পাঠ ৩ / ১৩অনুচ্ছেদ ২.৪, ২.৬

সামান্তরিক সূত্র: লব্ধির মান, দিক, সর্বোচ্চ-সর্বনিম্ন ও ভেক্টর বিয়োগParallelogram law: resultant, max/min & subtraction

এই পাঠের আগে পড়ো (read first): পাঠ ২ — ভেক্টর যোগের জ্যামিতিক সূত্র: ত্রিভুজ, বহুভুজ ও বিনিময়-সংযোজন

স্কেলার (scalar) রাশি যোগ করা সহজ: 10 kg চাল আর 10 kg চাল মিলে সবসময় 20 kg। কিন্তু বল (force) একটি ভেক্টর (vector) — এর মান আর দিক দুটিই আছে। দুজন মানুষ একটি বাক্স 10 N করে টানলে বাক্সের ওপর মোট টান কত? নিচে নিজে দড়ি ঘুরিয়ে দেখো:

দুজনে একটি ভারী বাক্স 10 N + 10 N বলে টানছে (ওপর থেকে দেখা, top view)। দড়ি দুটির মাঝের কোণ (angle) α ঘোরাও আর স্প্রিং নিক্তি (spring scale) দেখো — কখন মোট টান 20 N, কখন শূন্য, আর কখন ঠিক 10 N?

কোণ α (angle)60°

? 20 N (সবচেয়ে বেশি)? ঠিক 10 N? 0 N (শূন্য)

মোট টান 0 থেকে 20 N-এর মধ্যে যেকোনো কিছু হতে পারে — নির্ভর করে দড়ি দুটির মাঝের কোণের ওপর। কোণ জানলে লব্ধি (resultant) ঠিক কত, কোন দিকে — সেটি বের করার নিয়মই সামান্তরিক সূত্র।

এই পাঠে ধাপে ধাপে এগোব:

সামান্তরিক সূত্র (parallelogram law) কী বলে
লব্ধির মান ও দিকের সূত্র প্রমাণ (derivation)
বিশেষ কোণ: 0°, 90°, 180° — সর্বোচ্চ (maximum) ও সর্বনিম্ন (minimum) লব্ধি
সমান মানের দুটি ভেক্টর — 120° আর 180°-এর রহস্য
ভেক্টর বিয়োগ (vector subtraction)
উল্টো দিক থেকে হিসাব (inverse problems)
এবার নিজে করে দেখো — সামান্তরিক সূত্রের পরীক্ষাগার

ধাপ ১: সামান্তরিক সূত্র কী বলে

আগের পাঠে দেখেছি, দুটি ভেক্টর যোগ করতে একটির মাথায় (head) আরেকটির লেজ (tail) বসাই — ত্রিভুজ সূত্র (triangle law)। কিন্তু দড়ির টান, নৌকার বেগ — এদের দুটিই একই বিন্দু থেকে শুরু হয়। তখন ব্যবহার করি:

সামান্তরিক সূত্র (parallelogram law of vectors): কোনো বিন্দুতে একই সময়ে ক্রিয়াশীল দুটি ভেক্টরকে মানে ও দিকে একটি সামান্তরিকের (parallelogram) দুটি সন্নিহিত বাহু (adjacent sides) দিয়ে প্রকাশ করলে, ওই বিন্দু থেকে আঁকা সামান্তরিকের কর্ণটি (diagonal) মানে ও দিকে তাদের লব্ধি নির্দেশ করে।

কেন কাজ করে? সামান্তরিকের বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল, তাই কমলা $\vec{Q}$ -কে সরিয়ে $\vec{P}$ -এর মাথায় বসানো যায় (ড্যাশ দেওয়া তীর)। তখন এটি আসলে ত্রিভুজ সূত্রই — কর্ণটি হলো $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$ । নিচে তীরের মাথা টেনে নিজে দেখো:

নীল (P) আর কমলা (Q) তীরের মাথা টেনে সরাও। সবুজ কর্ণ (diagonal) R = P + Q।

P = 6.00, Q = 4.72, α = 58.0°

R^{2} R = P^{2} + Q^{2} + 2 P Q cos α = 36.00 + 22.25 + 2 (6.00) (4.72) (0.530) = 9.39

tan θ θ = \frac{Q sin α}{P + Q cos α} = \frac{4.00}{8.50} = 25. 2^{\circ}

θ মাপা হয়েছে P-এর সাথে (from P), Q-এর দিকে।

নিজে যাচাই করো

সামান্তরিক সূত্রে দুটি ভেক্টরের লব্ধি কোনটি?

ধাপ ২: লব্ধির মান ও দিক — প্রমাণ

ওপরের ছবিতে প্রমাণ দেখাও (show proof) চাপো। ধরো $\vec{OA} = \vec{P}$ , $\vec{AC} = \vec{Q}$ (এটি $\vec{OB}$ -এর সমান ও সমান্তরাল), আর $\vec{P}$ ও $\vec{Q}$ -এর মাঝের কোণ $\alpha$ । তাহলে কর্ণ $\vec{OC} = \vec{R}$ । $OA$ -কে বাড়িয়ে $C$ থেকে তার ওপর লম্ব (perpendicular) $CN$ টানো। $AC \parallel OB$ বলে $\angle CAN = \alpha$ । সমকোণী ত্রিভুজ $ANC$ থেকে:

AN = Q\cos\alpha, \qquad CN = Q\sin\alpha

এখন সমকোণী ত্রিভুজ $ONC$ -তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras theorem):

OC^2 = ON^2 + CN^2 = (P + Q\cos\alpha)^2 + (Q\sin\alpha)^2 = P^2 + 2PQ\cos\alpha + Q^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)

\boxed{R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ\cos\alpha}} \qquad (2.4)

লব্ধি $\vec{P}$ -এর সাথে $\theta$ কোণ করলে, একই ত্রিভুজ $ONC$ থেকে:

\boxed{\tan\theta = \frac{CN}{ON} = \frac{Q\sin\alpha}{P + Q\cos\alpha}} \qquad (2.5)

মনে রেখো: $\theta$ মাপা হয় $\vec{P}$ -এর সাথে (from P) — যে ভেক্টরটি হরে (denominator) $P + \ldots$ হিসেবে আছে। $\vec{Q}$ -এর সাথে কোণ চাইলে $P$ আর $Q$ অদলবদল করো। ধনাত্মক হর না হলে (যখন $P + Q\cos\alpha < 0$ ) $\theta$ 90°-এর বেশি — ক্যালকুলেটরের $\tan^{-1}$ তখন ঋণাত্মক উত্তর দেয়, তার সাথে 180° যোগ করতে হয়।

নিজে যাচাই করো

3 N ও 5 N মানের দুটি বল একটি বিন্দুতে 60° কোণে ক্রিয়া করছে। লব্ধি কত?

ধাপ ৩: বিশেষ কোণ — সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন লব্ধি

সূত্র (2.4)-এ শুধু $\cos\alpha$ বদলায়। $\cos\alpha$ সবচেয়ে বড় (= 1) যখন $\alpha = 0°$ , সবচেয়ে ছোট (= −1) যখন $\alpha = 180°$ :

কোণ α	cos α	লব্ধি R	দিক
0° (একই দিকে, like)	1	$R_{max} = P + Q$	দুটির দিকেই
90° (লম্ব, perpendicular)	0	$\sqrt{P^2 + Q^2}$	$\tan\theta = Q/P$
180° (বিপরীত, unlike)	−1	$R_{min} = \lvert P - Q \rvert$	বড়টির দিকে

তাই যেকোনো কোণে $\lvert P - Q\rvert \le R \le P + Q$ । (বইয়ে $R_{min} = P \sim Q$ লেখা হয় — ”∼” মানে বড় থেকে ছোট বিয়োগ, অর্থাৎ $\lvert P - Q \rvert$ ।)

একই দুটি ভেক্টর (P = 4, Q = 3), শুধু মাঝের কোণ আলাদা। লব্ধি সবসময় |P − Q| আর P + Q-এর মাঝে থাকে: 1 ≤ R ≤ 7।

কোণ বাড়ার সাথে লব্ধি কীভাবে কমে, লেখচিত্রে দেখো। R = P বিন্দুটি খেয়াল করো:

লেখচিত্রে (graph) α বাড়ালে লব্ধি R কীভাবে বদলায় দেখো। P আর Q বদলে দেখো R = P বিন্দুটি কোথায় সরে যায়।

α60° → R = 8.66P5.0Q5.0

R = P হয় যখন cos α = −Q/(2P) = -0.500। P = Q হলেই কেবল সেটি 120°।

নিজে যাচাই করো

8 N ও 5 N মানের দুটি বলের লব্ধি নিচের কোনটি হতে পারে না?

ধাপ ৪: সমান মানের দুটি ভেক্টর

$P = Q$ হলে সূত্র (2.4) সুন্দরভাবে সরল হয়। $1 + \cos\alpha = 2\cos^2(\alpha/2)$ ব্যবহার করে:

R = \sqrt{2P^2(1 + \cos\alpha)} = \sqrt{4P^2\cos^2\tfrac{\alpha}{2}} = 2P\cos\frac{\alpha}{2}

আর দিক: $\tan\theta = \dfrac{P\sin\alpha}{P + P\cos\alpha} = \dfrac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \tan\dfrac{\alpha}{2}$ , অর্থাৎ $\theta = \alpha/2$ — সমান দুটি ভেক্টরের লব্ধি তাদের মাঝের কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত (bisect) করে। (সামান্তরিকটি তখন রম্বস (rhombus), আর রম্বসের কর্ণ কোণকে সমান দুই ভাগ করে।)

এখন শুরুর দড়ির খেলাটি ব্যাখ্যা করা যায়:

$R = P$ হলে $2P\cos(\alpha/2) = P \Rightarrow \cos(\alpha/2) = 1/2 \Rightarrow \alpha/2 = 60° \Rightarrow$ $\alpha = 120°$ ।
$R = 0$ হলে $\cos(\alpha/2) = 0 \Rightarrow \alpha/2 = 90° \Rightarrow$ $\alpha = 180°$ — 120° নয়!

120°-এর এই ফল শুধু সমান মানের দুটি ভেক্টরের জন্য। অসমান হলে R = P হয় $\cos\alpha = -Q/(2P)$ হলে (ওপরের লেখচিত্রে P ≠ Q করে দেখো)। তিনটি সমান বল 120° পরপর থাকলে যেকোনো দুটির লব্ধি তৃতীয়টির সমান ও বিপরীত — তাই তিনটি মিলে সাম্যাবস্থা (equilibrium)।

নিজে যাচাই করো

দুটি সমান মানের ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হবে কোন কোণে?

ধাপ ৫: ভেক্টর বিয়োগ

বিয়োগ মানে বিপরীত ভেক্টর (negative vector) যোগ: $\vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B})$ । $-\vec{B}$ -এর মান $B$ , দিক উল্টো। $\vec{A}$ আর $\vec{B}$ -এর মাঝের কোণ $\alpha$ হলে $\vec{A}$ আর $-\vec{B}$ -এর মাঝের কোণ $180° - \alpha$ , আর $\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$ । তাই সূত্র (2.4) ও (2.5)-এ শুধু চিহ্ন বদলায়:

\lvert\vec{A} - \vec{B}\rvert = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB\cos\alpha}, \qquad \tan\varphi = \frac{B\sin\alpha}{A - B\cos\alpha}

এখানে $\varphi$ হলো $\vec{A}$ -এর সাথে কোণ, তবে $\vec{B}$ -এর উল্টো পাশে। ছবিতে আরও সুন্দর একটি জিনিস দেখা যায়: $\vec{A}$ আর $\vec{B}$ দিয়ে আঁকা সামান্তরিকের অন্য কর্ণটি, $\vec{B}$ -এর মাথা থেকে $\vec{A}$ -এর মাথা পর্যন্ত, ঠিক $\vec{A} - \vec{B}$ (কারণ $\vec{B} + (\vec{A} - \vec{B}) = \vec{A}$ )। নিচে Q-এর মাথা টেনে দেখো (এখানে A = P, B = Q):

নীল (P) আর কমলা (Q) তীরের মাথা টেনে সরাও। বিয়োগ মোডে Q উল্টে −Q হয়; সামান্তরিকের কর্ণ তখন P − Q।

P = 6.00, Q = 4.27, α = 69.4°

∣ P - Q ∣^{2} ∣ P - Q ∣ = P^{2} + Q^{2} - 2 P Q cos α = 36.00 + 18.25 - 2 (6.00) (4.27) (0.351) = 6.02

tan θ θ = \frac{Q sin α}{P - Q cos α} = \frac{4.00}{4.50} = 41. 6^{\circ}

θ মাপা হয়েছে P-এর সাথে (from P), Q-এর উল্টো পাশে।

α = 90° হলে দুটি সূত্রের $\cos\alpha$ পদ শূন্য, তাই $\lvert\vec{A} + \vec{B}\rvert = \lvert\vec{A} - \vec{B}\rvert$ — সামান্তরিকটি তখন আয়তক্ষেত্র (rectangle), আর আয়তক্ষেত্রের দুটি কর্ণ সমান। উল্টোভাবেও সত্য: দুটি কর্ণ সমান হলে ভেক্টর দুটি লম্ব।

নিজে যাচাই করো

|A + B| = |A − B| হলে A ও B-এর মাঝের কোণ কত?

ধাপ ৬: উল্টো দিক থেকে হিসাব

পরীক্ষায় প্রায়ই লব্ধি দেওয়া থাকে, ভেক্টর বা কোণ বের করতে হয়। সবই (2.4) আর (2.5) থেকে আসে:

$R_{max}$ ও $R_{min}$ থেকে P, Q: $P + Q = R_{max}$ , $P - Q = R_{min}$ ⇒ $P = \dfrac{R_{max} + R_{min}}{2}$ , $Q = \dfrac{R_{max} - R_{min}}{2}$ ।
R, P, Q থেকে কোণ: $\cos\alpha = \dfrac{R^2 - P^2 - Q^2}{2PQ}$ ।
লব্ধি একটি ভেক্টরের ( $\vec{P}$ ) ওপর লম্ব: $\theta = 90°$ মানে $\tan\theta$ অসীম, তাই হর শূন্য: $P + Q\cos\alpha = 0 \Rightarrow \cos\alpha = -P/Q$ । তখন $R = \sqrt{Q^2 - P^2}$ — বড় ভেক্টরটি (Q) যেন অতিভুজ (hypotenuse)। এর জন্য $Q \ge P$ লাগবে।
$P^2 + Q^2 = R^2$ হলে $2PQ\cos\alpha = 0$ , তাই ভেক্টর দুটি লম্ব।
লব্ধি P থেকে কতটা ঘুরতে পারে? $P > Q$ হলে ত্রিভুজ OAC-তে সাইন সূত্র (sine rule) থেকে $\sin\theta = \dfrac{Q\sin\angle OCA}{P} \le \dfrac{Q}{P}$ । অর্থাৎ লব্ধি বড় ভেক্টর থেকে সর্বোচ্চ $\sin^{-1}(Q/P)$ কোণে সরে — যখন $\vec{R} \perp \vec{Q}$ ।

উদাহরণ: $\vec{A} + \vec{B}$ -এর মান $\sqrt{3}B$ , আর এটি $\vec{A}$ -এর সাথে 30° কোণ করে। $A$ কত? ত্রিভুজ সূত্রে $\vec{B} = \vec{R} - \vec{A}$ , আর $\vec{R}$ ও $\vec{A}$ -এর মাঝের কোণ 30°। তাই

B^2 = R^2 + A^2 - 2RA\cos 30° = 3B^2 + A^2 - 3AB \;\Rightarrow\; A^2 - 3AB + 2B^2 = 0 \;\Rightarrow\; (A - B)(A - 2B) = 0

দুটি উত্তরই সঠিক: $A = B$ (তখন ভেক্টর দুটির মাঝের কোণ 60°) অথবা $A = 2B$ (মাঝের কোণ 120°)। পরীক্ষাগারে দুটিই বসিয়ে মিলিয়ে দেখতে পারো।

নিজে যাচাই করো

দুটি বলের লব্ধির সর্বোচ্চ মান 17 N আর সর্বনিম্ন মান 7 N। বড় বলটি কত?

ধাপ ৭: এবার নিজে করে দেখো

এখন সূত্রগুলো হাতে-কলমে ব্যবহার করো। নিচের পরীক্ষাগারে:

P, Q স্লাইডার (0–100) আর α (0–180°) বদলাও। ছোট −/+ বোতাম দিয়ে নিখুঁত মান বসাও। একক (unit) বদলে N, km/h বা m/s করতে পারো — সূত্র একই থাকে।
সবুজ R আর তার কোণ θ (P-এর সাথে) সরাসরি দেখাবে। A − B দেখাও চাপলে গোলাপি বিয়োগফলও দেখাবে।
সমাধান করো (solve for) প্যানেলে জানা রাশি বসাও (যেমন Rmax ও Rmin) — সিম অজানাটি হিসাব করে স্লাইডারে বসিয়ে দেবে আর হিসাবটি দেখাবে।
চ্যালেঞ্জগুলো শেষ করো, আর প্রতিটি পর্যবেক্ষণ খাতায় লেখো — CSV হিসেবে নামাতে পারবে।

সামান্তরিক সূত্রের পরীক্ষাগার

Parallelogram law lab

↗

একক (unit):

P6Q4α (angle)60°

লব্ধি (resultant) R8.72 N

θ, P-এর সাথে23.41°

বিয়োগফল |P − Q|5.29 N

P − Q-এর কোণ, P থেকে-40.89°

Rmax = P + Q10.00 N

Rmin = |P − Q|2.00 N

সমাধান করো (solve for)

RmaxRmin

চ্যালেঞ্জ (challenges)

0/6

দুটি বলের লব্ধির সর্বোচ্চ মান 10 N, সর্বনিম্ন 4 N। P ও Q বের করে বসাও, তারপর α = 90° করো। (ঢাবি)
দুটি সমান ভেক্টর নাও (P = Q)। কোন কোণে লব্ধি প্রত্যেকটির সমান হয়?
দুটি লম্ব বলের লব্ধি 80 N, একটির সাথে 60° কোণ করে। বল দুটি কত? (রুয়েট) — "সমাধান" প্যানেল ব্যবহার করতে পারো।
A = 4 একক পূর্বে, B = 3 একক দক্ষিণে। A − B দেখাও (A = P = 4, B = Q = 3, α = 90°, “A − B দেখাও” চালু)।
|P + Q| আর |P − Q| সমান করো।
পশ্চিমে 50 N আর উত্তরে 20 N। লব্ধি কত, পশ্চিমের সাথে কত কোণে? (জাবি)

পর্যবেক্ষণ খাতা (observation notebook)

মান বসিয়ে “খাতায় লেখো” চাপো — প্রতিটি পর্যবেক্ষণ এখানে জমা হবে।

বই পড়ার সময় সাবধান — পাঠ্যবইয়ের এই অংশে কয়েকটি ভুল আছে:

উদাহরণ ২.৩-৪ (BUET 2021-22), পৃ. 82: সমান দুটি ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হলে বই লিখেছে “cos α = −1 … ∴ α = 120°”। cos α = −1 মানে α = 180°। 120° হলো অন্য প্রশ্নের উত্তর — যখন লব্ধি প্রত্যেকটির সমান।
“জেনে রাখ”, পৃ. 73: “α = 120° হলে দুটি ভেক্টরের লব্ধি প্রত্যেক ভেক্টরের সমান” — এটি শুধু সমান মানের দুটি ভেক্টরের জন্য সত্য। বইয়ের নিজের প্রমাণও দুটিকে সমান ধরে।
ক্রিয়াকর্ম, পৃ. 74: 3F ও 3F-এর প্রথমটি দ্বিগুণ করলে লব্ধিও দ্বিগুণ হয় — উত্তর ছাপা “163.73°”। হিসাব করলে 45 + 36 cos α = 4(18 + 18 cos α) ⇒ cos α = −3/4 ⇒ α = 138.59°। ছাপা উত্তরটি প্রশ্নের কোনো পাঠের সাথে মেলে না।
পৃ. 101 ও সারসংক্ষেপ পৃ. 139: “R_min = P − Q” আর সর্বোচ্চ-সর্বনিম্নকে তীর-চিহ্ন দিয়ে ভেক্টরের মতো লেখা। এরা মান (magnitude): $R_{max} = P + Q$ , $R_{min} = \lvert P - Q\rvert$ ।
গাণিতিক প্রশ্ন 27, পৃ. 165: ছাপা উত্তর “θ > π/4”। P > Q হলে লব্ধি P থেকে সর্বোচ্চ sin⁻¹(Q/P) কোণে সরে; Q/P = 1/√2 হলে θ ≤ π/4।
MCQ 69, পৃ. 148 (উত্তরমালা পৃ. 153): |A| = 12, |B| = 15, |C| = 13, A + B = C — উত্তর দেওয়া π/6। হিসাব করলে cos α = (169 − 144 − 225)/(2·12·15) = −0.556, α = 123.7° — কোনো বিকল্পই সঠিক নয়। সম্ভবত |B| = 5 বোঝানো হয়েছিল; তখন উত্তর π/2।

বোর্ডের প্রত্যাশিত উত্তর (answer the board expects): বোর্ড প্রশ্নে সর্বনিম্ন লব্ধি “P ∼ Q” লেখা থাকে — এটি |P − Q|-ই, তাই লিখতে পারো। “সমান দুটি ভেক্টরের লব্ধি প্রত্যেকটির সমান হলে কোণ কত?” — উত্তর 120°, আর লব্ধি শূন্য হলে 180°।

ঘরে বসে পরীক্ষা: চালের ব্যাগ আর দুই হাত

একটি মজবুত সুতা বা ফিতার মাঝখানে 0.5–1 kg চালের একটি ছোট ব্যাগ ঝোলাও। সুতার দুই প্রান্ত দুই হাতে ধরো।
হাত দুটি কাছাকাছি রেখে (সুতা প্রায় খাড়া) ব্যাগটি তোলো। তারপর ধীরে ধীরে হাত দুটি দুই দিকে সরাও।
লক্ষ করো: হাত যত ছড়াও, আঙুলে টান তত বাড়ে — যদিও ব্যাগের ওজন একই। দুই টানের লব্ধিকে সবসময় ব্যাগের ওজনের সমান থাকতে হয়, আর কোণ বাড়লে (2.4)-এ cos α কমে, তাই প্রতিটি টানকে বড় হতে হয়।
চাইলে দুটি লাগেজ স্কেল (luggage scale) দিয়ে দুই টান মাপো। সুতা দুটির মাঝের কোণ 60°, 90° আর 120° করো। হিসাব: প্রতিটি টান $T = \dfrac{W}{2\cos(\alpha/2)}$ — 120°-এ প্রতিটি টান ঠিক ব্যাগের ওজনের সমান!
সুতা একেবারে সোজা অনুভূমিক (180°) করতে পারবে না কেন? তখন cos 90° = 0, অর্থাৎ অসীম টান লাগবে।

নিরাপত্তা: নরম ব্যাগ ব্যবহার করো আর বিছানার ওপরে পরীক্ষা করো, যাতে পড়ে গেলে কিছু না ভাঙে। পাতলা সুতা আঙুল কাটতে পারে — কাপড়ের ফিতা ভালো। ভারী জিনিস বা কাচের কিছু ঝোলাবে না।

পরীক্ষার প্রস্তুতি

১. দেখাও যে, P ও Q ভেক্টর দুটি α কোণে ক্রিয়া করলে লব্ধি R = √(P² + Q² + 2PQ cos α), আর P-এর সাথে লব্ধির কোণ θ হলে tan θ = Q sin α/(P + Q cos α)।

OA = P, AC = Q (OB-এর সমান্তরাল) আঁকো; কর্ণ OC = R। OA-কে বাড়িয়ে C থেকে CN লম্ব টানো। ∠CAN = α, তাই AN = Q cos α, CN = Q sin α।

সমকোণী ত্রিভুজ ONC-তে: $R^2 = (P + Q\cos\alpha)^2 + (Q\sin\alpha)^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ\cos\alpha$ ।

একই ত্রিভুজে: $\tan\theta = \dfrac{CN}{ON} = \dfrac{Q\sin\alpha}{P + Q\cos\alpha}$ ।

২. MCQ: (ক) সমান মানের দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান প্রত্যেকটির সমান হলে তাদের মাঝের কোণ — (i) 60° (ii) 90° (iii) 120° (iv) 180°। (খ) |A + B| = |A − B| হলে A ও B-এর মাঝের কোণ — (i) 0° (ii) 45° (iii) 90° (iv) 180°।

(ক) (iii) 120°। $P = 2P\cos(\alpha/2) \Rightarrow \cos(\alpha/2) = 1/2 \Rightarrow \alpha = 120°$ ।

(খ) (iii) 90°। দুটি বর্গ সমান করলে $4AB\cos\alpha = 0$ ।

৩. দুটি বলের লব্ধির সর্বোচ্চ মান 10 N ও সর্বনিম্ন মান 4 N। বল দুটি পরস্পর লম্বভাবে ক্রিয়া করলে লব্ধি কত, আর বড় বলটির সাথে কত কোণে? (ঢাবি)

$P + Q = 10$ , $P - Q = 4$ ⇒ $P = 7$ N, $Q = 3$ N।

$R = \sqrt{7^2 + 3^2} = \sqrt{58} = 7.62$ N। $\tan\theta = 3/7 \Rightarrow \theta = 23.2°$ (7 N বলের সাথে)।

৪. (ক) প্রমাণ করো, সমান মানের দুটি ভেক্টরের লব্ধি তাদের মাঝের কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (খ) দুটি ভেক্টরের লব্ধি একটির ওপর লম্ব এবং মানে তার সমান হলে দেখাও যে অন্যটির মান লব্ধির √2 গুণ।

(ক) $P = Q$ হলে $\tan\theta = \dfrac{P\sin\alpha}{P(1 + \cos\alpha)} = \dfrac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \tan\dfrac{\alpha}{2}$ , তাই $\theta = \alpha/2$ — লব্ধি কোণটিকে সমান দুই ভাগ করে।

(খ) $\vec{R} \perp \vec{P}$ হলে $P + Q\cos\alpha = 0$ , তাই $R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ\cos\alpha = P^2 + Q^2 - 2P^2 = Q^2 - P^2$ , অর্থাৎ $Q^2 = P^2 + R^2$ । $R = P$ বসালে $Q^2 = 2R^2 \Rightarrow Q = \sqrt{2}\,R$ । (এখানে $\cos\alpha = -1/\sqrt{2}$ , $\alpha = 135°$ ।)

৫. দুটি ভেক্টর A ও B-এর লব্ধির মান √3B এবং লব্ধি A-এর সাথে 30° কোণ করে। A-এর মান ও দুই ভেক্টরের মাঝের কোণ বের করো।

$\vec{B} = \vec{R} - \vec{A}$ , আর $\vec{R}$ ও $\vec{A}$ -এর মাঝের কোণ 30°:

$B^2 = 3B^2 + A^2 - 2(\sqrt{3}B)(A)\cos 30° = 3B^2 + A^2 - 3AB \Rightarrow (A - B)(A - 2B) = 0$ ।

$A = B$ হলে: লব্ধি কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই মাঝের কোণ $2 \times 30° = 60°$ । যাচাই: $2B\cos 30° = \sqrt{3}B$ ✓
$A = 2B$ হলে: $3B^2 = 4B^2 + B^2 + 4B^2\cos\alpha \Rightarrow \cos\alpha = -1/2 \Rightarrow \alpha = 120°$ ।

৬. ভুলটি খুঁজে বের করো: “সমান মানের দুটি ভেক্টরের লব্ধি শূন্য। 0 = P² + P² + 2P² cos α ⇒ cos α = −1 ⇒ α = 120°।” আর: “3F ও 3F-এর প্রথমটি দ্বিগুণ করলে লব্ধি দ্বিগুণ হয়; কোণ 163.73°।”

প্রথমটিতে বীজগণিত ঠিক, শেষ ধাপ ভুল: $\cos\alpha = -1 \Rightarrow \alpha = 180°$ , 120° নয় ( $\cos 120° = -1/2$ )।

দ্বিতীয়টিতে: আগে $R^2 = 18F^2 + 18F^2\cos\alpha$ ; পরে $(2R)^2 = 36F^2 + 9F^2 + 36F^2\cos\alpha$ । তাই $45 + 36\cos\alpha = 4(18 + 18\cos\alpha) \Rightarrow -36\cos\alpha = 27 \Rightarrow \cos\alpha = -0.75 \Rightarrow \alpha = 138.59°$ । যাচাই: 138.59°-এ $R = \sqrt{4.5}\,F = 2.12F$ আর নতুন লব্ধি $\sqrt{18}\,F = 4.24F$ — ঠিক দ্বিগুণ।