর্তনের হার দিকের ওপর নির্ভর করে — এই সূত্রটিই সেই নির্ভরতা।) নিচে $\hat{u}$ ঘুরিয়ে লেখটি দেখো:

û-এর দিক (direction) = 90° (x-অক্ষ থেকে)

|∇h| (সর্বোচ্চ হার)57.9 m/km

û-এর দিকে হার (rate) ∇h·û55.6 m/km

কোণ θ (∇h-এর সাথে)16°

û আর ∇h-এর মধ্যে কোণ θ = 16°, তাই ∇h·û = |∇h| cosθ = 55.6 m/km।

মানচিত্রে টোকা দিয়ে অন্য বিন্দু বেছে নাও। হলুদ ড্যাশ রেখা = ওই বিন্দুর কনট্যুর।

$\theta = 0°$ : $\nabla\phi\cdot\hat{u} = |\nabla\phi|$ — সর্বোচ্চ। গ্রেডিয়েন্টের দিক আর মান এখান থেকেই আসে।
$\theta = 90°$ : হার শূন্য — $\hat{u}$ কনট্যুর বরাবর। তাই গ্রেডিয়েন্ট কনট্যুরের লম্ব।
$\theta = 180°$ : হার $-|\nabla\phi|$ — সবচেয়ে দ্রুত কমে। গড়ানো বল, প্রবাহিত পানি এই দিকেই যায়।

পদার্থবিজ্ঞানে গ্রেডিয়েন্ট: প্রকৃতি সাধারণত গ্রেডিয়েন্টের উল্টো দিকে চলে।

তড়িৎ ক্ষেত্র $\vec{E} = -\nabla V$ — বেশি বিভব থেকে কম বিভবের দিকে।
সংরক্ষণশীল বল (conservative force) $\vec{F} = -\nabla U$ — স্থিতিশক্তি (potential energy) কমার দিকে; পাহাড়ে বলের ওপর অভিকর্ষের নিচমুখী টান এভাবেই ঢাল বেয়ে নামায়।
তাপ প্রবাহিত হয় তাপমাত্রার গ্রেডিয়েন্টের উল্টো দিকে, গরম থেকে ঠান্ডার দিকে।

(দ্বিতীয় পত্রের স্থির তড়িৎ অধ্যায়ে বিভব গ্রেডিয়েন্ট আর সমবিভব তল (equipotential surface) এই একই ধারণা।)

নিজে যাচাই করো

কোনো অঞ্চলে বিভব V = 3x² + 2y (V ভোল্টে, x, y মিটারে)। (1, 2) m বিন্দুতে তড়িৎ ক্ষেত্র E কত?

ধাপ ৬: পরীক্ষার ধরন

বোর্ড প্রশ্নে গ্রেডিয়েন্ট সাধারণত চার রকমে আসে। সব কটি একই $\phi = 2z - x^3y$ , বিন্দু (1, 1, −1), যেখানে $\nabla\phi = -3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ ।

ক) $\vec{A}\cdot\nabla\phi$ । $\vec{A} = 2x^2\hat{i} + 3yz\hat{j} - xz^2\hat{k}$ হলে আগে বিন্দুতে $\vec{A}$ বসাও: $\vec{A} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k}$ । তারপর ডট গুণন:

\vec{A}\cdot\nabla\phi = (2)(-3) + (-3)(-1) + (-1)(2) = -6 + 3 - 2 = -5

খ) লম্ব হওয়ার শর্ত। $\vec{P} = 2a\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}$ যদি $\nabla\phi$ -এর লম্ব হয়, তবে $\vec{P}\cdot\nabla\phi = 0$ :

-6a - 5 + 2 = 0 \;\Rightarrow\; -6a = 3 \;\Rightarrow\; a = -\tfrac{1}{2}

গ) গ্রেডিয়েন্টের দিকে একক ভেক্টর। $|\nabla\phi| = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$ , তাই

\hat{n} = \frac{\nabla\phi}{|\nabla\phi|} = \frac{-3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{14}}

এটি ওই বিন্দুর সমমান তলের অভিলম্ব একক ভেক্টর (unit normal)।

ঘ) সর্বোচ্চ বৃদ্ধির হার $= |\nabla\phi| = \sqrt{14} \approx 3.74$ একক।

নিজে যাচাই করো

φ = x² + y² + z² হলে (1, 2, 2) বিন্দুতে φ সবচেয়ে দ্রুত কোন হারে বাড়ে?

ধাপ ৭: এবার নিজে করে দেখো

নিচের ল্যাবে একটি ক্ষেত্র বেছে নাও:

পাহাড় (hill) আর বিন্দু আধান (point charge) — রঙিন মানচিত্র, কনট্যুর আর ছোট সাদা তীরের জাল ( $\nabla$ -এর দিক)। মানচিত্রে টোকা দিয়ে বা টেনে অনুসন্ধানী বিন্দু সরাও।
বইয়ের বহুপদী (polynomial) বা নিজে লেখো — $x, y, z$ -এর যেকোনো বহুপদী লেখো (যেমন 3x^2y - 2z)। $z$ -এর মান ঘরে দিয়ে কোন তলের মানচিত্র দেখবে ঠিক করো; আংশিক অন্তরজগুলো প্রতীকে (symbolic) দেখাবে।
নিচের ড্রিল অংশে $\vec{A}$ -এর উপাংশ আর $a$ -এর মান বসিয়ে বোর্ডের প্রশ্নগুলো নিজে যাচাই করো।

চ্যালেঞ্জগুলো শেষ করো, আর খাতায় লেখো চেপে প্রতিটি বিন্দুর মাপ পর্যবেক্ষণ খাতায় (observation notebook) রাখো।

গ্রেডিয়েন্ট মানচিত্র ল্যাব

Gradient map lab — contours, ∇φ, direction, drills

↗

∇-এর দিক (grid)বিন্দুতে ∇hবিন্দুর কনট্যুর (level curve)û

x (km)y (km)z (তল, slice)

h = 300 e^{- [(x - 0.8)^{2} + (y - 0.5)^{2}] /1.2} + 200 e^{- [(x + 1.4)^{2} + (y + 1.2)^{2}] /0.8}

\nabla h_{P} = - 25.412 i^+ 5.631 j^

h বিন্দুতে (value)69.502 m

|∇h| (সর্বোচ্চ হার)26.028 m/km

একক ভেক্টর (unit) n̂(−0.976, 0.216, 0)

∇h·û (û-এর দিকে হার)5.631 m/km

û-এর দিক (direction) = 90°

কাল্পনিক পাহাড় (illustrative): x, y কিলোমিটারে, h মিটারে।

চ্যালেঞ্জ (challenges)

0/6

φ = 2z − x³y বেছে (1, 1, −1) বিন্দুতে ∇φ দেখো, আর A = 2x²î + 3yzĵ − xz²k̂ রেখে A·∇φ বের করো।
একই বিন্দুতে a-এর মান খোঁজো যাতে P = 2aî + 5ĵ + k̂ ভেক্টরটি ∇φ-এর লম্ব হয়।
p = 2xy⁴ − x²z ক্ষেত্রে (2, −1, −2) বিন্দুতে ∇p বের করো।
θ = 2xy²z³ − 4xy ক্ষেত্রে (1, −1, 2) বিন্দুতে ∇θ বের করো (চ.বো. 2022)।
পাহাড়ে একটি ঢালু বিন্দু বেছে û-কে এমন দিকে ঘোরাও যাতে ∇h·û ≈ 0 হয় (কনট্যুর বরাবর হাঁটা)।
পাহাড়ের সবচেয়ে খাড়া জায়গাটি খুঁজে বের করো (|∇h| প্রায় সর্বোচ্চ)।

পর্যবেক্ষণ খাতা (observation notebook)

এখনো কিছু লেখা হয়নি। বিন্দু বেছে “খাতায় লেখো” চাপো।

বই পড়ার সময় সাবধান — পাঠ্যবইয়ের এই অংশে কিছু ভুল আছে:

গ্রেডিয়েন্টের সংজ্ঞা (পৃ. 111, আর সারসংক্ষেপ পৃ. 138): “গ্রেডিয়েন্ট হলো একটি ভেক্টর ক্ষেত্র… একে স্কেলার অপেক্ষকও বলে” — ভুল। গ্রেডিয়েন্ট একটি ভেক্টর ক্ষেত্র, যা একটি স্কেলার অপেক্ষক থেকে তৈরি হয়; নিজে স্কেলার অপেক্ষক নয়।
উদাহরণ ২.১১-২ (পৃ. 113): $\vec{P} = 2a\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}$ , $\nabla\phi$ -এর লম্ব। বই লিখেছে “ $-6a - 5 + 2 = 0$ , বা, $6a = -3$ … $a = 1/2$ ” — চিহ্নের ভুল। $-6a - 3 = 0$ থেকে $a = -1/2$ । বইয়ের মান (book value): $a = 1/2$ । একই উদাহরণে সাধারণ $\nabla\phi$ -এ “ $3x^2y\,\hat{i}$ ” ছাপা — হবে $-3x^2y\,\hat{i}$ (বিন্দুর মান $-3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ ঠিক আছে)।
সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধান (সি.বো. 2022) (পৃ. 124): $p = 2xy^4 - x^2z$ -এর $\partial p/\partial x$ লেখা “ $2y^4 + 6xy^3 - 2xz$ ” — মাঝের $6xy^3$ পদটি ভুল; সঠিক $2y^4 - 2xz$ । $\partial p/\partial z$ -ও ভুল ছাপা; সঠিক $-x^2$ । তাই (2, −1, −2) বিন্দুতে $\nabla p = 10\hat{i} - 16\hat{j} - 4\hat{k}$ । বইয়ের মান (book value): $-2\hat{i} - 16\hat{j} + 4\hat{k}$ ।
সারসংক্ষেপের তথ্য 5 (পৃ. 139): “ $\nabla = -12\hat{i} + 3\hat{j}$ ” — ছাপার ভুল। $\nabla$ একা একটি অপারেটর, এর মান হয় না; হবে $\nabla Q$ (প্রদত্ত স্কেলারের গ্রেডিয়েন্ট)।

ঘরে বসে পরীক্ষা: মাটির পাহাড়ে কনট্যুর আর গ্রেডিয়েন্ট

তোমার লাগবে: একদলা কাদামাটি বা ভেজা বালি, একটি ট্রে বা পুরোনো থালা, একটি পেন্সিল বা কাঠি, একটি স্কেল (ruler), আর এক কাপ পানি।

ট্রের ওপর মাটি দিয়ে 8–10 cm উঁচু একটি পাহাড় বানাও — একদিক খাড়া, অন্যদিক ঢালু রাখো।
স্কেল খাড়া করে ধরে প্রতি 2 cm উচ্চতায় পাহাড়ের চারপাশে পেন্সিল দিয়ে একটি রেখা আঁকো। এগুলোই কনট্যুর রেখা।
ওপর থেকে দেখো: খাড়া দিকে রেখাগুলো ঘন, ঢালু দিকে পাতলা। কোন দিকে $|\nabla h|$ বড়?
চূড়ার কাছে খুব ধীরে কয়েক ফোঁটা পানি ঢালো। পানির ধারা কোন পথে নামে লক্ষ করো — এটি কনট্যুর রেখাগুলোকে প্রায় লম্বভাবে কেটে সবচেয়ে খাড়া পথে নামে, অর্থাৎ $-\nabla h$ -এর দিকে।
কয়েকটি বিন্দুতে কনট্যুরের লম্ব দিকে কাঠি দিয়ে ছোট তীর আঁকো — তোমার নিজের “গ্রেডিয়েন্ট মানচিত্র”।

নিরাপত্তা: কাজটি ট্রের ভেতরে করো, যাতে পানি-মাটি মেঝেতে না পড়ে। ধারালো কিছু ব্যবহার কোরো না; কাজ শেষে হাত ধুয়ে নাও।

পরীক্ষার প্রস্তুতি

১. অপারেটর কাকে বলে? স্কেলার ক্ষেত্র ও ভেক্টর ক্ষেত্রের একটি করে উদাহরণ দাও।

উত্তর দেখো

যে গাণিতিক চিহ্ন বা নির্দেশ তার ডান পাশের রাশির ওপর কোনো ক্রিয়া করে নতুন রাশি দেয়, তাকে অপারেটর বলে; যেমন $\dfrac{d}{dx}$ , $\nabla$ । একা অপারেটরের কোনো মান নেই।

স্কেলার ক্ষেত্র: একটি ঘরের প্রতিটি বিন্দুর তাপমাত্রা $T(x, y, z)$ । ভেক্টর ক্ষেত্র: পৃথিবীর চারপাশে প্রতিটি বিন্দুর মহাকর্ষ ক্ষেত্র প্রাবল্য $\vec{g}$ ।

২. গ্রেডিয়েন্ট স্কেলার না ভেক্টর রাশি? এর ভৌত তাৎপর্য ব্যাখ্যা করো।

উত্তর দেখো

গ্রেডিয়েন্ট একটি ভেক্টর রাশি: $\nabla\phi = \dfrac{\partial\phi}{\partial x}\hat{i} + \dfrac{\partial\phi}{\partial y}\hat{j} + \dfrac{\partial\phi}{\partial z}\hat{k}$ , যদিও $\phi$ নিজে স্কেলার।

ভৌত তাৎপর্য: কোনো বিন্দুতে $\nabla\phi$ -এর দিক হলো সেই দিক, যেদিকে $\phi$ সবচেয়ে দ্রুত বাড়ে; এর মান হলো ওই সর্বোচ্চ বৃদ্ধির হার; আর এটি ওই বিন্দুর সমমান তলের লম্ব। যেমন $\vec{E} = -\nabla V$ : তড়িৎ ক্ষেত্র বিভব সবচেয়ে দ্রুত কমার দিকে।

৩. $\theta = 2xy^2z^3 - 4xy$ হলে (1, −1, 2) বিন্দুতে $\nabla\theta$ এবং এর দিকে একক ভেক্টর নির্ণয় করো। (চ.বো. 2022 ধরনের)

উত্তর দেখো

\frac{\partial\theta}{\partial x} = 2y^2z^3 - 4y = 16 + 4 = 20, \quad \frac{\partial\theta}{\partial y} = 4xyz^3 - 4x = -32 - 4 = -36, \quad \frac{\partial\theta}{\partial z} = 6xy^2z^2 = 24

\nabla\theta = 20\hat{i} - 36\hat{j} + 24\hat{k}, \qquad |\nabla\theta| = \sqrt{400 + 1296 + 576} = \sqrt{2272} = 4\sqrt{142} \approx 47.67

\hat{n} = \frac{5\hat{i} - 9\hat{j} + 6\hat{k}}{\sqrt{142}} \approx 0.420\,\hat{i} - 0.755\,\hat{j} + 0.504\,\hat{k}

৪. (ভুলটি খুঁজে বের করো) $\phi = 2z - x^3y$ এবং (1, 1, −1) বিন্দুতে $\vec{P} = 2a\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}$ ভেক্টরটি $\nabla\phi$ -এর লম্ব। একটি সমাধানে লেখা: “ $\vec{P}\cdot\nabla\phi = -6a - 5 + 2 = 0$ , বা, $6a = -3$ , তাই $a = 1/2$ ।” ভুলটি কোথায়?

উত্তর দেখো

$\nabla\phi = -3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ , তাই $\vec{P}\cdot\nabla\phi = -6a - 5 + 2 = -6a - 3$ — এই পর্যন্ত ঠিক। $-6a - 3 = 0$ থেকে $6a = -3$ , অর্থাৎ $a = -\tfrac{1}{2}$ । শেষ ধাপে চিহ্ন হারিয়ে গেছে।

যাচাই: $a = -\tfrac12$ হলে $\vec{P} = -\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}$ , আর $\vec{P}\cdot\nabla\phi = 3 - 5 + 2 = 0$ ✓।

৫. (সৃজনশীল, সি.বো. 2022 ধরনের) $p = 2xy^4 - x^2z$ এবং বিন্দু Q(2, −1, −2)। (ক) Q বিন্দুতে $\nabla p$ নির্ণয় করো। (খ) Q থেকে কোন দিকে সরলে $p$ সবচেয়ে দ্রুত বাড়বে, আর সেই হার কত?

উত্তর দেখো

(ক)

\frac{\partial p}{\partial x} = 2y^4 - 2xz = 2 + 8 = 10, \quad \frac{\partial p}{\partial y} = 8xy^3 = -16, \quad \frac{\partial p}{\partial z} = -x^2 = -4

\nabla p = 10\hat{i} - 16\hat{j} - 4\hat{k}

(বইয়ের সমাধানে $-2\hat{i} - 16\hat{j} + 4\hat{k}$ — ভুল।)

(খ) $\nabla p$ -এর দিকে, অর্থাৎ $\hat{n} = \dfrac{10\hat{i} - 16\hat{j} - 4\hat{k}}{\sqrt{372}} = \dfrac{5\hat{i} - 8\hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{93}}$ । সর্বোচ্চ হার $|\nabla p| = \sqrt{100 + 256 + 16} = \sqrt{372} \approx 19.29$ একক।

৬. (MCQ) একটি অন্তরীকরণযোগ্য স্কেলার অপেক্ষক $\phi$ -এর গ্রেডিয়েন্ট কোনটি? (ক) $\nabla\cdot\phi$ (খ) $\nabla\phi$ (গ) $\nabla\times\phi$ (ঘ) $\nabla^2\phi$

উত্তর দেখো

(খ) $\nabla\phi$ । স্কেলারের সাথে ডট বা ক্রস গুণন হয় না, তাই (ক) ও (গ) অর্থহীন; (ঘ) $\nabla^2\phi$ ল্যাপলাসিয়ান — একটি স্কেলার, গ্রেডিয়েন্ট নয়।

স্কেলার ক্ষেত্র, ডেল অপারেটর ও গ্রেডিয়েন্টScalar fields, the del operator & gradient

ধাপ ১: ক্ষেত্র — স্কেলার ও ভেক্টর

ধাপ ২: অপারেটর আর ডেল (∇\nabla∇)

ধাপ ৩: আংশিক অন্তরজ — একটি বদলাও, বাকিগুলো স্থির

ধাপ ৪: গ্রেডিয়েন্ট

ধাপ ৫: যেকোনো দিকে পরিবর্তনের হার

ধাপ ৬: পরীক্ষার ধরন

ধাপ ৭: এবার নিজে করে দেখো

চ্যালেঞ্জ (challenges)

পর্যবেক্ষণ খাতা (observation notebook)

ঘরে বসে পরীক্ষা: মাটির পাহাড়ে কনট্যুর আর গ্রেডিয়েন্ট

পরীক্ষার প্রস্তুতি

ধাপ ২: অপারেটর আর ডেল ( $\nabla$ )