পাঠ ৪ / ১৩অনুচ্ছেদ ২.৫–২.৫.২

নদীতে নৌকার গতি: ন্যূনতম পথ ও ন্যূনতম সময়Boat on a river: shortest path vs shortest time

এই পাঠের আগে পড়ো (read first): পাঠ ৩ — সামান্তরিক সূত্র: লব্ধির মান, দিক, সর্বোচ্চ-সর্বনিম্ন ও ভেক্টর বিয়োগ

খেয়াঘাটে দাঁড়িয়ে মাঝিকে লক্ষ করেছ? ঠিক উল্টো দিকের ঘাটে যেতে তিনি নৌকার মুখ সোজা ওপারে রাখেন না — একটু উজানের দিকে ঘুরিয়ে রাখেন। কেন? নিচের নৌকাটির মুখ সোজা ওপারের বাড়ির দিকে। “চালাও” চাপো:

নৌকার মুখ সোজা ওপারের বাড়ির দিকে। চালালে কোথায় গিয়ে ঠেকবে বলে মনে হয়?

নৌকা তো সোজাই চালালাম, তবু ভাটিতে (downstream) গেল কেন? সোজা পৌঁছাতে কোন দিকে মুখ রাখতে হবে? আর যদি তাড়া থাকে — সবচেয়ে কম সময়ে পার হতে কোন দিকে চালাব? এই পাঠে এর উত্তর ভেক্টর যোগ (vector addition) দিয়ে বের করব।

এই পাঠে ধাপে ধাপে এগোব:

নৌকার দুটি বেগ — পানির সাপেক্ষে বেগ (velocity relative to water) আর স্রোতের বেগ (current), তাদের লব্ধি (resultant)
মুখ সোজা আড়াআড়ি রাখলে — লব্ধি বেগ, সময় আর বিচ্যুতি (drift)
পার হওয়ার সময় ঠিক করে শুধু আড়াআড়ি উপাংশ (across component)
ন্যূনতম পথ (shortest path) — উজানের দিকে কত কোণে মুখ রাখবে
ন্যূনতম সময় (shortest time) বনাম ন্যূনতম পথ — দুই মাঝির দৌড়
স্রোত নৌকার চেয়ে জোরে হলে কী হয়
এবার নিজে করে দেখো — নদী পারাপার সিমুলেশন

ধাপ ১: নৌকার দুটি বেগ

সামান্তরিক সূত্রের পাঠে দেখেছ, একই বিন্দুতে দুটি ভেক্টর কাজ করলে তাদের লব্ধি হলো সামান্তরিকের (parallelogram) কর্ণ। নদীর নৌকায় ঠিক এটাই ঘটে। নৌকার একসঙ্গে দুটি বেগ:

$\vec{v}$ — পানির সাপেক্ষে নৌকার বেগ (velocity relative to water)। মাঝি দাঁড় টেনে বা ইঞ্জিন চালিয়ে যে বেগ দেন, যেদিকে নৌকার মুখ (heading)। স্থির পানিতে নৌকা ঠিক এই বেগে চলত।
$\vec{u}$ — স্রোতের বেগ (current velocity)। পুরো পানিটাই নৌকাসহ ভাটির দিকে সরে যাচ্ছে।

তীরে দাঁড়ানো কেউ নৌকাকে চলতে দেখে এই দুটির ভেক্টর যোগফলে — লব্ধি বেগ (resultant velocity):

\vec{w} = \vec{v} + \vec{u}

নৌকার মুখ যেদিকে, নৌকা সেদিকে যায় না — যায় $\vec{w}$ -এর দিকে! মুখের কোণ মাপা হয় স্রোতের দিক থেকে (বোর্ডের রীতি): β = 0° মানে মুখ ভাটির দিকে, β = 90° মানে সোজা আড়াআড়ি (straight across), β > 90° মানে মুখ উজানের দিকে (upstream)। নদীর প্রস্থ (width) $l$ ।

নিচে মুখ ঘোরাও, স্রোত বদলাও — নীল $\vec{v}$ , সবুজ $\vec{u}$ আর কমলা লব্ধি $\vec{w}$ দেখো:

মুখের কোণ, স্রোতের সাথে (heading β) 90°নৌকার বেগ (boat speed) v 10 km/hস্রোতের বেগ (current) u 6 km/h

লব্ধি বেগ (ground speed) w11.66 km/h

w-এর দিক, স্রোতের সাথে59.0°

আড়াআড়ি উপাংশ v sinβ10.00 km/h

স্রোত বরাবর উপাংশ u + v cosβ6.00 km/h

1 km নদী পার হতে সময়6.00 min

ওপারে বিচ্যুতি (drift)600 m

নৌকার মুখ এক দিকে (v), কিন্তু নৌকা চলে আরেক দিকে (w = v + u)। মুখ ঘুরিয়ে দেখো কখন w সোজা আড়াআড়ি হয়।

দুটি ভেক্টরের মাঝের কোণ এখানে β, তাই সামান্তরিক সূত্র থেকে

w = \sqrt{v^2 + u^2 + 2vu\cos\beta}

তবে নদীর হিসাবে উপাংশে (component) ভাঙা আরও সহজ — x অক্ষ স্রোত বরাবর, y অক্ষ আড়াআড়ি:

w_x = u + v\cos\beta, \qquad w_y = v\sin\beta

নিজে যাচাই করো

নৌকার মুখ সোজা উজানের দিকে (β = 180°), v = 10 km/h, u = 4 km/h। তীর থেকে নৌকার বেগ কত?

ধাপ ২: মুখ সোজা আড়াআড়ি রাখলে

শুরুর নৌকাটির মতো মুখ সোজা ওপারে রাখি: β = 90°। তখন $\vec{v}$ আর $\vec{u}$ পরস্পর লম্ব, তাই

w = \sqrt{v^2 + u^2}, \qquad \tan\alpha = \frac{u}{v}

এখানে α হলো লব্ধি $\vec{w}$ আড়াআড়ি রেখা থেকে ভাটির দিকে কত হেলে আছে। পুরো $v$ আড়াআড়ি দিকে কাজ করে, আর স্রোত নৌকাকে আড়াআড়ি দিকে একটুও এগোয়ও না, পেছায়ও না। তাই পার হওয়ার সময় আর ওই সময়ে স্রোতে ভেসে যাওয়া দূরত্ব — বিচ্যুতি (drift):

t = \frac{l}{v}, \qquad x = u\,t = \frac{u\,l}{v}

উদাহরণ। 1 km চওড়া নদী, $v$ = 10 km/h, $u$ = 6 km/h, মুখ আড়াআড়ি। $w = \sqrt{100 + 36} = 11.66$ km/h, $\tan\alpha = 0.6 \Rightarrow \alpha = 30.96°$ । $t = 1/10$ h = 6 min, আর $x = 6 \times 0.1 = 0.6$ km — নৌকা ঠিক বিপরীত বিন্দু থেকে 600 m ভাটিতে পৌঁছায়।

নিজে যাচাই করো

উপরের উদাহরণে স্রোত বেড়ে 6 থেকে 8 km/h হলো, মুখ আগের মতোই আড়াআড়ি। পার হতে সময় কত?

ধাপ ৩: সময় ঠিক করে শুধু আড়াআড়ি উপাংশ

এই পাঠের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ কথা — আর পরীক্ষায় সবচেয়ে বেশি ভুল হয় এখানেই: নদী পার হওয়ার সময় = প্রস্থ ÷ আড়াআড়ি বেগ। লব্ধি বেগ দিয়ে প্রস্থকে ভাগ করা যায় না, কারণ লব্ধি বরাবর পথ $l$ -এর চেয়ে লম্বা। যেকোনো মুখ β-এর জন্য:

t = \frac{l}{v\sin\beta}, \qquad x = (u + v\cos\beta)\,t = \frac{(u + v\cos\beta)\,l}{v\sin\beta}

$\sin\beta$ -এর সর্বোচ্চ মান 1, যখন β = 90°। তাই সোজা আড়াআড়ি মুখ রাখলেই সময় সবচেয়ে কম, $t_{\min} = l/v$ — স্রোত যত জোরেই হোক। নিচে মুখের কোণ পুরো 5°–175° ঘুরিয়ে দেখো সময় (নীল) আর বিচ্যুতি (কমলা) কীভাবে বদলায়:

মুখের কোণ (heading) β 90°স্রোত (current) u 6 km/h · নৌকা v = 10 km/h

সময় t = l/(v sinβ)6.00 min

বিচ্যুতি (drift)600 m

শূন্য বিচ্যুতি, cosβ = −u/vβ = 126.87°

নদী 1 km চওড়া। সবুজ বিন্দু: সবচেয়ে কম সময় (ওপরে) আর শূন্য বিচ্যুতি (নিচে) — দুটি আলাদা কোণে! u ≥ v হলে শূন্য বিচ্যুতি অসম্ভব; তখন হলুদ বিন্দু দেখায় সবচেয়ে কম বিচ্যুতি।

লক্ষ করো: সময়ের লেখচিত্র β = 90°-এর দুই পাশে প্রতিসম (symmetric) — 60° আর 120°-এ সময় সমান। কিন্তু বিচ্যুতি শূন্য হয় 90°-এ নয়, আরও উজানের দিকে। সবচেয়ে কম সময় আর সবচেয়ে ছোট পথ — দুটি আলাদা মুখ।

নিজে যাচাই করো

একটি নৌকা স্রোতের সাথে 60° কোণে, আরেকটি 120° কোণে মুখ রেখে একই বেগে (v সমান) একই নদী পার হয়। কোনটির সময় কম লাগবে?

ধাপ ৪: ন্যূনতম পথ — ঠিক বিপরীত ঘাটে পৌঁছানো

সবচেয়ে ছোট পথ হলো সোজা আড়াআড়ি, দৈর্ঘ্য $l$ । এর জন্য লব্ধি $\vec{w}$ -কে আড়াআড়ি হতে হবে, অর্থাৎ স্রোত বরাবর উপাংশ শূন্য:

w_x = u + v\cos\beta = 0 \quad\Rightarrow\quad \cos\beta = -\frac{u}{v}

β > 90°, অর্থাৎ মুখ উজানের দিকে — নৌকার উজানমুখী উপাংশ $v\cos(180° - \beta)$ স্রোতকে ঠিক কাটাকাটি করে। বইয়ে কোণটি মাপা হয় আড়াআড়ি রেখা থেকে উজানের দিকে, θ = β − 90°:

\sin\theta = \frac{u}{v}, \qquad w = \sqrt{v^2 - u^2}, \qquad t' = \frac{l}{\sqrt{v^2 - u^2}}

ক) নৌকার মুখ সোজা আড়াআড়ি — পুরো v আড়াআড়ি কাজে লাগে, তাই সময় সবচেয়ে কম, কিন্তু লব্ধি w তেরছা। খ) মুখ উজানের দিকে θ কোণে ঘোরালে v-এর উজানমুখী উপাংশ স্রোতকে ঠিক কাটাকাটি করে, w সোজা আড়াআড়ি হয় — পথ সবচেয়ে ছোট, কিন্তু আড়াআড়ি বেগ কমে যায় বলে সময় বেশি লাগে।

উদাহরণ। $v$ = 12 km/h, $u$ = 6 km/h: $\cos\beta = -6/12 = -0.5 \Rightarrow \beta = 120°$ । বোর্ডের ভাষায় উত্তর: “স্রোতের সাথে 120° কোণে” — বা সমানভাবে “আড়াআড়ি রেখার সাথে উজানের দিকে 30° কোণে”। লব্ধি বেগ $w = \sqrt{144 - 36} = 10.39$ km/h।

খেয়াল করো, $\sin\theta = u/v$ তখনই অর্থবহ যখন $u < v$ — নইলে sinθ > 1, যা অসম্ভব। বই এই শর্তটি বলে না।

নিজে যাচাই করো

একজন সাঁতারু স্থির পানিতে 4 km/h বেগে সাঁতরায়, স্রোত 2 km/h। ঠিক বিপরীত তীরে পৌঁছাতে স্রোতের সাথে কত কোণে সাঁতরাবে?

ধাপ ৫: ন্যূনতম সময় বনাম ন্যূনতম পথ

দুই মাঝি একই ঘাট থেকে একই সঙ্গে রওনা দিলেন, দুজনের নৌকার বেগ সমান। মাঝি A ঠিক বিপরীত ঘাটে যেতে চান (ন্যূনতম পথ), মাঝি B তাড়াতাড়ি ওপারে পৌঁছাতে চান (ন্যূনতম সময়)। 1 km নদী, $v$ = 10 km/h, $u$ = 6 km/h:

	মুখ, স্রোতের সাথে	আড়াআড়ি বেগ	সময়	কোথায় নামে
A — ন্যূনতম পথ (shortest path)	126.87°	$\sqrt{100-36}$ = 8 km/h	7.5 min	ঠিক বিপরীতে
B — ন্যূনতম সময় (shortest time)	90°	10 km/h	6 min	600 m ভাটিতে

B আগে পৌঁছান, কারণ তার পুরো বেগ আড়াআড়ি কাজে লাগে। A-র বেগের একটি অংশ খরচ হয় স্রোত ঠেকাতে, তাই আড়াআড়ি বেগ কমে যায়। সাধারণভাবে $t' = l/\sqrt{v^2-u^2}$ সবসময় $t = l/v$ -এর চেয়ে বড় (যদি $u > 0$ )।

নিজে যাচাই করো

উপরের দৌড়ে স্রোত শূন্য হলে (স্থির পানি) কী হবে?

ধাপ ৬: স্রোত নৌকার চেয়ে জোরে হলে

যদি $u \ge v$ হয় (যেমন বর্ষার খরস্রোতা নদীতে ছোট ডিঙি), তাহলে কোনো মুখেই $u + v\cos\beta$ শূন্য হয় না — ঠিক বিপরীতে পৌঁছানো অসম্ভব, নৌকা ভাটিতে নামবেই। তখন প্রশ্ন: বিচ্যুতি সবচেয়ে কম হবে কোন মুখে? উত্তর (এটি বইয়ে নেই):

\cos\beta = -\frac{v}{u}, \qquad x_{\min} = \frac{l\sqrt{u^2 - v^2}}{v}

জ্যামিতিতে: $\vec{u}$ -এর মাথাকে কেন্দ্র করে $v$ ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত আঁকো — $\vec{v}$ -এর মাথা এর যেকোনো বিন্দুতে থাকতে পারে। $\vec{w}$ সবচেয়ে খাড়া হয় যখন এটি বৃত্তের স্পর্শক (tangent), অর্থাৎ $\vec{w} \perp \vec{v}$ । যেমন $u$ = 5, $v$ = 3 km/h: β = 126.87°, আর 1 km নদীতে ন্যূনতম বিচ্যুতি $\sqrt{25-9}/3$ = 1.33 km। ধাপ ৩-এর লেখচিত্রে u = 12 বা 14 করে হলুদ বিন্দুটি দেখো।

ধাপ ৭: এবার নিজে করে দেখো

নিচের সিমুলেশনে নদীর প্রস্থ (50 m থেকে 5 km), নৌকার বেগ, স্রোত আর মুখ বদলাও। “এক নৌকা” মোডে নীল তীর নৌকার মুখ, কমলা তীর আসল চলার পথ। “দুই নৌকার দৌড়” মোডে নৌকা A ন্যূনতম পথে আর B ন্যূনতম সময়ে একসঙ্গে রওনা দেয়। লাল পতাকা (target) ঠিক বিপরীত বিন্দু। প্রতিটি পারাপার খাতায় (notebook) জমা হয় — চ্যালেঞ্জগুলো একে একে শেষ করো।

নদী পারাপার (river crossing)

মুখ ঘোরাও, স্রোত বদলাও — ন্যূনতম পথ বনাম ন্যূনতম সময়

↗

নদীর প্রস্থ (width) l 1 kmনৌকার বেগ, পানির সাপেক্ষে (boat speed) v 10 km/hস্রোতের বেগ (current) u 6 km/hমুখ, স্রোতের সাথে (heading) β 90°

লব্ধি বেগ (ground speed) w11.66 km/h

w-এর দিক, স্রোতের সাথে59.0°

সময় t = l/(v sinβ)6 min 0 s

পৌঁছানোর বিন্দু (landing)600 m ভাটিতে (downstream)

নৌকার মুখ (v, নীল) আর চলার পথ (w, কমলা) আলাদা। স্লাইডার ঠিক করে “চালাও” চাপো।

চ্যালেঞ্জ (challenges)

0/6

দৌড় (race) মোডে 1 km নদী, v = 10 km/h, u = 6 km/h দিয়ে চালাও। কোন নৌকা আগে পৌঁছায়, কত আগে?
এক মাঝি স্রোতের অনুকূলে 18 km/h আর প্রতিকূলে 6 km/h বেগে নৌকা চালায়। v আর u ঠিক করে এমন মুখ রাখো যেন নৌকা ঠিক বিপরীতে পৌঁছায়।
একজন সাঁতারু (swimmer) স্থির পানিতে 4 km/h বেগে সাঁতরায়, স্রোত 2 km/h। তাকে ঠিক বিপরীত ঘাটে পৌঁছে দাও।
1000 m নদী, নৌকা 10 km/h, মুখ স্রোতের সাথে 120°। স্রোত কত হলে নৌকা ঠিক বিপরীতে পৌঁছায়? হাতে 10 মিনিট থাকলে সময়মতো পৌঁছাবে?
4 km নদী, নৌকা 12 km/h বেগে সোজা আড়াআড়ি (90°), স্রোত 6 km/h। কত সময় লাগে, কোথায় পৌঁছায়? বইয়ের উত্তর 17.9 min — ঠিক?
স্রোতকে নৌকার চেয়ে জোরে করো (u > v)। এখন ঠিক বিপরীতে যাওয়া অসম্ভব — সবচেয়ে কম বিচ্যুতির (least drift) মুখ খুঁজে চালাও।

পর্যবেক্ষণ খাতা (observation notebook)

“চালাও” চাপলে প্রতিটি পারাপার এখানে লেখা হবে।

বই পড়ার সময় সাবধান — এই অংশের সমাধানে কয়েকটি গুরুতর ভুল আছে:

সৃজনশীল প্রশ্ন ৩ (সি.বো. 2021, পৃ. 118): 4 km নদী, নৌকা 12 km/h বেগে আড়াআড়ি মুখে, স্রোত 6 km/h। বই লিখেছে t = 4 km ÷ 13.416 km/h = 17.9 min, “সুতরাং লোকটির সাথে নৌকার সাক্ষাৎ হবে।” ভুল — প্রস্থকে লব্ধি বেগ দিয়ে ভাগ করা যায় না। সঠিক: t = 4/12 h = 20 min, আর নৌকা 2 km ভাটিতে নামে, তাই ঠিক বিপরীতে অপেক্ষমাণ লোকটির কাছে পৌঁছায় না।
সৃজনশীল প্রশ্ন ৬ (ঢা.বো. 2021, কু.বো. 2015, পৃ. 120): 36 m নদী, নৌকা 10 m/s বেগে তীরের সাথে 37° কোণে, স্রোত 3 m/s। বই BC = 47.78 m বের করেছে স্রোতকে বাদ দিয়ে। সময় t = 36/(10 sin37°) = 5.98 s ঠিক আছে, কিন্তু তীর বরাবর বেগ 10 cos37° + 3 = 10.99 m/s, তাই BC ≈ 65.7 m। (খ)-এর উত্তর 107.46° ঠিক।
গাণিতিক প্রশ্ন 14 (পৃ. 164): প্রশ্নে নদীর প্রস্থই দেওয়া নেই, তাই ছাপা উত্তর t = 10.56 min বের করা সম্ভব নয়।
শর্ত বাদ পড়েছে: sinθ = u/v আর t = l/√(v² − u²) কেবল v > u হলে খাটে। u ≥ v হলে ঠিক বিপরীতে পৌঁছানো অসম্ভব (ধাপ ৬)।
কোণের রীতি: বোর্ডের উত্তরে মুখের কোণ স্রোতের দিক থেকে মাপা হয় (“স্রোতের সাথে 120°”)। কোনটি থেকে মাপছ, উত্তরে সবসময় লিখে দাও।

ঘরে বসে পরীক্ষা: টেবিলের ওপর “চলন্ত নদী”

একটি লম্বা কাগজ (পুরোনো ক্যালেন্ডারের উল্টো পিঠ বা খবরের কাগজ জোড়া দিয়ে) টেবিলে বিছাও — এটি নদী। একটি খেলনা গাড়ির পেছনে টেপ দিয়ে একটি মার্কার কলম লাগাও যেন কলমের ডগা কাগজ ছুঁয়ে থাকে।

একজন বন্ধু কাগজটিকে একটি দিকে সমান বেগে ধীরে ধীরে টানবে — এটি স্রোত (current)। টেবিলটি হলো তীর (ground)।
টেবিলের ওপর একটি স্কেল আড়াআড়ি চেপে ধরো (স্কেলটি কাগজের সাথে সরবে না)। কাগজ টানার সময় স্কেল ঘেঁষে গাড়িটি সোজা আড়াআড়ি ঠেলো। টেবিলের সাপেক্ষে গাড়ির পথ সোজা — এটি w। কিন্তু কাগজে যে দাগ পড়ল, সেটি তেরছা, উজানের দিকে হেলানো! কাগজের দাগ মানে পানির সাপেক্ষে গতি (v) — ঠিক বিপরীতে পৌঁছাতে নৌকার মুখ উজানে রাখতে হয়।
এবার কাগজ আরও জোরে টানো। দাগ কি আরও বেশি হেলে যায়? (sinθ = u/v — u বাড়লে θ বাড়ে।)
উল্টো পরীক্ষা: বন্ধু কাগজের ওপর স্কেলটি আড়াআড়ি রেখে কাগজের সাথে একসঙ্গে টানুক, আর তুমি স্কেল ঘেঁষে গাড়ি ঠেলো। এবার কাগজে দাগ সোজা আড়াআড়ি (মুখ আড়াআড়ি), কিন্তু টেবিলে গাড়ি পৌঁছায় ভাটির দিকে সরে — শুরুর নৌকার মতো।

নিরাপত্তা: পরীক্ষাটি নিরাপদ। মার্কার যেন টেবিলে দাগ না ফেলে, তাই নিচে আরেকটি কাগজ রাখো। আসল নদী বা পুকুরে এই পরীক্ষা করতে যেয়ো না।

পরীক্ষার প্রস্তুতি

১. দেখাও যে, প্রস্থ l-এর নদীতে স্রোতের বেগ u আর নৌকার বেগ v (v > u) হলে ন্যূনতম পথে পার হতে নৌকার মুখ আড়াআড়ি রেখার সাথে উজানের দিকে θ কোণে রাখতে হবে, যেখানে sinθ = u/v, আর সময় লাগবে l/√(v² − u²)।

মুখ আড়াআড়ি রেখা থেকে উজানে θ কোণে হলে $\vec{v}$ -এর উপাংশ: উজানের দিকে $v\sin\theta$ , আড়াআড়ি $v\cos\theta$ । ন্যূনতম পথ মানে লব্ধি সোজা আড়াআড়ি, অর্থাৎ স্রোত বরাবর মোট বেগ শূন্য:

v\sin\theta - u = 0 \;\Rightarrow\; \sin\theta = \frac{u}{v}

তখন লব্ধি বেগ $w = v\cos\theta = v\sqrt{1 - u^2/v^2} = \sqrt{v^2 - u^2}$ , আর পথের দৈর্ঘ্য $l$ , তাই

t' = \frac{l}{\sqrt{v^2 - u^2}}

স্রোতের দিক থেকে মাপলে মুখের কোণ β = 90° + θ, $\cos\beta = -u/v$ । শর্ত: $v > u$ , নইলে sinθ > 1।

২. ভুলটি খুঁজে বের করো: “4 km চওড়া নদীতে নৌকা 12 km/h বেগে সোজা আড়াআড়ি চলছে, স্রোত 6 km/h। লব্ধি = √(144 + 36) = 13.416 km/h, তাই সময় = 4/13.416 h = 17.9 min, আর নৌকা ঠিক বিপরীতে অপেক্ষমাণ লোকটির কাছে পৌঁছাবে।”

দুটি ভুল। (১) প্রস্থকে লব্ধি বেগ দিয়ে ভাগ করা হয়েছে, অথচ লব্ধি বরাবর পথ 4 km নয় — তেরছা পথের দৈর্ঘ্য $\sqrt{4^2 + 2^2} = 4.47$ km। সঠিক সময় = প্রস্থ ÷ আড়াআড়ি বেগ:

t = \frac{4}{12}\ \text{h} = 20\ \text{min} \quad\left(\text{check: } \frac{4.47}{13.416}\ \text{h} = 20\ \text{min}\right)

(২) এই 20 min-এ স্রোত নৌকাকে $6 \times \tfrac{1}{3} = 2$ km ভাটিতে সরিয়ে দেয়, তাই নৌকা লোকটির কাছে পৌঁছায় না। লোকটির কাছে যেতে হলে মুখ রাখতে হতো স্রোতের সাথে $\cos\beta = -6/12$ , β = 120° কোণে; তখন সময় $4/\sqrt{144-36} = 0.385$ h = 23.1 min।

৩. 1 km চওড়া নদীতে স্রোত 6 km/h। দুই মাঝির নৌকার বেগ 10 km/h। মাঝি A ঠিক বিপরীত ঘাটে যেতে চান, মাঝি B সবচেয়ে কম সময়ে পার হতে চান। কোন মাঝি আগে পৌঁছাবেন, কত আগে? B কোথায় নামবেন?

B মুখ আড়াআড়ি রাখেন: $t_B = 1/10$ h = 6 min, বিচ্যুতি $6 \times 0.1 = 0.6$ km = 600 m ভাটিতে। A মুখ রাখেন স্রোতের সাথে $\cos\beta = -0.6$ , β = 126.87° কোণে: $t_A = 1/\sqrt{100 - 36} = 1/8$ h = 7.5 min। তাই B 1.5 min আগে পৌঁছান, কিন্তু 600 m ভাটিতে; A পৌঁছান ঠিক বিপরীত ঘাটে।

৪. স্থির পানিতে 5 km/h বেগের একটি নৌকা 1 km চওড়া নদী সোজা আড়াআড়ি পথে (ঠিক বিপরীত ঘাটে) 20 min-এ পার হয়। স্রোতের বেগ কত? নৌকার মুখ স্রোতের সাথে কত কোণে ছিল? (CUET ধরন)

লব্ধি বেগ আড়াআড়ি: $w = 1\ \text{km} / \tfrac{1}{3}\ \text{h} = 3$ km/h। ন্যূনতম পথে $w = \sqrt{v^2 - u^2}$ :

3 = \sqrt{25 - u^2} \;\Rightarrow\; u = 4\ \text{km/h}

মুখ: $\cos\beta = -u/v = -0.8 \Rightarrow \beta = 143.13°$ (স্রোতের সাথে), অর্থাৎ আড়াআড়ি রেখা থেকে উজানে 53.13°।

৫. 36 m চওড়া নদীতে একটি নৌকা পানির সাপেক্ষে 10 m/s বেগে তীরের সাথে 37° কোণে (স্রোতের দিকে হেলে) চলে, স্রোত 3 m/s। (ক) কত সময়ে পার হবে? (খ) যাত্রাবিন্দুর ঠিক বিপরীত বিন্দু থেকে কত দূরে নামবে? (গ) ঠিক বিপরীতে নামতে মুখ স্রোতের সাথে কত কোণে রাখতে হতো?

(ক) আড়াআড়ি বেগ $10\sin37° = 6.018$ m/s, তাই $t = 36/6.018 = 5.98$ s। (খ) তীর বরাবর বেগ = নৌকার উপাংশ + স্রোত = $10\cos37° + 3 = 7.986 + 3 = 10.99$ m/s। দূরত্ব $= 10.99 \times 5.98 \approx 65.7$ m ভাটিতে। (বই স্রোত বাদ দিয়ে 47.78 m লিখেছে — ভুল।) (গ) $\cos\beta = -3/10 \Rightarrow \beta = 107.46°$ ।

৬. MCQ: একটি ফেরির স্থির পানিতে বেগ 15 km/h, স্রোত 10 km/h। (ক) ঠিক বিপরীত ঘাটে যেতে মুখ স্রোতের সাথে কত কোণে রাখতে হবে? (i) 90° (ii) 120° (iii) 131.81° (iv) 138.59°। (খ) ফেরির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন সম্ভাব্য লব্ধি বেগের অনুপাত কত? (i) 1.5 (ii) 2.5 (iii) 5 (iv) 25

(ক) (iii) — $\cos\beta = -10/15 = -0.667 \Rightarrow \beta = 131.81°$ । (138.59° হতো v = 4, u = 3 হলে।) (খ) (iii) — সর্বোচ্চ লব্ধি ভাটির দিকে মুখ রাখলে $15 + 10 = 25$ , সর্বনিম্ন উজানে মুখ রাখলে $15 - 10 = 5$ km/h; অনুপাত $25/5 = 5$ ।