পাঠ ৮ / ১২অনুচ্ছেদ ২.৬.৭, ২.৭.৫–২.৭.৬

সমান্তরাল পাত ধারক ও ধারকের প্রকারভেদParallel-plate capacitor & kinds of capacitors

এই পাঠের আগে পড়ো (read first): পাঠ ৭ — ডাইইলেকট্রিক, পোলারায়ন ও ধারকত্ব

পুরোনো রেডিওর ভেতরে একটি পরিবর্তনশীল ধারক (variable capacitor) থাকে: একসেট স্থির ধাতব পাত, আর তাদের ফাঁকে ঢুকে যাওয়া আরেক সেট ঘোরানো পাত। নিচে নব ঘুরিয়ে চারটি স্টেশন খুঁজে বের করো:

টিউনিং নব (tuning knob) 40°

ধারকত্ব C112 pF

টিউন করা কম্পাঙ্ক f970 kHz

খুঁজে পাওয়া স্টেশন0/4

নব ঘোরাও (বা বাঁদিকের পাতগুলো আঙুলে টেনে ঘোরাও) — হলুদ অংশ দুই সেট পাতের মুখোমুখি অংশ। চারটি স্টেশন ক–ঘ খুঁজে বের করো।

মডেল: 40–365 pF পরিবর্তনশীল ধারক আর 240 μH কুণ্ডলী, মধ্যম তরঙ্গ (medium wave) ব্যান্ড। স্টেশনগুলো কাল্পনিক (illustrative)।

পাতগুলো একে অপরকে ছোঁয় না, মাঝে শুধু বাতাস। তাহলে শুধু পাত ঘোরালেই স্টেশন বদলায় কেন? কারণ মুখোমুখি ক্ষেত্রফল বদলালে ধারকত্ব (capacitance) বদলায়। এই পাঠে আমরা সমান্তরাল পাত ধারকের ধারকত্বের সূত্র বের করব, $C = \dfrac{\varepsilon_0 K A}{d}$ , আর দেখব বাস্তবের ধারকগুলো কীভাবে এই সূত্র কাজে লাগায়।

এই পাঠে ধাপে ধাপে এগোব:

গঠন ও ক্রিয়া — আবেশ (induction) আর ভূ-সংযুক্ত (earthed) পাত
ধারকত্বের রাশিমালা — $E = \sigma/\varepsilon_0$ , $V = Ed$ , $C = \varepsilon_0 A/d$
ধারকত্ব কিসের ওপর নির্ভর করে — $A$ , $d$ আর $K$
ডাইইলেকট্রিক পাত ঢোকানো — ব্যাটারি যুক্ত বনাম বিচ্ছিন্ন, আংশিক পাত
ডাইইলেকট্রিক ভাঙন (dielectric breakdown) আর ধারকের রেটিং
ধারকের প্রকারভেদ (kinds of capacitors)
ব্যবহার ও নিরাপত্তা
এবার নিজে করে দেখো — সমান্তরাল পাত ধারকের ভার্চুয়াল ল্যাব

ধাপ ১: গঠন ও ক্রিয়া

আগের পাঠে দেখেছ: ধারক (capacitor) হলো অন্তরক দিয়ে আলাদা করা দুটি পরিবাহী, যা আধান জমা রাখে। একটি পাতে $+Q$ আর অন্যটিতে $-Q$ থাকলে, পাত দুটির বিভব পার্থক্য (potential difference) $V$ হলে ধারকত্ব

C = \frac{Q}{V}

একক ফ্যারাড (F) = C V⁻¹। 1 F অনেক বড়, তাই কাজে লাগে μF (10⁻⁶ F), nF (10⁻⁹ F) আর pF (10⁻¹² F)।

সমান্তরাল পাত ধারক (parallel-plate capacitor) সবচেয়ে সরল ধারক: সমান ক্ষেত্রফল $A$ -এর দুটি ধাতব পাত, পরস্পর সমান্তরাল, মাঝে $d$ দূরত্ব, আর ফাঁকে বাতাস বা অন্য কোনো ডাইইলেকট্রিক (dielectric)।

পাত A একটি অন্তরক স্ট্যান্ডে বসানো; একে $+Q$ আধান দাও।
আবেশে (induction) পাশের পাত B-এর কাছের পৃষ্ঠে $-Q$ আর দূরের পৃষ্ঠে $+Q$ জমে।
পাত B ভূ-সংযুক্ত (earthed), তাই দূরের $+Q$ মাটিতে চলে যায়। B-তে শুধু $-Q$ থাকে।
পাশের $-Q$ পাত A-এর বিভব অনেক কমিয়ে দেয়। একই বিভবে তাই A-তে আরও অনেক আধান দেওয়া যায় — অর্থাৎ ধারকত্ব বেড়ে যায়। এটাই দুই পাত পাশাপাশি রাখার আসল কৌশল।

পাত দুটির মাঝে বলরেখা প্রায় সরল, সমান্তরাল আর সমান ঘন — অর্থাৎ ক্ষেত্র সুষম (uniform)। শুধু কিনারায় রেখা একটু বাঁকে, একে প্রান্ত ক্ষেত্র (fringing field) বলে।

নিজে যাচাই করো

পাত B-কে ভূ-সংযুক্ত করা হয় কেন?

ধাপ ২: ধারকত্বের রাশিমালা

পাতের ক্ষেত্রফল $A$ -এর তুলনায় দূরত্ব $d$ খুব ছোট ধরো, যাতে প্রান্ত ক্ষেত্র নগণ্য। পাতের তলমাত্রিক আধান ঘনত্ব (surface charge density)

\sigma = \frac{Q}{A}

আহিত সমতল পাতের দুই পাশে ক্ষেত্র $\sigma/2\varepsilon_0$ (গাউসের সূত্র থেকে, পাঠ ১২-এ প্রমাণ)। দুই পাতের মাঝে $+\sigma$ আর $-\sigma$ -এর ক্ষেত্র একই দিকে, তাই যোগ হয়; বাইরে বিপরীত দিকে, তাই কাটাকাটি যায়:

E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{\varepsilon_0 A} \qquad (\text{outside: } E \approx 0)

সুষম ক্ষেত্রে বিভব পার্থক্য $V = Ed$ (আগের পাঠের বিভবের ঢাল)। তাই

V = \frac{Qd}{\varepsilon_0 A} \quad\Rightarrow\quad C = \frac{Q}{V} = \frac{\varepsilon_0 A}{d}

এখানে $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}$ F m⁻¹, শূন্যস্থানের ভেদনযোগ্যতা (permittivity)। মাঝে পরাবৈদ্যুতিক ধ্রুবক (dielectric constant) $K$ -এর পদার্থ থাকলে ক্ষেত্র $K$ গুণ দুর্বল হয়, $E = \sigma/(\varepsilon_0 K)$ , তাই

C = \frac{\varepsilon_0 K A}{d} = \frac{\varepsilon A}{d}, \qquad \varepsilon = K\varepsilon_0

নিচে পাতের বাহু আর দূরত্ব বদলাও (বিভব পার্থক্য 100 V স্থির):

কমলা বলরেখার ঘনত্ব ∝ E। d কমাও — রেখা ঘন হয়, কারণ একই 100 V এখন কম দূরত্বে।

পাতের বাহু (side) 10 cmদূরত্ব d (gap) 5.0 mm

ক্ষেত্রফল A100 cm²

ধারকত্ব C17.7 pF

C/C₀ (শুরুর তুলনায়)× 1.00

প্রাবল্য E = V/d20.0 kV/m

আধান Q = CV1.77 nC

শুরু: 10 cm × 10 cm পাত, d = 5 mm, বাতাস (air), 100 V। হিসাব C = ε₀A/d দিয়ে — প্রান্ত ক্ষেত্র উপেক্ষা করা।

উদাহরণ: $A = 1.4$ m², $d = 3$ cm, মাঝে বাতাস: $C = \dfrac{8.854 \times 10^{-12} \times 1.4}{0.03} = 4.13 \times 10^{-10}$ F $= 4.13 \times 10^{-4}$ μF।

নিজে যাচাই করো

10 cm × 10 cm-এর দুটি পাত 1 mm দূরে, মাঝে বাতাস। ধারকত্ব প্রায় কত?

ধাপ ৩: ধারকত্ব কিসের ওপর নির্ভর করে

$C = \varepsilon_0 K A/d$ সূত্রটি থেকে সরাসরি পড়ে নাও:

রাশি	বদলালে	কেন
পাতের মুখোমুখি ক্ষেত্রফল $A$	$C \propto A$	একই $V$ -এ বেশি জায়গায় বেশি আধান বসে (রেডিওর টিউনিং ধারক)
পাতের দূরত্ব $d$	$C \propto 1/d$	কাছের $-Q$ পাত A-এর বিভব আরও বেশি কমায়
মাঝের পদার্থ $K$	$C \propto K$	পোলারায়ন (polarisation) ক্ষেত্র ও বিভব $K$ গুণ কমায়

ধারকত্ব নির্ভর করে না আধান $Q$ বা বিভব $V$ -এর ওপর ( $Q$ দ্বিগুণ হলে $V$ -ও দ্বিগুণ, অনুপাত একই), পাতের পুরুত্ব বা পাতের ধাতুর ওপরও না। এটি শুধু জ্যামিতি আর মাঝের পদার্থের ধর্ম।

ধারকত্ব বাড়ানোর উপায়: বড় পাত (লম্বা ফয়েল গুটিয়ে ছোট জায়গায় রাখা), খুব পাতলা ডাইইলেকট্রিক, আর উচ্চ $K$ -এর পদার্থ (সিরামিক)। কিন্তু $d$ কমালে একই ভোল্টেজে $E = V/d$ বাড়ে — একসময় ডাইইলেকট্রিক ভেঙে যায় (ধাপ ৫)।

নিজে যাচাই করো

একটি সমান্তরাল পাত ধারকের পাতের দূরত্ব অর্ধেক করা হলো আর মাঝে K = 3-এর পদার্থ ভরা হলো। নতুন ধারকত্ব আগের কত গুণ?

ধাপ ৪: ডাইইলেকট্রিক পাত ঢোকানো

পাঠ ৭-এ দেখেছ, ক্ষেত্রে রাখলে ডাইইলেকট্রিকের অণুগুলো পোলারায়িত (polarised) হয়: পাতের $+Q$ -এর দিকের পৃষ্ঠে ঋণাত্মক আর অন্য পৃষ্ঠে ধনাত্মক বাঁধা আধান (bound charge) জমে। এরা মূল ক্ষেত্রের বিপরীতে ক্ষেত্র তৈরি করে, ফলে ভেতরের ক্ষেত্র $K$ গুণ কমে। ফাঁক পুরো ভরাট করলে $C$ সবসময় $K$ গুণ হয়, কিন্তু বাকি রাশিগুলো কী হবে তা নির্ভর করে ব্যাটারি যুক্ত কি না তার ওপর:

রাশি	বিচ্ছিন্ন (isolated) — $Q$ স্থির	ব্যাটারি যুক্ত (battery connected) — $V$ স্থির
ধারকত্ব $C$	$K$ গুণ	$K$ গুণ
আধান $Q$	একই	$K$ গুণ (ব্যাটারি আরও আধান ঠেলে দেয়)
বিভব পার্থক্য $V$	$1/K$ গুণ	একই
প্রাবল্য $E$	$1/K$ গুণ	একই ( $= V/d$ )

আংশিক পাত (partial slab): $d$ ফাঁকের মধ্যে $t$ পুরুত্বের পাত থাকলে বাতাসের অংশে $E_0 = \sigma/\varepsilon_0$ , পাতের ভেতরে $E_0/K$ । তাই

V = E_0 (d - t) + \frac{E_0}{K}\, t = \frac{Q}{\varepsilon_0 A}\left(d - t + \frac{t}{K}\right) \quad\Rightarrow\quad C = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \dfrac{t}{K}}

$t = 0$ হলে $C = \varepsilon_0 A/d$ , $t = d$ হলে $C = \varepsilon_0 K A/d$ । পরিবাহী পাতের জন্য ( $K \to \infty$ ) $C = \varepsilon_0 A/(d - t)$ — যেন ফাঁকটাই $t$ পরিমাণ ছোট হয়ে গেছে।

নিচে পাত ঢোকাও, পদার্থ বদলাও, আর দুই অবস্থায় তুলনা করো:

পাতের পুরুত্ব t (slab) 0.0 mm

ধারকত্ব C8.85 pF× 1.00

আধান Q885 pC× 1.00

বিভব পার্থক্য V100 V× 1.00

E (বাতাসে, air)10.0 kV/m

E (পাতের ভেতরে)—

স্লাইডার টেনে পাত ঢোকাও। আগে “বিচ্ছিন্ন”, তারপর “ব্যাটারি যুক্ত” — দুবার করে তুলনা করো কোন রাশি স্থির থাকে।

A = 100 cm², d = 10 mm, শুরুতে 100 V-এ চার্জ করা। C = ε₀A/(d − t + t/K)। ×-সংখ্যাগুলো পাত ছাড়া শুরুর অবস্থার তুলনায়। K-মান আদর্শ নমুনার, আসল পাতে কিছুটা ভিন্ন হয়।

নিজে যাচাই করো

একটি আহিত ধারককে ব্যাটারি থেকে বিচ্ছিন্ন করে পাতের মাঝে অভ্র (K = 6) ভরা হলো। পাতের বিভব পার্থক্য কী হবে?

ধাপ ৫: ডাইইলেকট্রিক ভাঙন ও ধারকের রেটিং

যেকোনো অন্তরক একটি নির্দিষ্ট সর্বোচ্চ প্রাবল্য পর্যন্ত সহ্য করতে পারে, একে ডাইইলেকট্রিক শক্তি (dielectric strength) $E_{\max}$ বলে। এর বেশি হলে অণুর ইলেকট্রন ছিটকে বেরিয়ে পদার্থটি পরিবাহী হয়ে যায়, স্ফুলিঙ্গ হয় — একে ডাইইলেকট্রিক ভাঙন (dielectric breakdown) বলে। ভাঙন ছাড়া রাখা যায় এমন সর্বোচ্চ ভোল্টেজ

V_{\max} = E_{\max}\, d

পদার্থ	$K$ (প্রায়)	ডাইইলেকট্রিক শক্তি (MV m⁻¹, প্রায়)
শুষ্ক বাতাস (air)	1.00054	3
কাগজ (paper)	3.7	16
টেফলন (PTFE)	2.1	60
কাচ (soda-lime glass)	7	10
অভ্র (mica)	6	100–200
পানি (water), 20 °C	80.1	— (অশুদ্ধ পানি পরিবাহী)

উদাহরণ: 2 mm বাতাসের ফাঁক সহ্য করে $3 \times 10^6 \times 0.002 = 6000$ V — এর বেশি হলে স্ফুলিঙ্গ। ঠিক এজন্যই ধারকের গায়ে দুটি সংখ্যা লেখা থাকে। “0.09 μF–220 V” মানে: ধারকত্ব 0.09 μF, আর এর দুই প্রান্তে 220 V-এর বেশি বিভব পার্থক্য দেওয়া নিরাপদ নয় — বেশি দিলে ডাইইলেকট্রিক ভেঙে ধারক নষ্ট হয়ে যেতে পারে। একে কার্যকর ভোল্টেজ রেটিং (working voltage) বলে।

নিজে যাচাই করো

“0.09 μF–220 V” লেখা ধারককে 400 V সরবরাহে যুক্ত করলে কী হওয়ার আশঙ্কা?

ধাপ ৬: ধারকের প্রকারভেদ

মাঝের ডাইইলেকট্রিক অনুযায়ী ধারকের নাম। বইয়ে চার রকম আছে — পরিবর্তনশীল বায়ু, অভ্র, কাগজ আর তড়িৎ বিশ্লেষ্য — আজকের ইলেকট্রনিক্সে আরও দুটি খুব চালু: সিরামিক আর সুপারক্যাপাসিটর।

পরিবর্তনশীল বায়ু ধারক (variable air)মাঝে বাতাস; পাত ঘুরিয়ে মুখোমুখি ক্ষেত্রফল বদলায়। প্রায় 10–500 pF। রেডিও টিউনিং।

অভ্র ধারক (mica)ধাতব পাত আর অভ্রের পাতলা স্তর পরপর সাজানো। স্থিতিশীল, নির্ভুল; pF–nF। উচ্চ কম্পাঙ্কের বর্তনী।

কাগজ / ফিল্ম ধারক (paper, film)দুটি ফয়েলের মাঝে মোম-কাগজ বা প্লাস্টিক ফিল্ম, গুটিয়ে রাখা। nF থেকে কয়েক μF। ফ্যানের ধারক।

তড়িৎ বিশ্লেষ্য (electrolytic)ডাইইলেকট্রিক হলো অ্যালুমিনিয়ামের ওপর Al₂O₃-এর অতি পাতলা স্তর, তাই C বড় (μF–mF)। মেরুযুক্ত (polarised): শুধু DC; দাগের দিক = − প্রান্ত, ছোট পা।

সিরামিক ধারক (ceramic)উচ্চ K-এর সিরামিক (যেমন BaTiO₃)। ছোট, সস্তা; pF–μF। গায়ে “104” মানে 10 × 10⁴ pF = 0.1 μF।

সুপারক্যাপাসিটর (supercapacitor)সক্রিয় কার্বনের বিশাল তলে আয়নের দ্বিস্তর; কয়েক F থেকে হাজার F, কিন্তু মাত্র ~2.7 V। ঘড়ি বা মেমোরির ব্যাকআপ।

পরিবর্তনশীল বায়ু ধারক: অর্ধবৃত্তাকার পাতের দুই সেট; ঘোরালে $A$ বদলায়, তাই $C \propto A$ । হুকের রেডিও।
অভ্র ধারক: অভ্রের ডাইইলেকট্রিক শক্তি খুব বেশি, $K$ তাপমাত্রায় প্রায় বদলায় না — নির্ভুল কাজে।
কাগজ ধারক: মোম মাখানো কাগজের দুপাশে টিনের পাত বা ফয়েল, লম্বা ফালি গুটিয়ে সিলিন্ডার — বড় $A$ ছোট জায়গায়। এখন কাগজের বদলে প্লাস্টিক ফিল্ম (polypropylene) বেশি ব্যবহৃত হয়।
তড়িৎ বিশ্লেষ্য ধারক (electrolytic capacitor): অ্যালুমিনিয়ামের পাতের ওপর তড়িৎ বিশ্লেষণে তৈরি অ্যালুমিনিয়াম অক্সাইড (Al₂O₃)-এর অতি পাতলা স্তরই ডাইইলেকট্রিক। $d$ খুব ছোট বলে $C$ খুব বড়। এটি মেরুযুক্ত (polarised) — ভুল দিকে যুক্ত করলে অক্সাইড স্তর গলে যায়, তাই শুধু DC-তে, সঠিক দিক মেনে।

নিজে যাচাই করো

তড়িৎ বিশ্লেষ্য ধারকে ডাইইলেকট্রিক হিসেবে কাজ করে কোনটি?

ধাপ ৭: ব্যবহার ও নিরাপত্তা

ধারক প্রায় সব বৈদ্যুতিক যন্ত্রে আছে:

টিউনিং (tuning): রেডিও-টিভিতে কুণ্ডলীর সাথে ধারক নির্দিষ্ট কম্পাঙ্ক বেছে নেয়।
ফ্যান ও মোটর চালু করা: সিলিং ফ্যানের ধারক (যেমন 2.5 μF) মোটরের একটি কুণ্ডলীর প্রবাহকে দশায় এগিয়ে দেয়, যাতে ঘূর্ণন শুরু হয়।
DC আটকানো, AC পার করা (coupling, DC blocking): ধারকের পাতের মাঝে অন্তরক, তাই স্থির DC যায় না, পরিবর্তনশীল সংকেত যায়।
মসৃণ করা (smoothing, filtering): চার্জারে AC থেকে তৈরি ঢেউ খেলানো DC-কে সমান করে।
ক্যামেরার ফ্ল্যাশ: ধীরে চার্জ হয়, এক ঝটকায় শক্তি ছাড়ে।
টাচস্ক্রিন: আঙুল কাছে এলে পর্দার ক্ষুদ্র ধারকগুলোর ধারকত্ব বদলায়, ফোন সেটা মাপে।
মেমোরি ব্যাকআপ: বিদ্যুৎ গেলে ঘড়ি বা সেটিংস বাঁচিয়ে রাখে।

নিরাপত্তা: সুইচ বন্ধ করলেও ধারকে আধান থেকে যায় — বিচ্ছিন্ন ধারকের আধান যাওয়ার পথ নেই। তাই ফ্যান, মাইক্রোওয়েভ, পুরোনো টিভি বা কম্পিউটারের পাওয়ার সাপ্লাই প্লাগ খুলে রাখার পরেও খুলে ছোঁয়া বিপজ্জনক; বড় ধারক মারাত্মক শক দিতে পারে। মেরামত শুধু প্রশিক্ষিত মানুষ করবেন, ধারক নিরাপদে ডিসচার্জ করে।

নিজে যাচাই করো

প্লাগ খুলে ফেলার পরেও ফ্যানের রেগুলেটর বা ধারক ছুঁলে শক লাগতে পারে কেন?

ধাপ ৮: এবার নিজে করে দেখো

ভার্চুয়াল ল্যাবে একটি রেলের ওপর দুটি পাত, একটি DC সরবরাহ আর সুইচ, একটি ভোল্টমিটার আর একটি আধান মিটার আছে:

স্লাইডারে পাতের ক্ষেত্রফল, দূরত্ব $d$ (0.5–30 mm) আর সরবরাহের ভোল্টেজ বেছে নাও।
তাক থেকে একটি ডাইইলেকট্রিক পাত বেছে নাও — একটি পাত রহস্য (mystery), তার $K$ তোমাকে মেপে বের করতে হবে।
সুইচ খোলো চাপলে ধারক বিচ্ছিন্ন হয়: আধান আটকে থাকে, এরপর $d$ বা পদার্থ বদলে দেখো কী হয়।
প্রাবল্য ডাইইলেকট্রিক শক্তি ছাড়ালে স্ফুলিঙ্গ হয়! নিচের দণ্ডটি দেখায় তুমি ভাঙন সীমার কত কাছে।
মাপ লিখে রাখো চেপে পর্যবেক্ষণ খাতায় $A$ , $d$ , পদার্থ, $C$ , $V$ , $Q$ জমাও, আর ছয়টি চ্যালেঞ্জ শেষ করো।

সমান্তরাল পাত ধারকের ল্যাব

Parallel-plate capacitor lab

↗

ভোল্টমিটার (voltmeter)9.00 V

আধান মিটার (charge)399 pC

ধারকত্ব C44.3 pF

প্রাবল্য E = V/d4.50 kV/m

ভাঙন সীমার কত অংশ (E / E_max), E_max ≈ 3.00 MV/m: 0 %

পাতের ক্ষেত্রফল A 10 cm × 10 cmদূরত্ব d (gap) 2.0 mmসরবরাহ (DC supply) 9.00 V

সরবরাহ যুক্ত: V = 9.00 V স্থির, Q = CV। d, A বা পদার্থ বদলালে Q বদলায়।

রহস্য পাতের K

তোমার মাপ থেকে K = C/C₀ কত?

K (একক নেই)

চ্যালেঞ্জ (challenges)

0/6

রহস্য পাতের পরাবৈদ্যুতিক ধ্রুবক K বের করো: একই A আর d-তে বাতাস দিয়ে C₀ আর রহস্য পাত দিয়ে C মাপো, K = C/C₀ নিচের ঘরে লেখো।
উদাহরণ ২.১২ (১): A = 1.4 m², d = 3 cm, মাঝে বাতাস — ধারকত্ব কত?
উদাহরণ ২.১২ (২): A = 1.5 × 10⁶ mm², d = 2 cm, 60 V সরবরাহ যুক্ত — পাতে আধান কত?
চার্জ করে সুইচ খোলো (বিচ্ছিন্ন), তারপর d দ্বিগুণ করো। Q, V, E — কোনটি কী হলো?
বাতাস, d = 2 mm: ভোল্টেজ বাড়িয়ে একবার স্ফুলিঙ্গ (spark) ঘটাও, তারপর খুঁজে বের করো স্ফুলিঙ্গ ছাড়া সবচেয়ে বেশি কত ভোল্ট রাখা যায়।
দুটি A4 ফয়েল আর কাগজ (বা মোম-কাগজ) দিয়ে 1 nF (±5 %) ধারক বানাও। কত পুরু কাগজ লাগে?

পর্যবেক্ষণ খাতা (observation notebook)

এখনো কোনো মাপ নেই — “মাপ লিখে রাখো” চাপো।

মডেল: C = ε₀KA/d (ε₀ = 8.8541878 × 10⁻¹² F/m, প্রান্ত ক্ষেত্র উপেক্ষিত), পদার্থ পুরো ফাঁক ভরাট করে। K আর ভাঙন সীমা (dielectric strength) আদর্শ নমুনার আনুমানিক মান — আসল পাতে গ্রেড, আর্দ্রতা আর পুরুত্ব অনুযায়ী বদলায়। ছবি মাপ অনুপাতে নয় (not to scale)।

বই পড়ার সময় সাবধান — পাঠ্যবইয়ের এই অংশে কিছু ভুল আছে:

বৃত্তাকার পাতের অঙ্ক (পৃ. 124): 2 cm ব্যাসের পাত, 1 cm বাতাস, $9 \times 10^{-7}$ C থেকে $V = 3.2 \times 10^6$ V। হিসাব ঠিক ( $C = 2.78 \times 10^{-13}$ F), কিন্তু তখন $E = V/d = 3.2 \times 10^8$ V m⁻¹ — বাতাসের ভাঙন সীমার (প্রায় $3 \times 10^6$ V m⁻¹) 100 গুণ। বাস্তবে এর অনেক আগেই স্ফুলিঙ্গ হয়ে আধান চলে যেত। তা ছাড়া এখানে $d$ পাতের ব্যাসার্ধের সমান, তাই প্রান্ত ক্ষেত্র উপেক্ষা করা $C = \varepsilon_0 A/d$ সূত্রটি ভালো খাটে না।
একক (পৃ. 125): “ $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}$ m⁻¹” ছাপা — সঠিক একক F m⁻¹ (= C² N⁻¹ m⁻²)।
অনুশীলনী ২.১৫, প্রশ্ন ৭ (পৃ. 133) ও প্রশ্নব্যাংক MCQ 39–40: 12 cm² পাত, 2 mm দূরে, “2 μC আধানে 4 mV”। তথ্যগুলো পরস্পরবিরোধী: $C = \varepsilon_0 A/d = 5.31 \times 10^{-12}$ F, তাই 2 μC দিলে $V = Q/C \approx 3.8 \times 10^5$ V হতো, 4 mV নয়। যে উত্তরগুলো শুধু $V$ আর জ্যামিতি ব্যবহার করে ( $E = V/d$ ), সেগুলো ঠিক আছে, কিন্তু “2 μC” সংখ্যাটি অন্য হিসাবে ব্যবহার কোরো না।
পরাবৈদ্যুতিক ধ্রুবকের সারণি (পৃ. 119): পানির $K$ “20” ছাপা — 20 °C-এ আসল মান 80.1; বাতাসের “1.05” আসলে 1.00054। এই পাঠের সব হিসাব আসল মান দিয়ে।

ঘরে বসে পরীক্ষা: রান্নাঘরের ফয়েলের ধারক

তোমার লাগবে: অ্যালুমিনিয়াম ফয়েল, কয়েক পাতা A4 প্রিন্টার কাগজ, একটি প্লাস্টিকের ফাইল কভার বা পলিথিন, কয়েকটি ভারী বই, আর ধারকত্ব (F বা ⊣⊢ চিহ্ন) মাপা যায় এমন একটি মাল্টিমিটার (অনেক সস্তা মিটারে থাকে)।

A4 মাপের দুটি ফয়েলের পাত কাটো, প্রতিটির এক কোনায় 2 cm-এর একটি “লেজ” রাখো তার লাগানোর জন্য।
ফয়েল–কাগজ–ফয়েল স্যান্ডউইচ বানাও, লেজ দুটি উল্টো দিকে রাখো যাতে ছুঁয়ে না যায়। ওপরে বই চাপা দাও।
মিটারের দুই প্রোব দুই লেজে লাগিয়ে $C$ মাপো। কয়েক nF আসার কথা।
দুই পাতা কাগজ দাও ( $d$ দ্বিগুণ) — $C$ প্রায় অর্ধেক হয় কি? বই সরিয়ে দাও — বাতাসের ফাঁক বাড়ায় $C$ কমে কি?
কাগজের বদলে প্লাস্টিক শিট দাও, তারপর ফয়েল অর্ধেক কেটে $A$ অর্ধেক করো। প্রতিবার $C$ লিখে রাখো আর $C = \varepsilon_0 K A/d$ দিয়ে মেলাও।

নিরাপত্তা: শুধু মাল্টিমিটার দিয়ে মাপবে — ফয়েলের ধারককে কখনো বিদ্যুতের লাইন (mains) বা চার্জারে যুক্ত কোরো না। ফ্যান, মাইক্রোওয়েভ, পুরোনো টিভি বা ক্যামেরা খুলে তাদের ধারক বের করবে না: বন্ধ থাকলেও এদের ধারকে বিপজ্জনক আধান থাকতে পারে।

পরীক্ষার প্রস্তুতি

১. দেখাও যে সমান্তরাল পাত ধারকের ধারকত্ব $C = \dfrac{\varepsilon_0 K A}{d}$ । (সৃজনশীল ঘ)

উত্তর দেখো

পাতের ক্ষেত্রফল $A$ , দূরত্ব $d$ , আধান $\pm Q$ ; তলমাত্রিক আধান ঘনত্ব $\sigma = Q/A$ । প্রতিটি আহিত পাত দুই পাশে $\sigma/2\varepsilon_0 K$ ক্ষেত্র দেয়; পাতের মাঝে দুটি যোগ হয়, বাইরে কাটাকাটি যায়। তাই মাঝে সুষম ক্ষেত্র

E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 K} = \frac{Q}{\varepsilon_0 K A}

সুষম ক্ষেত্রে বিভব পার্থক্য $V = Ed = \dfrac{Qd}{\varepsilon_0 K A}$ । সুতরাং $C = \dfrac{Q}{V} = \dfrac{\varepsilon_0 K A}{d}$ । বাতাস বা শূন্যস্থানে $K \approx 1$ , $C_0 = \varepsilon_0 A/d$ , অর্থাৎ $C = K C_0$ ।

২. একটি সমান্তরাল পাত ধারকের প্রতিটি পাতের ক্ষেত্রফল 1.4 m², পাতের দূরত্ব 3 cm, মাঝে বাতাস। ধারকত্ব কত? (উদাহরণ ২.১২)

উত্তর দেখো

C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 1.4}{0.03} = 4.13 \times 10^{-10}\ \text{F} = 4.13 \times 10^{-4}\ \mu\text{F}

(CODATA মান $8.8541878 \times 10^{-12}$ দিলেও 4.132 × 10⁻¹⁰ F — তিন অঙ্কে একই।)

৩. পাতের ক্ষেত্রফল $1.5 \times 10^6$ mm², দূরত্ব 2 cm, মাঝে বাতাস। 60 V বিভব পার্থক্যে প্রতিটি পাতে কত আধান জমবে?

উত্তর দেখো

একক বদলাও: $1.5 \times 10^6\ \text{mm}^2 = 1.5 \times 10^6 \times 10^{-6}\ \text{m}^2 = 1.5$ m²; $d = 0.02$ m।

C = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 1.5}{0.02} = 6.64 \times 10^{-10}\ \text{F}, \qquad Q = CV = 6.64 \times 10^{-10} \times 60 = 3.98 \times 10^{-8}\ \text{C}

৪. একটি বায়ু ধারকের ধারকত্ব 10 pF; একে 100 V-এ চার্জ করা হলো। (ক) ব্যাটারি বিচ্ছিন্ন করে পাতের ফাঁক অভ্র (K = 6) দিয়ে পুরো ভরা হলো — $C$ , $Q$ , $V$ কত? (খ) ব্যাটারি যুক্ত রেখে একই কাজ করলে? (গ) বিচ্ছিন্ন অবস্থায় (অভ্র ছাড়া) $d$ দ্বিগুণ করলে $E$ -এর কী হবে?

উত্তর দেখো

শুরুতে $Q_0 = C_0 V_0 = 10 \times 10^{-12} \times 100 = 1 \times 10^{-9}$ C = 1 nC।

(ক) $C = 6 \times 10 = 60$ pF; $Q = 1$ nC (স্থির); $V = Q/C = 10^{-9}/(60 \times 10^{-12}) = 16.7$ V।

(খ) $C = 60$ pF; $V = 100$ V (স্থির); $Q = CV = 6 \times 10^{-9}$ C = 6 nC।

(গ) $Q$ স্থির, তাই $\sigma = Q/A$ স্থির এবং $E = \sigma/\varepsilon_0$ অপরিবর্তিত। $C$ অর্ধেক, তাই $V$ দ্বিগুণ (200 V) — $V$ আর $d$ দুটোই দ্বিগুণ, $E = V/d$ একই।

৫. (ভর্তি পরীক্ষা) 0.02 m² পাতের একটি ধারকে পাতের দূরত্ব 4 mm। মাঝে 2 mm পুরু, K = 4-এর একটি পাত রাখা হলো। ধারকত্ব কত? পাত ছাড়া কত ছিল?

উত্তর দেখো

C = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + t/K} = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 0.02}{0.004 - 0.002 + 0.002/4} = \frac{1.771 \times 10^{-13}}{0.0025} = 7.08 \times 10^{-11}\ \text{F} = 70.8\ \text{pF}

পাত ছাড়া $C_0 = 1.771 \times 10^{-13}/0.004 = 44.3$ pF। অর্থাৎ ধারকত্ব 1.6 গুণ হয়েছে — পুরো ভরা হলে হতো 4 গুণ।

৬. বহুনির্বাচনি: (ক) কোনো ধারকের ধারকত্ব বাতাসে 5 μF আর একটি ডাইইলেকট্রিক ভরলে 60 μF। পদার্থটির পরাবৈদ্যুতিক ধ্রুবক কত? (খ) “2.5 μF–400 V” লেখা ফ্যানের ধারক নষ্ট হলে দোকানে কেবল 1.25 μF–400 V আছে। দুটি কীভাবে জুড়লে কাজ চলবে? (গ) তড়িৎ বিশ্লেষ্য ধারককে AC লাইনে সরাসরি যুক্ত করা যায় না কেন?

উত্তর দেখো

(ক) $K = C/C_0 = 60/5 = 12$ ।

(খ) দুটিকে সমান্তরালে (parallel) জুড়তে হবে: সমান্তরালে মুখোমুখি ক্ষেত্রফল যোগ হয়, $C = 1.25 + 1.25 = 2.5$ μF, আর প্রতিটির ওপর একই ভোল্টেজ, রেটিংয়ের মধ্যে (পাঠ ৯-এ বিস্তারিত)।

(গ) এটি মেরুযুক্ত: Al₂O₃ স্তর কেবল একটি দিকের ভোল্টেজে টিকে থাকে। AC-তে অর্ধেক সময় দিক উল্টে যায়, তখন স্তর ভেঙে প্রবাহ চলে, ধারক গরম হয়ে ফুলে বা ফেটে যেতে পারে।