হাতে-কলমে বিজ্ঞান

পাঠ ১৩ / ১৩অনুচ্ছেদ ২.১৩

ডাইভারজেন্স, কার্ল ও রেখা ইন্টিগ্রালDivergence, curl & the line integral

এই পাঠের আগে পড়ো (read first): পাঠ ৯ — ভেক্টর (ক্রস) গুণন: ডান হাতি স্ক্রু, টর্ক ও ক্ষেত্রফল (3D), পাঠ ১২ — স্কেলার ক্ষেত্র, ডেল অপারেটর ও গ্রেডিয়েন্ট

ওপর থেকে একটা পুকুর দেখছ। কোথাও তলা থেকে কলের পানি উঠছে, কোথাও নালা দিয়ে নেমে যাচ্ছে, কোথাও ঘূর্ণি। পানিতে ট্যাপ করে রঙের ফোঁটা ছাড়ো — সেটা ছড়িয়ে যায়, না গুটিয়ে আসে? তারপর ছোট চাকা ছাড়ো — সেটা কি নিজের অক্ষে ঘোরে?

পানিতে কোথাও ট্যাপ করো — রঙের ফোঁটা (dye) ছাড়ো, তারপর চাকা (paddle) বেছে আবার ছাড়ো।

মডেল প্রবাহ (model flows): কল ও নালা v = ±0.35(x, y); ঘূর্ণির ভেতরের বৃত্তে (core) দৃঢ় ঘূর্ণন ω = 0.8 rad/s, বাইরে বেগ ∝ 1/r। সংখ্যাগুলো উদাহরণমাত্র (illustrative)।

ঘূর্ণির ভেতরের বৃত্তে চাকা ঘোরে, কিন্তু বাইরে চাকা ঘূর্ণির চারপাশে পাক খায়, অথচ নিজে ঘোরে না! আর কলের মুখে রং ছড়িয়ে যায়, কিন্তু চাকা ঘোরে না। তাহলে “ছড়িয়ে পড়া” আর “ঘোরা” দুটো আলাদা জিনিস — প্রথমটির মাপ ডাইভারজেন্স (divergence), দ্বিতীয়টির কার্ল (curl)। এই পাঠে দুটোকে মাপতে শিখব।

এই পাঠে ধাপে ধাপে এগোব:

  1. ভেক্টর ক্ষেত্র (vector field) — প্রতিটি বিন্দুতে একটি তীর
  2. রেখা ইন্টিগ্রাল (line integral) ∫V⃗⋅dl⃗\int \vec{V}\cdot d\vec{l} আর সঞ্চালন (circulation) ∮V⃗⋅dl⃗\oint \vec{V}\cdot d\vec{l}
  3. ডাইভারজেন্স ∇⋅V⃗\nabla\cdot\vec{V} — একক আয়তন থেকে নিট বহিঃপ্রবাহ (net outflow)
  4. কার্ল ∇×V⃗\nabla\times\vec{V} — একক ক্ষেত্রফলে সঞ্চালন, স্থানীয় ঘূর্ণন (local spin)
  5. গুরুত্বপূর্ণ অভেদ (identities)
  6. পরীক্ষার অঙ্ক — বিন্দুতে মান, pp নির্ণয়, অঘূর্ণনশীল প্রমাণ
  7. এবার নিজে করে দেখো — ডাইভারজেন্স–কার্ল ল্যাব

ধাপ ১: ভেক্টর ক্ষেত্র

আগের পাঠে স্কেলার ক্ষেত্র (scalar field) দেখেছ — প্রতিটি বিন্দুতে একটি সংখ্যা (যেমন উচ্চতা, তাপমাত্রা), আর তার গ্রেডিয়েন্ট (gradient) ∇ϕ\nabla\phi একটি ভেক্টর। এবার প্রতিটি বিন্দুতেই যদি একটি ভেক্টর থাকে — যেমন নদীর প্রতিটি জায়গায় পানির বেগ, ঘরের প্রতিটি বিন্দুতে বাতাসের বেগ, বা চুম্বকের চারপাশে চৌম্বক ক্ষেত্র — তাকে বলে ভেক্টর ক্ষেত্র (vector field):

V⃗(x,y,z)=v1 i^+v2 j^+v3 k^\vec{V}(x, y, z) = v_1\,\hat{i} + v_2\,\hat{j} + v_3\,\hat{k}

যেখানে v1,v2,v3v_1, v_2, v_3 প্রত্যেকে x,y,zx, y, z-এর ফাংশন। ছবিতে আঁকা হয় অনেকগুলো তীর দিয়ে:

উৎস (source)div > 0, curl = 0ঘূর্ণি (rotation)div = 0, curl ≠ 0সুষম (uniform)div = 0, curl = 0
প্রতিটি বিন্দুতে একটি তীর: ওই বিন্দুতে প্রবাহের দিক আর মান। একসাথে দেখলেই বোঝা যায় প্রবাহ ছড়াচ্ছে, ঘুরছে, না সোজা চলছে।

ডেল অপারেটর (del operator) ∇=i^ ∂∂x+j^ ∂∂y+k^ ∂∂z\nabla = \hat{i}\,\dfrac{\partial}{\partial x} + \hat{j}\,\dfrac{\partial}{\partial y} + \hat{k}\,\dfrac{\partial}{\partial z} একটি “ভেক্টরের মতো” অপারেটর। স্কেলারের ওপর বসালে গ্রেডিয়েন্ট পেয়েছিলে; ভেক্টর ক্ষেত্রের সাথে ডট করলে পাবে ডাইভারজেন্স, ক্রস করলে কার্ল — ঠিক যেমন দুটি ভেক্টরের ডট আর ক্রস গুণন শিখেছ।

নিজে যাচাই করো

নিচের কোনটি ভেক্টর ক্ষেত্র?

ধাপ ২: রেখা ইন্টিগ্রাল ও সঞ্চালন

একটি বল ক্ষেত্র F⃗\vec{F}-এ কোনো বস্তুকে A থেকে B পর্যন্ত একটি বাঁকা পথে নিলে কাজ কত? ডট গুণনের পাঠে শিখেছ, ছোট সরণ dl⃗d\vec{l}-এ কাজ F⃗⋅dl⃗=F dlcos⁡θ\vec{F}\cdot d\vec{l} = F\,dl\cos\theta। পথটিকে অসংখ্য ছোট টুকরোয় ভাগ করে সব যোগ করলে:

ABকমলা: V (field)হলুদ: dl (path step)বেগুনি: পথ (path)
পথটিকে ছোট ছোট টুকরো dl-এ ভাগ করো। প্রতিটি টুকরোয় V·dl = V dl cosθ (ক্ষেত্রের যে অংশ পথ বরাবর), তারপর সব টুকরো যোগ — সেটিই ∫V·dl।
W=∫ABF⃗⋅dl⃗=∫AB(Fx dx+Fy dy+Fz dz)W = \int_A^B \vec{F}\cdot d\vec{l} = \int_A^B (F_x\,dx + F_y\,dy + F_z\,dz)

একে রেখা ইন্টিগ্রাল (line integral) বলে — যেকোনো পথ বরাবর, খোলা বা বদ্ধ। পথটি ঘুরে আবার শুরুর বিন্দুতে ফিরলে (বদ্ধ পথ, closed path) চিহ্ন হয় ∮\oint, আর তার নাম সঞ্চালন (circulation):

Γ=∮V⃗⋅dl⃗\Gamma = \oint \vec{V}\cdot d\vec{l}

সঞ্চালন বলে বদ্ধ পথ ধরে ক্ষেত্রটি মোটের ওপর কতটা “পথের দিকে ঠেলে”। পুকুরের ঘূর্ণিতে একটা বৃত্ত ধরে চললে পানি সারাক্ষণ সামনে ঠেলবে — সঞ্চালন বড়। সুষম স্রোতে এক দিকে যতটা সামনে ঠেলে, অন্য দিকে ততটা পেছনে — সঞ্চালন শূন্য।

নিজে যাচাই করো

ধ্রুব বল F = 2î + 3ĵ N একটি বস্তুকে (0, 0) থেকে (4, 1) m পর্যন্ত সোজা পথে নেয়। ∫F·dl কত?

ধাপ ৩: ডাইভারজেন্স — নিট বহিঃপ্রবাহ

একটি বিন্দু ঘিরে ছোট্ট একটি বাক্স কল্পনা করো। ক্ষেত্রটি কিছু দিক দিয়ে বাক্সে ঢোকে, কিছু দিক দিয়ে বেরোয়। নিট বহিঃপ্রবাহ (net outflow, flux) ÷ বাক্সের আয়তন — বাক্সটিকে বিন্দুতে সংকুচিত করলে এর সীমাই ডাইভারজেন্স। হিসাব করলে দাঁড়ায়:

∇⋅V⃗=∂v1∂x+∂v2∂y+∂v3∂z\nabla\cdot\vec{V} = \frac{\partial v_1}{\partial x} + \frac{\partial v_2}{\partial y} + \frac{\partial v_3}{\partial z}

ফল একটি স্কেলার (ডট গুণনের মতো)। চিহ্নই আসল খবর:

∇⋅V⃗\nabla\cdot\vec{V}অর্থউদাহরণ
ধনাত্মকবেরোয় বেশি — উৎস (source)কলের মুখ, ধনাত্মক আধানের চারপাশে E⃗\vec{E}
ঋণাত্মকঢোকে বেশি — নির্গমপথ / সিঙ্ক (sink)নালার মুখ
শূন্যযত ঢোকে তত বেরোয় — সলিনয়ডাল (solenoidal)চৌম্বক ক্ষেত্র B⃗\vec{B} (সবসময় ∇⋅B⃗=0\nabla\cdot\vec{B} = 0)

তরলের বেগ v⃗\vec{v}-এর ক্ষেত্রে ∇⋅v⃗\nabla\cdot\vec{v} হলো একটি ছোট্ট তরল-আয়তন প্রতি সেকেন্ডে কত ভগ্নাংশ ফুলে ওঠে (fractional rate of volume expansion)। ঘনত্ব কীভাবে বদলায় তা বলে অবিচ্ছিন্নতার সমীকরণ (continuity equation) ∂ρ∂t=−∇⋅(ρv⃗)\dfrac{\partial\rho}{\partial t} = -\nabla\cdot(\rho\vec{v}) — শুধু ∇⋅v⃗\nabla\cdot\vec{v} নয়।

নিচে হলুদ বর্গটি টেনে বিভিন্ন জায়গায় নাও। প্রতিটি বাহু দিয়ে কতটা বেরোয় (সবুজ) আর ঢোকে (লাল), তার যোগফল ÷ ক্ষেত্রফল সবসময় কেন্দ্রের ∇⋅V⃗\nabla\cdot\vec{V}-এর সাথে মেলে কি না দেখো। “স্যাডল” ক্ষেত্রটিতে বিশেষ নজর দাও — তীরগুলো ছড়াচ্ছে মনে হলেও ডাইভারজেন্স শূন্য!

2বর্গটি টেনে সরাও (drag the box)
বাইরে যায় (outflow)ভেতরে আসে (inflow)বাহু = 1, ক্ষেত্রফল (area) = 1
কেন্দ্র (centre)(1, 0.5)
নিট বহিঃপ্রবাহ (net outflow) ÷ ক্ষেত্রফল2
কেন্দ্রে ∇·V (exact)2

বেরোয় বেশি, ঢোকে কম — বর্গের ভেতরটা একটা উৎসের (source) মতো: ডাইভারজেন্স ধনাত্মক।

উদাহরণ: A⃗=3xyz3 i^+2xy2 j^−x3y2z k^\vec{A} = 3xyz^3\,\hat{i} + 2xy^2\,\hat{j} - x^3y^2z\,\hat{k} হলে (1,−1,1)(1, -1, 1) বিন্দুতে ∇⋅A⃗\nabla\cdot\vec{A}:

∇⋅A⃗=3yz3+4xy−x3y2=3(−1)(1)+4(1)(−1)−(1)(1)=−8\nabla\cdot\vec{A} = 3yz^3 + 4xy - x^3y^2 = 3(-1)(1) + 4(1)(-1) - (1)(1) = -8
নিজে যাচাই করো

V = x²î + y²ĵ + z²k̂ হলে (1, −1, 2) বিন্দুতে ∇·V কত?

ধাপ ৪: কার্ল — স্থানীয় ঘূর্ণন

এবার বিন্দুটি ঘিরে একটি ছোট্ট বদ্ধ লুপ নাও। সঞ্চালন ÷ লুপের ক্ষেত্রফল — লুপটিকে বিন্দুতে সংকুচিত করলে, আর লুপের তল এমনভাবে ঘোরালে যাতে মান সর্বোচ্চ হয় — সেটিই কার্লের মান; কার্লের দিক হলো সেই তলের লম্ব (ডান হাতি স্ক্রু নিয়মে)। হিসাবের নিয়ম ক্রস গুণনের নির্ণায়কের (determinant) মতো:

∇×V⃗=∣i^j^k^∂∂x∂∂y∂∂zv1v2v3∣=(∂v3∂y−∂v2∂z)i^+(∂v1∂z−∂v3∂x)j^+(∂v2∂x−∂v1∂y)k^\nabla\times\vec{V} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \left(\frac{\partial v_3}{\partial y} - \frac{\partial v_2}{\partial z}\right)\hat{i} + \left(\frac{\partial v_1}{\partial z} - \frac{\partial v_3}{\partial x}\right)\hat{j} + \left(\frac{\partial v_2}{\partial x} - \frac{\partial v_1}{\partial y}\right)\hat{k}

ফল একটি ভেক্টর — এর দিক স্থানীয় ঘূর্ণনের অক্ষ, মান ঘূর্ণনের তীব্রতা। পানিতে রাখা ছোট্ট চাকা ঘোরে কার্লের অর্ধেক কৌণিক বেগে, Ω=12∣∇×v⃗∣\Omega = \tfrac{1}{2}|\nabla\times\vec{v}|। কারণ দৃঢ় ঘূর্ণনে (rigid rotation) v⃗=ω⃗×r⃗\vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r}; ω⃗=ωk^\vec{\omega} = \omega\hat{k} নিলে v⃗=−ωy i^+ωx j^\vec{v} = -\omega y\,\hat{i} + \omega x\,\hat{j}, আর

∇×v⃗=(∂(ωx)∂x−∂(−ωy)∂y)k^=2ω k^=2ω⃗\nabla\times\vec{v} = \left(\frac{\partial(\omega x)}{\partial x} - \frac{\partial(-\omega y)}{\partial y}\right)\hat{k} = 2\omega\,\hat{k} = 2\vec{\omega}

∇×V⃗=0⃗\nabla\times\vec{V} = \vec{0} হলে ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল (irrotational)।

নিচে লুপটি টেনে সরাও। লুপের যে অংশে প্রবাহ সামনে ঠেলে তা সবুজ, পেছনে ঠেলে তা লাল। “শিয়ার” ক্ষেত্রে তীরগুলো সব সোজা, তবু চাকা ঘোরে; “ঘূর্ণি 1/r”-এ প্রবাহ বৃত্তে ঘোরে, তবু কেন্দ্রের বাইরে চাকা ঘোরে না:

লুপটি টেনে সরাও (drag the loop)
লুপের দিকে ঠেলে (along)উল্টো দিকে (against)△ ঘোরার দিক: ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে
সঞ্চালন (circulation) ∮V·dl4.021
∮V·dl ÷ ক্ষেত্রফল (2.01)2
কেন্দ্রে (∇×V)z (exact)2

∮V·dl ÷ ক্ষেত্রফল = 2 ≈ কার্লের z-উপাংশ। চাকা ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে (anticlockwise) ঘুরছে।
নিজে যাচাই করো

নদীতে পানির বেগ v = yî (তীরের কাছে ধীর, মাঝে দ্রুত — এমন শিয়ার প্রবাহ)। ∇×v কত?

ধাপ ৫: অঘূর্ণনশীল মানে সংরক্ষণশীল — আর কিছু অভেদ

যে ক্ষেত্রের কার্ল সর্বত্র শূন্য (আর অঞ্চলটিতে কোনো “ফুটো” নেই), তাকে কোনো স্কেলার বিভবের (potential) গ্রেডিয়েন্ট হিসেবে লেখা যায়: V⃗=∇ϕ\vec{V} = \nabla\phi। তখন

∫ABV⃗⋅dl⃗=ϕ(B)−ϕ(A),∮V⃗⋅dl⃗=0\int_A^B \vec{V}\cdot d\vec{l} = \phi(B) - \phi(A), \qquad \oint \vec{V}\cdot d\vec{l} = 0

অর্থাৎ কাজ পথের ওপর নির্ভর করে না — এমন ক্ষেত্রকে সংরক্ষণশীল (conservative) বলে (যেমন অভিকর্ষ, স্থির তড়িৎ ক্ষেত্র)। মনে রাখার মতো অভেদ:

অভেদঅর্থ
∇×(∇ϕ)=0⃗\nabla\times(\nabla\phi) = \vec{0}গ্রেডিয়েন্টের কার্ল সবসময় শূন্য
∇⋅(∇×A⃗)=0\nabla\cdot(\nabla\times\vec{A}) = 0কার্লের ডাইভারজেন্স সবসময় শূন্য
∇×(ϕA⃗)=(∇ϕ)×A⃗+ϕ (∇×A⃗)\nabla\times(\phi\vec{A}) = (\nabla\phi)\times\vec{A} + \phi\,(\nabla\times\vec{A})গুণফলের নিয়ম
r⃗=xi^+yj^+zk^\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}: ∇⋅r⃗=3\nabla\cdot\vec{r} = 3, ∇×r⃗=0⃗\nabla\times\vec{r} = \vec{0}অবস্থান ভেক্টর

দ্বিতীয়টির প্রমাণ: ∇⋅(∇×A⃗)\nabla\cdot(\nabla\times\vec{A}) লিখলে পাও ∂2Az∂x ∂y−∂2Ay∂x ∂z+∂2Ax∂y ∂z−∂2Az∂y ∂x+∂2Ay∂z ∂x−∂2Ax∂z ∂y\dfrac{\partial^2 A_z}{\partial x\,\partial y} - \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial x\,\partial z} + \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial y\,\partial z} - \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial y\,\partial x} + \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial z\,\partial x} - \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial z\,\partial y} — মিশ্র অবকলের ক্রম বদলালে মান বদলায় না, তাই পদগুলো জোড়ায় জোড়ায় কেটে যায়: 00।

নিজে যাচাই করো

r = xî + yĵ + zk̂ অবস্থান ভেক্টরের জন্য কোনটি সত্য?

ধাপ ৬: পরীক্ষার অঙ্ক

ক) বিন্দুতে কার্ল। A⃗=xz2 i^−2x3yz j^+3yz3 k^\vec{A} = xz^2\,\hat{i} - 2x^3yz\,\hat{j} + 3yz^3\,\hat{k}, বিন্দু (1,1,−1)(1, 1, -1):

∇×A⃗=(3z3+2x3y) i^+(2xz−0) j^+(−6x2yz−0) k^=−i^−2j^+6k^\nabla\times\vec{A} = (3z^3 + 2x^3y)\,\hat{i} + (2xz - 0)\,\hat{j} + (-6x^2yz - 0)\,\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}

খ) সলিনয়ডাল করতে pp কত? V⃗=(5x+2y)i^+(2py−z)j^+(x−2z)k^\vec{V} = (5x + 2y)\hat{i} + (2py - z)\hat{j} + (x - 2z)\hat{k}:

∇⋅V⃗=5+2p−2=3+2p=0  ⇒  p=−32\nabla\cdot\vec{V} = 5 + 2p - 2 = 3 + 2p = 0 \;\Rightarrow\; p = -\tfrac{3}{2}

গ) অঘূর্ণনশীল প্রমাণ ও বিভব। A⃗=(6xy+z3)i^+(3x2−z)j^+(3xz2−y)k^\vec{A} = (6xy + z^3)\hat{i} + (3x^2 - z)\hat{j} + (3xz^2 - y)\hat{k}:

i^: (−1)−(−1)=0,j^: 3z2−3z2=0,k^: 6x−6x=0\hat{i}:\ (-1) - (-1) = 0,\quad \hat{j}:\ 3z^2 - 3z^2 = 0,\quad \hat{k}:\ 6x - 6x = 0

তাই ∇×A⃗=0⃗\nabla\times\vec{A} = \vec{0}, আর A⃗=∇ϕ\vec{A} = \nabla\phi যেখানে ϕ=3x2y+xz3−yz\phi = 3x^2y + xz^3 - yz (অবকল করে মিলিয়ে নাও)। (0,0,0)(0,0,0) থেকে (1,1,1)(1,1,1) পর্যন্ত যেকোনো পথে কাজ =ϕ(1,1,1)−ϕ(0,0,0)=3+1−1=3= \phi(1,1,1) - \phi(0,0,0) = 3 + 1 - 1 = 3।

ঘ) “বাতাসে কি ঘূর্ণন ছিল?” কার্ল বের করো; 0⃗\vec{0} হলে ছিল না। পরের ল্যাবে বইয়ের একটি বাতাসের প্রশ্ন নিজে যাচাই করবে।

নিজে যাচাই করো

V = (x + 3y)î + (y − 2z)ĵ + (x + az)k̂ সলিনয়ডাল হলে a কত?

ধাপ ৭: এবার নিজে করে দেখো

নিচের ল্যাবে ওপরের তালিকা থেকে ক্ষেত্র বেছে নাও — সরল প্রবাহগুলো (উৎস, সিঙ্ক, সুষম, শিয়ার, দৃঢ় ঘূর্ণন, 1/r ঘূর্ণি) আর বইয়ের ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রগুলো। ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে z স্লাইডার দিয়ে কোন তল দেখবে ঠিক করো; তীরগুলো সেই তলে x-y উপাংশ দেখায়।

চ্যালেঞ্জগুলো শেষ করো, আর খাতায় লেখো চেপে প্রতিটি মাপ পর্যবেক্ষণ খাতায় (observation notebook) রাখো।

ডাইভারজেন্স–কার্ল ল্যাব

Divergence, curl & line integral lab
↗
-2-2-1-11122চাকাটি টেনে বিন্দু বদলাও (drag the probe)
বিন্দু (point) (x, y, z)(1, 1, 0)
ডাইভারজেন্স ∇·V (scalar)2
কার্ল ∇×V (vector)0
চাকা (paddle) Ω = (∇×V)z / 2ঘোরে না (no spin)
✗ সলিনয়ডাল (solenoidal) ∇·V = 0✓ অঘূর্ণনশীল (irrotational) ∇×V = 0

চ্যালেঞ্জ (challenges)

0/6
  1. A = 3xyz³î + 2xy²ĵ − x³y²zk̂ (বই: ∇·A) বেছে নাও; প্রোব (1, −1)-এ আর z = 1 রেখে ∇·A বের করো।
  2. A = xz²î − 2x³yzĵ + 3yz³k̂ (বই: ∇×A) — (1, 1, −1) বিন্দুতে কার্ল বের করো।
  3. V = (5x + 2y)î + (2py − z)ĵ + (x − 2z)k̂ — p-এর স্লাইডার সরিয়ে ক্ষেত্রটিকে সলিনয়ডাল (solenoidal) বানাও।
  4. A = (6xy + z³)î + (3x² − z)ĵ + (3xz² − y)k̂ (PUST) বেছে “পথ” মোডে বেগুনি পথটি যেমন খুশি বাঁকাও — দুই পথের কাজ মেলে কি?
  5. বইয়ের বাতাস v = (y² cos x + z³)î + (2y sin x − 4)ĵ + (3xz² + 2)k̂ — যেকোনো বিন্দুতে মেপে খাতায় লেখো। বাতাসে কি ঘূর্ণন ছিল?
  6. শিয়ার প্রবাহ v = yî বেছে নাও। তীরগুলো তো সব সোজা — চাকা কি ঘোরে?

পর্যবেক্ষণ খাতা (observation notebook)

এখনো কিছু লেখা হয়নি। ক্ষেত্র আর বিন্দু বেছে “খাতায় লেখো” চাপো।

বই পড়ার সময় সাবধান — পাঠ্যবইয়ের এই অংশে কিছু ভুল আর বিভ্রান্তিকর কথা আছে:

  • কার্লের ধর্ম (v) (পৃ. 113) ও তথ্য 30 (পৃ. 141): “কার্ল-এর নতিমাত্রা (gradient) শূন্য, অর্থাৎ ∇⋅(∇×V⃗)=0\nabla\cdot(\nabla\times\vec{V}) = 0” — সূত্রটি ঠিক, নামটি ভুল। ∇⋅\nabla\cdot মানে ডাইভারজেন্স; সঠিক কথা: কার্লের ডাইভারজেন্স শূন্য। ভেক্টরের “গ্রেডিয়েন্ট” এই স্তরে সংজ্ঞায়িতই নয়।
  • ডাইভারজেন্সের ধর্ম (i) (পৃ. 112): “∇⋅V⃗\nabla\cdot\vec{V} দ্বারা একক সময়ে তরলের ঘনত্বের পরিবর্তনের হার বোঝায়” — ঠিক নয়। বেগ ক্ষেত্রের ∇⋅v⃗\nabla\cdot\vec{v} হলো একক আয়তন থেকে নিট বহিঃপ্রবাহ, অর্থাৎ আয়তন ফুলে ওঠার ভগ্নাংশ-হার। ঘনত্বের নিয়ম ∂ρ/∂t=−∇⋅(ρv⃗)\partial\rho/\partial t = -\nabla\cdot(\rho\vec{v})।
  • কার্লের ধর্ম (iv) (পৃ. 113): “ভেক্টরটি কতবার ঘোরে কার্ল তা নির্দেশ করে” — কার্ল ঘোরার সংখ্যা নয়; এটি একক ক্ষেত্রফলে সঞ্চালন — স্থানীয় ঘূর্ণনের অক্ষ ও তীব্রতা।
  • রেখা ইন্টিগ্রাল (পৃ. 111): শুধু বদ্ধ পথে (∮\oint) সংজ্ঞা দেওয়া — রেখা ইন্টিগ্রাল যেকোনো পথে হয়; বদ্ধ পথেরটি সঞ্চালন।
  • সমাধানকৃত সৃজনশীল 16(খ) (পৃ. 128, চ.বো. 2022): উদ্দীপকে বাতাস (y2cos⁡x+z3)i^+(2ysin⁡x−4)j^+(3xz2+2)k^(y^2\cos x + z^3)\hat{i} + (2y\sin x - 4)\hat{j} + (3xz^2 + 2)\hat{k}, কিন্তু সমাধানে k̂-উপাংশ “2xz2+22xz^2 + 2” লিখে ∇×v⃗=z2j^\nabla\times\vec{v} = z^2\hat{j} এবং “বাতাসে ঘূর্ণন ছিল” বলা। সঠিক: ∇×v⃗=0⃗\nabla\times\vec{v} = \vec{0} — ঘূর্ণন ছিল না। বইয়ের মান (book value): “ঘূর্ণন ছিল”।
  • উদাহরণ ২.১৩-৩ (পৃ. 115): P⃗=−6i^+aj^+12k^\vec{P} = -6\hat{i} + a\hat{j} + 12\hat{k} কে ∇×A⃗=−3i^−2j^−6k^\nabla\times\vec{A} = -3\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}-এর সমান্তরাল করতে বই a=4a = 4 পায়, কারণ ক্রস গুণফলের ĵ-পদ “−j^(−36+36)-\hat{j}(-36 + 36)” লিখেছে — আসলে −[(−6)(−6)−(12)(−3)]=−72-[(-6)(-6) - (12)(-3)] = -72। −6/−3=2-6/-3 = 2 কিন্তু 12/−6=−212/-6 = -2 — কোনো aa-তেই এরা সমান্তরাল নয়। বইয়ের মান (book value): a=4a = 4।
  • MCQ 70 (পৃ. 148): ∇×(ϕA⃗)\nabla\times(\phi\vec{A})-এর উত্তরমালা খ (ϕ∇×A⃗\phi\nabla\times\vec{A}) ভুল। সঠিক (∇ϕ)×A⃗+ϕ(∇×A⃗)(\nabla\phi)\times\vec{A} + \phi(\nabla\times\vec{A}); বিকল্প ক-তে “+”-এর জায়গায় “=” ছাপা হয়েছে।
  • MCQ 68 (পৃ. 148): ∣A⃗∣|\vec{A}| m² এককে হলে ∇⋅(∇×A⃗)\nabla\cdot(\nabla\times\vec{A})-এর মাত্রা — উত্তরমালা m⁻⁴, কিন্তু রাশিটি সবসময় 0, আর দুবার অবকলে m² থেকে মাত্রাহীন হয়। কোনো বিকল্পই ঠিক নয়।
  • MCQ 57 (পৃ. 147): r⃗\vec{r}-এর জন্য ∇⋅r⃗=3\nabla\cdot\vec{r} = 3 (সলিনয়ডাল নয়) আর ∇×r⃗=0⃗\nabla\times\vec{r} = \vec{0} — উত্তরমালার সাথে মিলিয়ে নিজে আবার সমাধান করো।

ঘরে বসে পরীক্ষা: গোলমরিচে ঘূর্ণি আর থালায় ছড়ানো পানি

তোমার লাগবে: একটি চওড়া বাটি বা গামলা, পানি, গুঁড়া গোলমরিচ (বা চায়ের পাতার গুঁড়া), একটি চামচ, একটি সমতল থালা, একটি কাপ, একটি দেশলাইয়ের কাঠি।

  1. কার্ল: বাটিতে পানি নিয়ে ওপরে সামান্য গোলমরিচ ছিটাও। চামচ দিয়ে কিনারার কাছে আস্তে আস্তে গোল করে নাড়ো, তারপর চামচ তুলে নাও। লক্ষ করো: গোলমরিচের দানা বাটির কেন্দ্র ঘিরে পাক খাওয়ার সাথে সাথে নিজেও ঘুরছে কি? বড় দানা বা কাঠির টুকরো দিয়ে দেখা সহজ।
  2. ডাইভারজেন্স: থালাটি সমতলে রেখে কাপ থেকে আস্তে আস্তে মাঝখানে পানি ঢালো। পানি কেন্দ্র থেকে সব দিকে ছড়ায় — কেন্দ্রটি একটি উৎস, ধনাত্মক ডাইভারজেন্স।
  3. নালার ঘূর্ণি: বেসিনে পানি জমিয়ে ছিপি খোলো। ঘূর্ণির ওপর একটি দেশলাইয়ের কাঠি ভাসাও। কাঠিটা কেন্দ্রের চারপাশে ঘোরার সময় নিজের দিক বদলায়, নাকি প্রায় একই দিকে তাক করে থাকে? কেন্দ্রের খুব কাছে আর একটু দূরে — দুই জায়গায় দেখো, খাতায় লেখো।

নিরাপত্তা: শুধু ঠান্ডা বা স্বাভাবিক তাপমাত্রার পানি ব্যবহার করো, গরম পানি নয়। মেঝেতে পানি পড়লে সাথে সাথে মুছে ফেলো — পিছলে পড়ার ভয় আছে। গোলমরিচ চোখে-নাকে যেন না যায়।

পরীক্ষার প্রস্তুতি

১. ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স ও কার্লের সংজ্ঞা দাও এবং ভৌত অর্থ লেখো। কখন ক্ষেত্রকে সলিনয়ডাল আর কখন অঘূর্ণনশীল বলে?

উত্তর দেখো

∇⋅V⃗=∂v1∂x+∂v2∂y+∂v3∂z\nabla\cdot\vec{V} = \dfrac{\partial v_1}{\partial x} + \dfrac{\partial v_2}{\partial y} + \dfrac{\partial v_3}{\partial z} — একটি স্কেলার: কোনো বিন্দু ঘিরে একক আয়তন থেকে নিট বহিঃপ্রবাহ। ধনাত্মক হলে বিন্দুটি উৎস, ঋণাত্মক হলে সিঙ্ক। সব বিন্দুতে ∇⋅V⃗=0\nabla\cdot\vec{V} = 0 হলে ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল।

∇×V⃗\nabla\times\vec{V} (নির্ণায়ক নিয়মে) — একটি ভেক্টর: মান হলো একক ক্ষেত্রফলে সর্বোচ্চ সঞ্চালন, দিক স্থানীয় ঘূর্ণনের অক্ষ। দৃঢ় ঘূর্ণনে ∇×v⃗=2ω⃗\nabla\times\vec{v} = 2\vec{\omega}। ∇×V⃗=0⃗\nabla\times\vec{V} = \vec{0} হলে ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল, আর তখন V⃗=∇ϕ\vec{V} = \nabla\phi, ∮V⃗⋅dl⃗=0\oint\vec{V}\cdot d\vec{l} = 0।

২. A⃗=x2y i^−2xz j^+2yz k^\vec{A} = x^2y\,\hat{i} - 2xz\,\hat{j} + 2yz\,\hat{k} হলে (1,0,−2)(1, 0, -2) বিন্দুতে ∇×A⃗\nabla\times\vec{A} নির্ণয় করো।

উত্তর দেখো∇×A⃗=(∂(2yz)∂y−∂(−2xz)∂z)i^+(∂(x2y)∂z−∂(2yz)∂x)j^+(∂(−2xz)∂x−∂(x2y)∂y)k^\nabla\times\vec{A} = \left(\frac{\partial(2yz)}{\partial y} - \frac{\partial(-2xz)}{\partial z}\right)\hat{i} + \left(\frac{\partial(x^2y)}{\partial z} - \frac{\partial(2yz)}{\partial x}\right)\hat{j} + \left(\frac{\partial(-2xz)}{\partial x} - \frac{\partial(x^2y)}{\partial y}\right)\hat{k}=(2z+2x) i^+0 j^+(−2z−x2) k^= (2z + 2x)\,\hat{i} + 0\,\hat{j} + (-2z - x^2)\,\hat{k}

(1,0,−2)(1, 0, -2)-এ: (−4+2)i^+(4−1)k^=−2i^+3k^(-4 + 2)\hat{i} + (4 - 1)\hat{k} = -2\hat{i} + 3\hat{k}।

৩. A⃗=(2x+y−z)i^+(x−2y+3z)j^+(x−y−z)k^\vec{A} = (2x + y - z)\hat{i} + (x - 2y + 3z)\hat{j} + (x - y - z)\hat{k} হলে ∇⋅A⃗\nabla\cdot\vec{A} ও ∇×A⃗\nabla\times\vec{A} নির্ণয় করো। ক্ষেত্রটি কি সলিনয়ডাল বা অঘূর্ণনশীল?

উত্তর দেখো

∇⋅A⃗=2−2−1=−1\nabla\cdot\vec{A} = 2 - 2 - 1 = -1 — সলিনয়ডাল নয়।

∇×A⃗\nabla\times\vec{A}: i^\hat{i}: (−1)−3=−4(-1) - 3 = -4; j^\hat{j}: (−1)−1=−2(-1) - 1 = -2; k^\hat{k}: 1−1=01 - 1 = 0। তাই ∇×A⃗=−4i^−2j^\nabla\times\vec{A} = -4\hat{i} - 2\hat{j} — অঘূর্ণনশীলও নয়। (দুটিই ধ্রুবক, তাই সব বিন্দুতে একই।)

৪. প্রমাণ করো, যেকোনো ভেক্টর ক্ষেত্র A⃗\vec{A}-এর জন্য ∇⋅(∇×A⃗)=0\nabla\cdot(\nabla\times\vec{A}) = 0।

উত্তর দেখো∇⋅(∇×A⃗)=∂∂x(∂Az∂y−∂Ay∂z)+∂∂y(∂Ax∂z−∂Az∂x)+∂∂z(∂Ay∂x−∂Ax∂y)\nabla\cdot(\nabla\times\vec{A}) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right)

মসৃণ ফাংশনে ∂2Az∂x ∂y=∂2Az∂y ∂x\dfrac{\partial^2 A_z}{\partial x\,\partial y} = \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial y\,\partial x} ইত্যাদি, তাই ছয়টি পদ জোড়ায় জোড়ায় কেটে যায়: ফল 00। অর্থ: কার্ল থেকে পাওয়া কোনো ক্ষেত্রের কোথাও উৎস বা সিঙ্ক নেই। (খেয়াল করো: এটি কার্লের ডাইভারজেন্স, “গ্রেডিয়েন্ট” নয়।)

৫. (MCQ) ∇×(ϕA⃗)\nabla\times(\phi\vec{A}) = ? (ক) ϕ ∇×A⃗\phi\,\nabla\times\vec{A} (খ) (∇ϕ)×A⃗+ϕ(∇×A⃗)(\nabla\phi)\times\vec{A} + \phi(\nabla\times\vec{A}) (গ) (∇ϕ)⋅A⃗(\nabla\phi)\cdot\vec{A} (ঘ) 0⃗\vec{0}

উত্তর দেখো

(খ)। গুণফলের অবকলের মতো: একবার ϕ\phi-কে অবকল (∇ϕ\nabla\phi, তারপর A⃗\vec{A}-এর সাথে ক্রস), একবার A⃗\vec{A}-কে (ϕ\phi গুণ ∇×A⃗\nabla\times\vec{A})। শুধু ϕ∇×A⃗\phi\nabla\times\vec{A} লিখলে প্রথম পদ বাদ পড়ে — বইয়ের MCQ 70-এর উত্তরমালা এই ভুলটিই করেছে।

৬. (সৃজনশীল) দুটি ক্ষেত্র: A⃗=(2x+y)i^+(3y+z2)j^+(−5z+x)k^\vec{A} = (2x + y)\hat{i} + (3y + z^2)\hat{j} + (-5z + x)\hat{k} এবং B⃗=(6xy+z3)i^+(3x2−z)j^+(3xz2−y)k^\vec{B} = (6xy + z^3)\hat{i} + (3x^2 - z)\hat{j} + (3xz^2 - y)\hat{k}। (ক) কোনটি সলিনয়ডাল, দেখাও। (খ) B⃗\vec{B} অঘূর্ণনশীল কি না যাচাই করো, এবং (0,0,0)(0,0,0) থেকে (1,1,1)(1,1,1) পর্যন্ত B⃗\vec{B}-এর রেখা ইন্টিগ্রাল নির্ণয় করো।

উত্তর দেখো

(ক) ∇⋅A⃗=2+3−5=0\nabla\cdot\vec{A} = 2 + 3 - 5 = 0 — A⃗\vec{A} সলিনয়ডাল। ∇⋅B⃗=6y+0+6xz\nabla\cdot\vec{B} = 6y + 0 + 6xz — শূন্য নয়, তাই B⃗\vec{B} সলিনয়ডাল নয়।

(খ) i^\hat{i}: (−1)−(−1)=0(-1) - (-1) = 0; j^\hat{j}: 3z2−3z2=03z^2 - 3z^2 = 0; k^\hat{k}: 6x−6x=06x - 6x = 0। ∇×B⃗=0⃗\nabla\times\vec{B} = \vec{0} — অঘূর্ণনশীল, তাই B⃗=∇ϕ\vec{B} = \nabla\phi, ϕ=3x2y+xz3−yz\phi = 3x^2y + xz^3 - yz। রেখা ইন্টিগ্রাল পথের ওপর নির্ভর করে না:

∫(0,0,0)(1,1,1)B⃗⋅dl⃗=ϕ(1,1,1)−ϕ(0,0,0)=3+1−1=3\int_{(0,0,0)}^{(1,1,1)} \vec{B}\cdot d\vec{l} = \phi(1,1,1) - \phi(0,0,0) = 3 + 1 - 1 = 3