পাঠ ৯ / ১২অনুচ্ছেদ ২.৭–২.৭.২

ধারকের শ্রেণি ও সমান্তরাল সমবায়Series & parallel combinations of capacitors

এই পাঠের আগে পড়ো (read first): পাঠ ৮ — সমান্তরাল পাত ধারক ও ধারকের প্রকারভেদ

দুটি একই রকম 2 μF ধারক (capacitor) আর একটি 12 V ব্যাটারি। সুইচ দিয়ে সংযোগটা বদলাও আর ডান পাশের “চার্জের বালতি” দেখো:

ব্যাটারি থেকে মোট চার্জ12 μC

প্রতিটির বিভব পার্থক্য V₁, V₂6 V, 6 V

তুল্য ধারকত্ব (equivalent)1 μF

শ্রেণিতে প্রতিটি বালতি মাত্র এক-চতুর্থাংশ ভরেছে (12 μC), আর ব্যাটারি থেকে এসেছে মোট 12 μC। সুইচ বদলে দেখো।

একই ধারক, একই ব্যাটারি — অথচ সমান্তরালে ব্যাটারি চার গুণ চার্জ দিল। কোন সংযোগে বেশি চার্জ জমে, আর কেন? এই পাঠে ধাপে ধাপে উত্তর বের করব:

তুল্য ধারকত্ব (equivalent capacitance) কাকে বলে
শ্রেণি সমবায় (series combination): একই চার্জ, বিভব ভাগ হয়
সমান্তরাল সমবায় (parallel combination): একই বিভব, চার্জ যোগ হয়
$n$ টি সমান ধারক: $C_p/C_s = n^2$
$C_s$ আর $C_p$ জানলে ধারক দুটি বের করা (দ্বিঘাত সমীকরণ, quadratic equation)
মিশ্র বর্তনী (mixed network): নোড (node) চিনে ধাপে ধাপে কমানো
আহিত ধারক জোড়া দেওয়া: সাধারণ বিভব (common potential)
শ্রেণিতে রোধ (resistor) থাকলে কী বদলায়
এবার নিজে করে দেখো — ধারক বর্তনী নির্মাতা (capacitor circuit builder)

ধাপ ১: তুল্য ধারকত্ব

আগের পাঠগুলো থেকে মনে করো (ধারকত্ব ও ডাইইলেকট্রিক, সমান্তরাল পাত ধারক): একটি ধারকের এক পাতে $+Q$ আর অন্য পাতে $-Q$ চার্জ (আধান) থাকে, পাত দুটির বিভব পার্থক্য (potential difference) $V$ হলে

C = \frac{Q}{V}

একক ফ্যারাড (farad), $1\ \text{F} = 1\ \text{C V}^{-1}$ । বাস্তবের ধারক অনেক ছোট — μF ( $10^{-6}$ F), nF ( $10^{-9}$ F), pF ( $10^{-12}$ F)।

অনেক সময় দরকারি মানের ধারক হাতে থাকে না; তখন কয়েকটি ধারক জুড়ে কাজ চালানো হয়। জোড়া পুরো দলটিকে ব্যাটারি একটি মাত্র ধারকের মতো “দেখে”: যে একটি ধারক একই বিভব পার্থক্যে ব্যাটারি থেকে একই মোট চার্জ নেয়, তার ধারকত্বই দলটির তুল্য ধারকত্ব $C = Q_{\text{total}}/V$ ।

হুকের হিসাবে: শ্রেণিতে ব্যাটারি দিল 12 μC, তাই তুল্য ধারকত্ব $12/12 = 1$ μF; সমান্তরালে দিল 48 μC, তুল্য $48/12 = 4$ μF।

নিজে যাচাই করো

একটি ধারক-দলকে 10 V ব্যাটারিতে জুড়লে ব্যাটারি থেকে মোট 50 μC চার্জ যায়। দলটির তুল্য ধারকত্ব কত?

ধাপ ২: শ্রেণি সমবায় — একই চার্জ, বিভব ভাগ

ধারকগুলো যখন একটির পরে আরেকটি একই পথে জোড়া থাকে (প্রথমটির দ্বিতীয় পাত দ্বিতীয়টির প্রথম পাতে), তাকে শ্রেণি সমবায় (series combination) বলে।

শ্রেণি সমবায় (series combination): ব্যাটারি প্রথম পাতে +Q দেয়; আবেশে (induction) পরের প্রতিটি পাতে পালাক্রমে −Q, +Q আসে। তাই সব ধারকে একই চার্জ, বিভব পার্থক্য ভাগ হয়।

ব্যাটারি প্রথম পাতে $+Q$ দেয়। সেই চার্জ আবেশ (induction)-এ প্রথম ধারকের অন্য পাতে $-Q$ টানে।
প্রথম ধারকের ডান পাত, তার আর দ্বিতীয় ধারকের বাঁ পাত মিলে একটি বিচ্ছিন্ন পরিবাহী — বাইরে থেকে কোনো চার্জ আসেনি, তাই এর নিট চার্জ শূন্য। এক প্রান্তে $-Q$ জমলে অন্য প্রান্তে ঠিক $+Q$ । এভাবে শেষ পর্যন্ত প্রতিটি ধারকে একই চার্জ $Q$ ।
প্রতিটির বিভব পার্থক্য $V_i = Q/C_i$ , আর এগুলো যোগ হয়ে ব্যাটারির বিভব:

V = V_1 + V_2 + V_3 = Q\left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}\right)

$V = Q/C_s$ বসালে

\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} + \cdots

দুটি ধারকের জন্য $C_s = \dfrac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ (গুণফল ÷ যোগফল)। দুটি জরুরি ফল:

$C_s$ সবচেয়ে ছোট ধারকটির চেয়েও ছোট — শ্রেণিতে জুড়লে কার্যত পাতের দূরত্ব বাড়ে।
একই $Q$ -এর জন্য $V_i = Q/C_i$ , তাই ছোট ধারকে বড় বিভব পার্থক্য পড়ে।

স্লাইডার নেড়ে দেখো — বিভবের দণ্ডগুলো কীভাবে ভাগ হয়:

C₁ = 2 μFC₂ = 3 μFC₃ = 4 μFV = 12 V

তুল্য ধারকত্ব C_s0.9231 μFসবচেয়ে ছোট (2 μF)-এর চেয়েও কম

V₁ + V₂ + V₃12 V= ব্যাটারির বিভব

সবচেয়ে বেশি বিভব পার্থক্য পেয়েছে C₁ (2 μF) — একই Q-এর জন্য V = Q/C, তাই ছোট ধারকে বড় বিভব।

নিজে যাচাই করো

1 μF আর 4 μF ধারক শ্রেণিতে 10 V ব্যাটারিতে জোড়া। কোনটির দুই প্রান্তে বিভব পার্থক্য বেশি?

ধাপ ৩: সমান্তরাল সমবায় — একই বিভব, চার্জ যোগ

সব ধারকের এক দিকের পাত একটি তারে আর অন্য দিকের পাত আরেকটি তারে জোড়া থাকলে তাকে সমান্তরাল সমবায় (parallel combination) বলে।

সমান্তরাল সমবায় (parallel combination): সব বাঁ/ওপরের পাত একই তারে, সব নিচের পাত আরেক তারে — তাই প্রতিটিতে একই V। চার্জ ধারকত্বের অনুপাতে ভাগ হয়।

প্রতিটি ধারকের দুই পাত সরাসরি ব্যাটারির দুই প্রান্তে, তাই সবগুলোতে একই বিভব পার্থক্য $V$ ।
চার্জ $Q_i = C_i V$ — বড় ধারকে বেশি চার্জ। ব্যাটারি থেকে মোট চার্জ $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = (C_1 + C_2 + C_3)V$ ।

C_p = C_1 + C_2 + C_3 + \cdots

সমান্তরালে জুড়লে কার্যত পাতের ক্ষেত্রফল (area) বাড়ে, তাই ধারকত্ব যোগ হয়; $C_p$ সবচেয়ে বড় ধারকের চেয়েও বড়। হুকের উত্তর এখানেই: সমান্তরালে প্রতিটি ধারক পুরো 12 V পায়, শ্রেণিতে পায় অর্ধেক — আর ব্যাটারির কাছে শ্রেণি দলটি 1 μF, সমান্তরাল দলটি 4 μF।

নিজে যাচাই করো

400 pF আর 600 pF ধারক সমান্তরালে। তুল্য ধারকত্ব আর চার্জের অনুপাত Q₁ : Q₂ কত?

ধাপ ৪: $n$ টি সমান ধারক

$n$ টি ধারক, প্রতিটির ধারকত্ব $C$ :

C_s = \frac{C}{n}, \qquad C_p = nC, \qquad \frac{C_p}{C_s} = n^2

ধারকের সংখ্যা $n$	$C_s$	$C_p$	$C_p : C_s$
2	$C/2$	$2C$	4 : 1
3	$C/3$	$3C$	9 : 1
4	$C/4$	$4C$	16 : 1

বোর্ড পরীক্ষায় প্রায়ই আসে: “দুটি সমান ধারকের সমান্তরাল তুল্য ধারকত্ব শ্রেণি তুল্যের চার গুণ দেখাও” — উপরের সূত্রে $n = 2$ বসালেই হলো।

নিজে যাচাই করো

চারটি সমান ধারক শ্রেণিতে জুড়লে তুল্য ধারকত্ব 0.5 μF। এদের সমান্তরালে জুড়লে কত হবে?

ধাপ ৫: $C_s$ আর $C_p$ থেকে ধারক দুটি

দুটি অজানা ধারকের শ্রেণি আর সমান্তরাল তুল্য জানা থাকলে:

C_1 + C_2 = C_p, \qquad C_1 C_2 = C_s(C_1 + C_2) = C_s C_p

তাই $C_1$ আর $C_2$ হলো এই দ্বিঘাত সমীকরণের দুই মূল (roots):

C^2 - C_p\,C + C_s C_p = 0 \;\Rightarrow\; C = \frac{C_p \pm \sqrt{C_p^2 - 4C_sC_p}}{2}

বাস্তব মূলের জন্য $C_p^2 \ge 4C_sC_p$ , অর্থাৎ $C_p/C_s \ge 4$ — দুটি ধারকের বেলায় সমান্তরাল সবসময় শ্রেণির অন্তত চার গুণ (সমান হলে ঠিক চার গুণ)। লেখচিত্রে মূল দুটি কোথায় অক্ষ ছেদ করে দেখো:

C_p = 5 μFC_s = 1.2 μF

C₁ + C₂ = 5 আর C₁C₂ = C_s·C_p = 6। মূল দুটি: C₁ = 3 μF, C₂ = 2 μF। যাচাই: এদের শ্রেণি তুল্য 1.2 μF।

$C_p = 5$ μF, $C_s = 1.2$ μF হলে $C^2 - 5C + 6 = 0$ , অর্থাৎ $(C - 3)(C - 2) = 0$ — ধারক দুটি 3 μF ও 2 μF।

নিজে যাচাই করো

দুটি ধারকের সমান্তরাল তুল্য 10 μF আর শ্রেণি তুল্য 2.1 μF। ধারক দুটি কত?

ধাপ ৬: মিশ্র বর্তনী — নোড চিনে কমাও

জটিল বর্তনীতে সরাসরি সূত্র বসানো যায় না। নিয়মটি হলো:

নোড (node) চিহ্নিত করো। যে বিন্দুগুলো শুধু তার দিয়ে (মাঝে কোনো ধারক নেই) যুক্ত, তারা একই বিভবে — একটিই নোড। একই নোডে একই নাম বা রং দাও।
দুটি ধারকের দুই প্রান্ত যদি একই দুই নোডে থাকে, তারা সমান্তরালে — যোগ করো।
একটি নোডে যদি শুধু দুটি ধারক মেলে (আর কিছু না), তারা শ্রেণিতে — গুণফল ÷ যোগফল।
প্রতিবার নতুন নকশা আঁকো, যতক্ষণ না একটি ধারক বাকি থাকে।

মিশ্র বর্তনী কমানোর প্রথম কাজ: শুধু তার দিয়ে জোড়া বিন্দুগুলোকে একটি নোড (node) ধরা। এখানে নিচের পুরো তার আর ডান কোণ B; বাঁয়ের খাড়া ধারকটি সরাসরি A ও B-এর মাঝে, তাই ওপরের তিনটির শ্রেণি সমবায়ের সাথে সমান্তরালে।

সেতু বর্তনী (bridge circuit): A থেকে দুটি পথ B-তে গেছে — A→X→B পথে $C_1, C_2$ , A→Y→B পথে $C_3, C_4$ — আর X ও Y-এর মাঝে পঞ্চম ধারক $C_5$ । যদি $\dfrac{C_1}{C_2} = \dfrac{C_3}{C_4}$ হয়, তাহলে X আর Y একই বিভবে থাকে; $C_5$ -এ কোনো চার্জ জমে না, তাকে বাদ দিয়ে হিসাব করা যায় (সুষম সেতু, balanced bridge)। সুষম না হলে সাধারণ শ্রেণি-সমান্তরাল দিয়ে কমে না — তখন প্রতিটি নোডে চার্জ সংরক্ষণ (charge conservation) লিখে সমীকরণ সমাধান করতে হয়। নিচের সিমুলেশনটি ঠিক এই কাজটিই করে।

নিজে যাচাই করো

তিনটি সমান ধারক C শ্রেণিতে, আর তাদের দুই প্রান্তে আরেকটি C সমান্তরালে। তুল্য ধারকত্ব কত?

ধাপ ৭: আহিত ধারক জোড়া দেওয়া — সাধারণ বিভব

$C_1$ ধারক $V_1$ বিভবে আর $C_2$ ধারক $V_2$ বিভবে আহিত। ব্যাটারি খুলে এদের তার দিয়ে জোড়া দিলে চার্জ বইবে যতক্ষণ না দুটির বিভব সমান হয় — এই শেষ বিভবই সাধারণ বিভব (common potential)। জোড়া দুটি পাত মিলে একটি বিচ্ছিন্ন পরিবাহী, তাই মোট চার্জ সংরক্ষিত থাকে:

সমধর্মী পাত (like plates) জোড়া (+ এর সাথে +): মোট চার্জ $C_1V_1 + C_2V_2$

V = \frac{C_1V_1 + C_2V_2}{C_1 + C_2}

বিপরীত পাত (unlike plates) জোড়া (+ এর সাথে −): চার্জ কাটাকাটি হয়

V = \frac{C_1V_1 - C_2V_2}{C_1 + C_2}

উদাহরণ: 2 μF @ 18 V আর 3 μF @ 8 V সমধর্মী পাতে → $V = \dfrac{36 + 24}{5} = 12$ V; বিপরীত পাতে → $\dfrac{36 - 24}{5} = 2.4$ V। জোড়ার সময় কিছু শক্তি তাপে খরচ হয় — সেই হিসাব পাঠ ১০-এ।

নিজে যাচাই করো

4 μF ধারক 10 V-এ আহিত; একটি অনাহিত 1 μF ধারকের সাথে জোড়া দেওয়া হলো। সাধারণ বিভব কত?

ধাপ ৮: শ্রেণিতে রোধ থাকলে

ধারকের সাথে শ্রেণিতে একটি রোধ (resistor) $R$ বসালে ব্যাটারি থেকে চার্জ ধীরে আসে — আহিত হতে সময় লাগে, প্রায় কয়েক গুণ $RC$ (সময় ধ্রুবক, time constant)। কিন্তু শেষে কোনো প্রবাহ (current) থাকে না, তাই রোধে বিভব পতন $IR = 0$ , আর ধারকের দুই প্রান্তে পুরো $V$ । ফলে চূড়ান্ত চার্জ $Q = CV$ — রোধ থাকুক বা না থাকুক, একই। রোধ শুধু সময় বদলায়, চূড়ান্ত চার্জ নয়।

নিজে যাচাই করো

10 μF ধারক 12 V ব্যাটারিতে প্রথমে সরাসরি, পরে 1 kΩ রোধের মাধ্যমে আহিত করা হলো। পূর্ণ আহিত অবস্থায় চার্জ কত?

ধাপ ৯: এবার নিজে করে দেখো

নিচের ব্রেডবোর্ডে (breadboard) 4 × 3টি বিন্দু, তাদের মাঝে ড্যাশ দেওয়া ঘর। বাঁয়ের ব্যাটারির + প্রান্ত A, − প্রান্ত B।

ধারক (capacitor) বেছে মান ঠিক করো, তারপর যেকোনো ঘরে ছোঁও — ধারক বসবে। তার (wire) দিয়ে পথ বানাও, মুছো (erase) দিয়ে সরাও। উপরের বোতামগুলো বইয়ের বর্তনী এক ছোঁয়ায় সাজায়।
নিচের সারণিতে প্রতিটি ধারকের $C$ , $Q$ আর $V$ — প্রতিটি নোডে চার্জ সংরক্ষণ থেকে হিসাব করা। খাতায় লেখো চাপলে পর্যবেক্ষণ খাতায় (observation notebook) যাবে।
নোড মাপো (node): একই রঙের বিন্দু তার দিয়ে যুক্ত, অর্থাৎ একই নোড। যেকোনো দুটি বিন্দু ছুঁয়ে তাদের মাঝের তুল্য ধারকত্ব দেখো।
ভাগাভাগি (sharing) ট্যাবে দুটি আহিত ধারক সমধর্মী বা বিপরীত পাতে জোড়া দাও।

সব চ্যালেঞ্জ শেষ করো — প্রতিটির নিচে “কেন” ব্যাখ্যা খুলবে। হিসাব আগে খাতায় করে তারপর সিমুলেশনে মিলিয়ে দেখো।

ধারক বর্তনী নির্মাতা

capacitor circuit builder

↗

তুল্য ধারকত্ব A–B (Cₜ)8 μF

ব্যাটারি থেকে চার্জ320 μC

খালি (ড্যাশ) ঘরে ছুঁয়ে বেছে নেওয়া জিনিসটি বসাও। ব্যাটারির + প্রান্ত A, − প্রান্ত B।

ধারক	C (μF)	Q (μC)	V (V)
C₁	12	320	26.67
C₂	24	320	13.33

চ্যালেঞ্জ (challenges)

0/6

12 μF ও 24 μF শ্রেণিতে 40 V-এ জোড়ো। প্রতিটির চার্জ কত?
2, 3, 4 μF শ্রেণিতে 220 V-এ জোড়ো; কোনটি সবচেয়ে বেশি বিভব পায়?
চারটি 2 μF ধারক দিয়ে 5 μF বানাও (MCQ 32)।
দুটি ধারকের C_p = 5 μF ও C_s = 1.2 μF। ধারক দুটি খুঁজে, একবার শ্রেণিতে আর একবার সমান্তরালে জুড়ে যাচাই করো। (0/2)
তিনটি 2 μF শ্রেণিতে, তার সাথে আরেকটি 2 μF সমান্তরালে — তুল্য ধারকত্ব মাপো (নোড মোডে দুই প্রান্ত ছোঁয়াও চলবে)।
“ভাগাভাগি” ট্যাবে: 2 μF @ 18 V আর 3 μF @ 8 V সমধর্মী পাতে জোড়ো; তারপর 2 pF ও 6 pF (5000 V-এ শ্রেণিতে আহিত) জোড়ো। (0/2)

পর্যবেক্ষণ খাতা (observation notebook)

এখনও কিছু লেখা হয়নি — “খাতায় লেখো” বা “জোড়া দাও” চাপো।

বই পড়ার সময় সাবধান — পাঠ্যবইয়ের এই অংশে আর প্রশ্নব্যাংকে কয়েকটি ভুল আছে:

পৃ. 128, উদাহরণ 2.13 (২ নং): প্রশ্নে লেখা “শ্রেণি ও সমান্তরাল সমবায়ের তুল্য ধারকত্ব যথাক্রমে 5 μF ও 1.2 μF” — অসম্ভব, কারণ শ্রেণি তুল্য সবসময় ছোট। সমাধানে (ঠিকভাবে) নেওয়া হয়েছে $C_p = 5$ μF, $C_s = 1.2$ μF → 3 μF ও 2 μF। উপরের লেখচিত্রে “বইয়ের ছাপা মান” বোতাম চেপে দেখো।
প্রশ্নব্যাংক MCQ 113 (পৃ. 172): 2 pF ও 6 pF শ্রেণিতে 5000 V-এ আহিত করে খুলে সমান্তরালে জোড়া — উত্তরমালায় 2222 V, যা ভুল। প্রতিটিতে $Q = C_sV = 1.5\ \text{pF} \times 5000\ \text{V} = 7.5$ nC; সমধর্মী পাত জোড়া দিলে $V = 15\ \text{nC} / 8\ \text{pF} = 1875$ V, বিপরীত পাতে 0 V। কোনো বিকল্পই ঠিক নয়।
প্রশ্নব্যাংক MCQ 8 (পৃ. 162): বিকল্প (খ) 1 : 7.2 আর (ঘ) 0.138 : 1 আসলে একই অনুপাত — দুটি বিকল্পই সঠিক। উত্তরমালার (খ) ভুল নয়, কিন্তু প্রশ্নটি ত্রুটিপূর্ণ।

ঘরে বসে পরীক্ষা: মাল্টিমিটারে সমবায় মাপা

শুধু যদি ধারকত্ব (capacitance) মাপার রেঞ্জসহ একটি ডিজিটাল মাল্টিমিটার (multimeter) থাকে:

দোকান থেকে দুটি নতুন 100 nF সিরামিক ধারক (ceramic capacitor, গায়ে “104” লেখা) আর একটি ছোট ব্রেডবোর্ড নাও।
মিটারের ধারকত্ব রেঞ্জে প্রতিটির মান আলাদা মাপো (সহনশীলতা, tolerance, প্রায় ±10–20%, তাই ঠিক 100 আসবে না)।
দুটিকে পাশাপাশি সারিতে (সমান্তরালে) বসিয়ে মাপো — প্রায় 200 nF।
এক প্রান্ত জোড়া দিয়ে শ্রেণিতে বসিয়ে মুক্ত দুই প্রান্তে মাপো — প্রায় 50 nF।
আলাদা মাপা মান দিয়ে $C_1 + C_2$ আর $C_1C_2/(C_1 + C_2)$ হিসাব করে মেপে পাওয়া মানের সাথে মেলাও।

নিরাপত্তা: শুধু নতুন, কম মানের ধারক আর মিটারের নিজের ব্যাটারি ব্যবহার করো। কখনো বিদ্যুতের লাইন (mains), মশা মারার ব্যাট বা স্টান-যন্ত্রে হাত দেবে না। ফ্যান, টিভি, মাইক্রোওভেন বা চার্জার খুলে ধারক বের করবে না — প্লাগ খোলার পরেও তাদের ধারকে বিপজ্জনক চার্জ থাকতে পারে।

পরীক্ষার প্রস্তুতি

১. (ক) শ্রেণি সমবায়ের তুল্য ধারকত্বের রাশিমালা প্রতিপাদন করো। (খ) দেখাও যে দুটি সমান ধারকের সমান্তরাল তুল্য ধারকত্ব শ্রেণি তুল্যের 4 গুণ, আর চারটির বেলায় 16 গুণ। (ঢা.বো. 2008 ধরনের)

উত্তর দেখো

(ক) শ্রেণিতে আবেশের কারণে প্রতিটি ধারকে একই চার্জ $Q$ ; বিভব পার্থক্যগুলো যোগ হয়: $V = V_1 + V_2 + \cdots = Q\left(\dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + \cdots\right)$ । তুল্য ধারক $C_s$ একই $Q$ নেয় একই $V$ -এ, তাই $V = Q/C_s$ , অর্থাৎ $\dfrac{1}{C_s} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + \cdots$ ।

(খ) $n$ টি সমান ধারক $C$ : $C_s = C/n$ , $C_p = nC$ , তাই $C_p/C_s = n^2$ । $n = 2$ → 4 গুণ; $n = 4$ → 16 গুণ।

২. 12 μF ও 24 μF ধারক শ্রেণিতে 40 V উৎসে যুক্ত। তুল্য ধারকত্ব, প্রতিটির চার্জ ও বিভব পার্থক্য নির্ণয় করো। (উদাহরণ 2.13 ধরনের)

উত্তর দেখো

$C_s = \dfrac{12 \times 24}{12 + 24} = 8$ μF। $Q = C_sV = 8\times10^{-6} \times 40 = 3.2\times10^{-4}$ C — দুটিতেই একই।

$V_1 = Q/C_1 = \dfrac{3.2\times10^{-4}}{12\times10^{-6}} = 26.67$ V, $\;V_2 = \dfrac{3.2\times10^{-4}}{24\times10^{-6}} = 13.33$ V। যাচাই: $26.67 + 13.33 = 40$ V।

৩. 2 μF, 3 μF ও 4 μF ধারক শ্রেণিতে 220 V সরবরাহে যুক্ত। প্রতিটির দুই প্রান্তে বিভব পার্থক্য কত?

উত্তর দেখো

$\dfrac{1}{C_s} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{13}{12}$ , তাই $C_s = \dfrac{12}{13} = 0.923$ μF।

$Q = C_sV = \dfrac{12}{13}\times10^{-6} \times 220 = 2.031\times10^{-4}$ C।

$V_1 = \dfrac{Q}{2\ \mu\text{F}} = 101.5$ V, $\;V_2 = \dfrac{Q}{3\ \mu\text{F}} = 67.7$ V, $\;V_3 = \dfrac{Q}{4\ \mu\text{F}} = 50.8$ V (যোগফল 220 V)। সবচেয়ে ছোট ধারকে সবচেয়ে বেশি বিভব।

৪. দুটি ধারকের সমান্তরাল ও শ্রেণি সমবায়ের তুল্য ধারকত্ব যথাক্রমে 5 μF ও 1.2 μF। ধারক দুটির মান নির্ণয় করো। এ দুটিকে শ্রেণিতে 10 V-এ জুড়লে কোনটিতে কত বিভব পড়বে?

উত্তর দেখো

$C_1 + C_2 = 5$ , $C_1C_2 = C_sC_p = 6$ → $C^2 - 5C + 6 = 0$ → $C_1 = 3$ μF, $C_2 = 2$ μF।

শ্রেণিতে 10 V-এ: $Q = 1.2 \times 10 = 12$ μC। 3 μF-এ $12/3 = 4$ V, 2 μF-এ $12/2 = 6$ V।

৫. (MCQ ধরনের) (ক) তিনটি সমান ধারক $C$ শ্রেণিতে জুড়ে তার সাথে আরেকটি $C$ সমান্তরালে দিলে তুল্য ধারকত্ব কত? (খ) চারটি 2 μF ধারক দিয়ে কীভাবে 5 μF পাবে? (গ) 400 pF ও 600 pF সমান্তরালে থাকলে তুল্য ধারকত্ব ও চার্জের অনুপাত কত?

উত্তর দেখো

(ক) $C/3 + C = 4C/3$ ।

(খ) দুটি 2 μF শ্রেণিতে (= 1 μF), তার সাথে বাকি দুটি সমান্তরালে: $1 + 2 + 2 = 5$ μF।

(গ) $C_p = 1000$ pF $= 10^{-9}$ F; একই বিভবে $Q_1 : Q_2 = 400 : 600 = 2 : 3$ ।

৬. একটি 2 μF ধারক 18 V-এ এবং একটি 3 μF ধারক 8 V-এ আহিত। (ক) সমধর্মী পাত জোড়া দিলে সাধারণ বিভব কত? (খ) কত চার্জ এক ধারক থেকে অন্যটিতে গেল? (গ) বিপরীত পাত জোড়া দিলে সাধারণ বিভব কত? (ঘ) ধারকের সাথে শ্রেণিতে একটি রোধ রেখে জোড়া দিলে (ক)-এর উত্তর কি বদলাবে?

উত্তর দেখো

(ক) $V = \dfrac{2\times18 + 3\times8}{2 + 3} = \dfrac{60}{5} = 12$ V।

(খ) আগে 2 μF-এ 36 μC, পরে $2\times12 = 24$ μC; তাই 12 μC চার্জ 2 μF থেকে 3 μF-এ গেছে (3 μF-এ 24 → 36 μC)।

(গ) $V = \dfrac{36 - 24}{5} = 2.4$ V।

(ঘ) না। রোধ শুধু চার্জ বইতে সময় বাড়ায়; শেষে প্রবাহ শূন্য, রোধে বিভব পতন শূন্য, তাই সাধারণ বিভব একই 12 V। (তবে রোধে তাপ হিসেবে শক্তি খরচ হয় — পাঠ ১০।)

ধারকের শ্রেণি ও সমান্তরাল সমবায়Series & parallel combinations of capacitors

ধাপ ১: তুল্য ধারকত্ব

ধাপ ২: শ্রেণি সমবায় — একই চার্জ, বিভব ভাগ

ধাপ ৩: সমান্তরাল সমবায় — একই বিভব, চার্জ যোগ

ধাপ ৪: nnnটি সমান ধারক

ধাপ ৫: CsC_sCs​ আর CpC_pCp​ থেকে ধারক দুটি

ধাপ ৬: মিশ্র বর্তনী — নোড চিনে কমাও

ধাপ ৭: আহিত ধারক জোড়া দেওয়া — সাধারণ বিভব

ধাপ ৮: শ্রেণিতে রোধ থাকলে

ধাপ ৯: এবার নিজে করে দেখো

চ্যালেঞ্জ (challenges)

পর্যবেক্ষণ খাতা (observation notebook)

ঘরে বসে পরীক্ষা: মাল্টিমিটারে সমবায় মাপা

পরীক্ষার প্রস্তুতি

ধাপ ৪: $n$ টি সমান ধারক

ধাপ ৫: $C_s$ আর $C_p$ থেকে ধারক দুটি