পাঠ ৯ / ১৩অনুচ্ছেদ ২.১০.২

ভেক্টর (ক্রস) গুণন: ডান হাতি স্ক্রু, টর্ক ও ক্ষেত্রফল (3D)Vector (cross) product: right-hand rule, torque & area

এই পাঠের আগে পড়ো (read first): পাঠ ৮ — স্কেলার (ডট) গুণন: অভিক্ষেপ, কোণ ও কাজ

দরজার হাতল সবসময় কবজা (hinge) থেকে সবচেয়ে দূরের কিনারায় থাকে কেন? নিচের দরজাটি ওপর থেকে দেখছ। কবজার কাছে, মাঝখানে আর হাতলে — একই 20 N বলে ঠেলে দেখো। তারপর বলটিকে ঘুরিয়ে সোজা কবজার দিকে (θ = 180°) ঠেলো:

দরজার সাথে বলের কোণ θ (angle):90°

খোলার কোণ (opened): 0°

একটি সাদা বিন্দুতে (বা নিচের বোতামে) ঠেলার জায়গা বাছো, কোণ ঠিক করো, তারপর ঠেলো।

একই বল, অথচ দরজা কখনো অনেকখানি ঘোরে, কখনো একটুও না। আর বেগুনি তীরটি — টর্ক (torque) — শুয়ে নেই, খাড়া দাঁড়িয়ে আছে কবজার অক্ষ বরাবর, বল আর দূরত্ব দুটোরই লম্ব দিকে। দুটি ভেক্টর থেকে তৃতীয় একটি ভেক্টর, যা দুটোরই লম্ব — এই গুণের নাম ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন (vector / cross product)।

এই পাঠে ধাপে ধাপে এগোব:

সংজ্ঞা (definition) আর ডান হাতি স্ক্রু নিয়ম (right-hand screw rule)
মান = সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল (area of parallelogram)
ক্রস গুণনের ধর্ম — অবিনিময়যোগ্য (anti-commutative), সমান্তরাল শর্ত
একক ভেক্টরের ক্রস গুণন: $\hat{i}\times\hat{j}=\hat{k}$
উপাংশ থেকে নির্ণায়ক (determinant) পদ্ধতি
একক লম্ব ভেক্টর (unit normal) আর সমান্তরালতার শর্ত
পদার্থবিজ্ঞানে ক্রস গুণন — টর্ক, কৌণিক ভরবেগ, কৌণিক বেগ, ক্ষেত্র ভেক্টর
কাজের কিছু অভেদ (identities)
এবার নিজে করে দেখো — ক্রস গুণন 3D ল্যাব

ধাপ ১: সংজ্ঞা আর ডান হাতি স্ক্রু নিয়ম

আগের পাঠে ডট গুণন (dot product) শিখেছ: $\vec{A}\cdot\vec{B} = AB\cos\alpha$ — ফল একটি সংখ্যা, স্কেলার। কিন্তু দরজার টর্কের মতো রাশির জন্য এমন গুণ দরকার যার ফল ভেক্টর। সংজ্ঞা:

\vec{A}\times\vec{B} = AB\sin\alpha\;\hat{n}

$\alpha$ হলো $\vec{A}$ আর $\vec{B}$ -এর মধ্যের ছোট কোণ ( $0 \le \alpha \le 180^\circ$ ), দুটির পাদবিন্দু (tail) এক জায়গায় রেখে মাপা।
মান (magnitude) $|\vec{A}\times\vec{B}| = AB\sin\alpha$ — সবসময় ধনাত্মক বা শূন্য।
$\hat{n}$ একটি একক ভেক্টর, $\vec{A}$ আর $\vec{B}$ যে তলে আছে সেই তলের লম্ব (perpendicular to the plane)।

লম্ব তো দুই দিকে হয় — ওপরে আর নিচে। কোনটি? ডান হাতি স্ক্রু নিয়ম (right-hand screw rule): ডান হাতের আঙুলগুলো প্রথম ভেক্টর ( $\vec{A}$ ) থেকে দ্বিতীয়টির ( $\vec{B}$ ) দিকে ছোট কোণ দিয়ে বাঁকাও — বুড়ো আঙুল যেদিকে থাকে, $\vec{A}\times\vec{B}$ সেদিকে। একইভাবে, একটি সাধারণ (ডান হাতি) স্ক্রুকে A থেকে B-এর দিকে ঘোরালে স্ক্রু যেদিকে এগোয়, সেটিই গুণফলের দিক।

নিচে মেঝের ওপর দুটি তীর। এদের মাথা টেনে ঘোরাও, আর “ক্রম উল্টাও” চেপে দেখো কী হয়:

দৃশ্য ঘোরাও (rotate view)

ছোট কোণ α (angle)84°

মান (magnitude) = AB sinα8.28

দিক (direction)+z (ওপরে)

A বা B-এর মাথা টেনে ঘোরাও। ডান হাতের আঙুলগুলো প্রথম ভেক্টর থেকে দ্বিতীয়টির দিকে (ছোট কোণ দিয়ে) বাঁকাও — বুড়ো আঙুল যেদিকে, গুণফল সেদিকে।

নিজে যাচাই করো

A পূর্ব দিকে আর B উত্তর দিকে, দুটিই মেঝেতে। A × B কোন দিকে?

ধাপ ২: মান = সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল

$\vec{A}$ আর $\vec{B}$ -কে দুটি বাহু ধরে একটি সামান্তরিক (parallelogram) আঁকো। ভূমি $A$ , আর উচ্চতা $B\sin\alpha$ । তাই

\text{area of parallelogram} = A \times (B\sin\alpha) = |\vec{A}\times\vec{B}|, \qquad \text{area of triangle} = \tfrac{1}{2}\,|\vec{A}\times\vec{B}|

একই দুই বাহুর ত্রিভুজ (triangle) সামান্তরিকের অর্ধেক। খেয়াল করো: ক্ষেত্রফল একটি মান, তাই সবসময় $|\ldots|$ নিতে হয় — ক্ষেত্রফলকে কখনো “ $7\hat{i}+\hat{j}-5\hat{k}$ ” এর মতো ভেক্টর হিসেবে লিখবে না। (ক্ষেত্রের দিকও দরকার হলে সেটি আলাদা জিনিস — ক্ষেত্র ভেক্টর, ধাপ ৭-এ।)

B-এর মাথা টেনে দেখো, রঙিন ক্ষেত্রফল আর $|\vec{A}\times\vec{B}|$ সবসময় সমান থাকে:

A, B5, 3.61

কোণ α (angle)56.3°

|A × B| = AB sinα15.00

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল (area) = ভূমি × উচ্চতা15.00 unit²

B-এর মাথা টেনে দেখো: ক্ষেত্রফল = ভূমি A × উচ্চতা B sinα — ঠিক |A × B|। ঘর গুনেও মিলিয়ে নাও।

নিজে যাচাই করো

|A| = 4, |B| = 5, মধ্যের কোণ 30°। A ও B বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

ধাপ ৩: ক্রস গুণনের ধর্ম

ধর্ম (property)	সূত্র	কেন
বিনিময় সূত্র মানে না (anti-commutative)	$\vec{B}\times\vec{A} = -\,\vec{A}\times\vec{B}$	ঘোরানোর দিক উল্টে যায়, তাই বুড়ো আঙুলও উল্টো দিকে
নিজের সাথে গুণ	$\vec{A}\times\vec{A} = \vec{0}$	$\alpha = 0$ , $\sin 0 = 0$
সমান্তরাল (parallel)	$\vec{A}\parallel\vec{B} \iff \vec{A}\times\vec{B} = \vec{0}$	$\alpha = 0^\circ$ বা $180^\circ$
লম্ব (perpendicular)	$\lvert\vec{A}\times\vec{B}\rvert = AB$ (সর্বোচ্চ)	$\sin 90^\circ = 1$
বণ্টন সূত্র (distributive)	$\vec{A}\times(\vec{B}+\vec{C}) = \vec{A}\times\vec{B}+\vec{A}\times\vec{C}$	মানে, ক্রম ঠিক রেখে ভেঙে গুণ করা যায়
সংযোগ সূত্র মানে না (not associative)	$(\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C} \neq \vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})$	পরের ধাপে উদাহরণ

ক্রস গুণনে ক্রমই সব: $\vec{A}\times\vec{B}$ আর $\vec{B}\times\vec{A}$ মানে সমান, দিকে বিপরীত।

নিজে যাচাই করো

দুটি অশূন্য ভেক্টরের ক্রস গুণফল শূন্য হলে তাদের মধ্যের কোণ কত হতে পারে?

ধাপ ৪: একক ভেক্টরের ক্রস গুণন

$\hat{i}$ , $\hat{j}$ , $\hat{k}$ পরস্পর লম্ব, প্রত্যেকের মান 1। তাই দুটি ভিন্ন একক ভেক্টরের ক্রস গুণফলের মান $1\times1\times\sin 90^\circ = 1$ , আর দিক তৃতীয় অক্ষ বরাবর। ডানহাতি অক্ষব্যবস্থায় (right-handed axes):

\hat{i}\times\hat{j} = \hat{k},\qquad \hat{j}\times\hat{k} = \hat{i},\qquad \hat{k}\times\hat{i} = \hat{j}

\hat{j}\times\hat{i} = -\hat{k},\qquad \hat{k}\times\hat{j} = -\hat{i},\qquad \hat{i}\times\hat{k} = -\hat{j},\qquad \hat{i}\times\hat{i} = \hat{j}\times\hat{j} = \hat{k}\times\hat{k} = \vec{0}

তীরের দিকে পরপর দুটি নিলে তৃতীয়টি পাও: î × ĵ = k̂, ĵ × k̂ = î, k̂ × î = ĵ। উল্টো দিকে গেলে মাইনাস: ĵ × î = −k̂।

ডানহাতি অক্ষ (right-handed axes): আঙুল x থেকে y-এর দিকে বাঁকালে বুড়ো আঙুল z-এর দিকে — তাই î × ĵ = k̂।

এখন সংযোগ সূত্র কেন খাটে না দেখো: $(\hat{i}\times\hat{i})\times\hat{j} = \vec{0}\times\hat{j} = \vec{0}$ , কিন্তু $\hat{i}\times(\hat{i}\times\hat{j}) = \hat{i}\times\hat{k} = -\hat{j}$ । বন্ধনী কোথায়, তাতে উত্তর বদলায়।

নিজে যাচাই করো

k̂ × î = ?

ধাপ ৫: উপাংশ থেকে নির্ণায়ক পদ্ধতি

$\vec{A} = A_x\hat{i}+A_y\hat{j}+A_z\hat{k}$ , $\vec{B} = B_x\hat{i}+B_y\hat{j}+B_z\hat{k}$ হলে বণ্টন সূত্রে নয়টি পদ গুণ করো আর ধাপ ৪-এর ফল বসাও — তিনটি পদ শূন্য, বাকিগুলো জোড়ায় মেলে:

\vec{A}\times\vec{B} = \hat{i}\,(A_yB_z - A_zB_y) + \hat{j}\,(A_zB_x - A_xB_z) + \hat{k}\,(A_xB_y - A_yB_x)

মনে রাখার সহজ উপায় — নির্ণায়ক (determinant):

\vec{A}\times\vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} = \hat{i}\,(A_yB_z - A_zB_y) - \hat{j}\,(A_xB_z - A_zB_x) + \hat{k}\,(A_xB_y - A_yB_x)

মাঝের $\hat{j}$ পদের সামনের মাইনাস চিহ্নটি সবচেয়ে বেশি ভুল হয়।

উদাহরণ: $\vec{A} = 3\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ , $\vec{B} = -2\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k}$ ।

\vec{A}\times\vec{B} = \hat{i}\,(2\cdot4 - 1\cdot1) - \hat{j}\,(3\cdot4 - 1\cdot(-2)) + \hat{k}\,(3\cdot1 - 2\cdot(-2)) = 7\hat{i} - 14\hat{j} + 7\hat{k}

যাচাই: ফলটি A আর B দুটোরই লম্ব হওয়া উচিত — $(7)(3)+(-14)(2)+(7)(1) = 0$ ✓, $(7)(-2)+(-14)(1)+(7)(4) = 0$ ✓। এই ডট-গুণ যাচাই পরীক্ষার হলে ভুল ধরার সবচেয়ে সহজ উপায়।

নিজে যাচাই করো

A = î + 2ĵ, B = 3î + ĵ হলে A × B = ?

ধাপ ৬: একক লম্ব ভেক্টর আর সমান্তরালতার শর্ত

$\vec{A}$ আর $\vec{B}$ -এর তলের লম্ব একক ভেক্টর (unit normal):

\hat{n} = \frac{\vec{A}\times\vec{B}}{|\vec{A}\times\vec{B}|}

ধাপ ৫-এর উদাহরণে $|7\hat{i}-14\hat{j}+7\hat{k}| = 7\sqrt{6}$ , তাই $\hat{n} = \dfrac{\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{6}}$ । ক্রম উল্টে $\vec{B}\times\vec{A}$ নিলে পাবে $-\hat{n}$ — দুটিই তলের লম্ব একক ভেক্টর, তাই উত্তরে প্রায়ই $\pm$ লেখা হয়।

সমান্তরালতার শর্ত: $\vec{A}\times\vec{B} = \vec{0}$ হওয়া মানে উপাংশগুলো একই অনুপাতে:

\frac{A_x}{B_x} = \frac{A_y}{B_y} = \frac{A_z}{B_z}

যেমন $2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$ আর $m\hat{i}+3\hat{j}-9\hat{k}$ সমান্তরাল হলে $\dfrac{-1}{3} = \dfrac{3}{-9}$ , তাই $\dfrac{2}{m} = -\dfrac{1}{3}$ , অর্থাৎ $m = -6$ ।

নিজে যাচাই করো

A = î + 2ĵ − k̂ আর B = 3î + pĵ − 3k̂ সমান্তরাল হলে p = ?

ধাপ ৭: পদার্থবিজ্ঞানে ক্রস গুণন

হুকের দরজায় ফিরি। কবজার অক্ষ থেকে ঠেলার বিন্দু পর্যন্ত অবস্থান ভেক্টর $\vec{r}$ , আর বল $\vec{F}$ । টর্ক (torque):

\vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F}, \qquad |\vec{\tau}| = rF\sin\theta \quad (\text{N m})

হাতল কবজা থেকে দূরে (বড় $r$ ), তাই একই বলে বেশি টর্ক।
সোজা কবজার দিকে ঠেললে $\theta = 180^\circ$ , $\sin\theta = 0$ — টর্ক শূন্য, দরজা ঘোরে না।
টর্কের দিক $\vec{r}$ আর $\vec{F}$ দুটোরই লম্ব — কবজার অক্ষ বরাবর। ক্রম গুরুত্বপূর্ণ: $\vec{F}\times\vec{r} = -\vec{\tau}$ ।

আরও কয়েকটি ভৌত ভেক্টর ক্রস গুণন দিয়েই সংজ্ঞায়িত:

কৌণিক ভরবেগ (angular momentum): $\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p} = \vec{r}\times m\vec{v}$ , একক kg m² s⁻¹।
রৈখিক আর কৌণিক বেগ (angular velocity): $\vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r}$ । উল্টো দিকে, $\vec{v}$ যদি $\vec{r}$ -এর লম্ব হয়, $\vec{\omega} = \dfrac{\vec{r}\times\vec{v}}{r^2}$ — শুধু $\vec{r}\times\vec{v}$ কৌণিক বেগ নয় (এর একক m² s⁻¹, কৌণিক বেগের একক rad s⁻¹)।
ক্ষেত্র ভেক্টর (area vector): $\vec{S} = \vec{a}\times\vec{b}$ — মান সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল, দিক তলের লম্ব।

টর্ক (torque) τ = r × F, একক N m। ক্রম উল্টালে F × r = −τ।

কৌণিক বেগ (angular velocity) ω অক্ষ বরাবর; বিন্দুর রৈখিক বেগ v = ω × r। কৌণিক ভরবেগ (angular momentum) L = r × p।

ক্ষেত্র ভেক্টর (area vector) S = a × b: মান = সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল, দিক তলের লম্ব।

নিজে যাচাই করো

একটি রেঞ্চের হাতলে 0.25 m দূরে 40 N বল হাতলের সাথে 30° কোণে লাগানো হলো। টর্কের মান কত?

ধাপ ৮: কাজের কিছু অভেদ

ডট আর ক্রসের সম্পর্ক (Lagrange identity): $|\vec{A}\times\vec{B}|^2 = A^2B^2\sin^2\alpha$ , আর $(\vec{A}\cdot\vec{B})^2 = A^2B^2\cos^2\alpha$ । যোগ করলে

|\vec{A}\times\vec{B}|^2 + (\vec{A}\cdot\vec{B})^2 = A^2B^2

$\vec{A}\cdot\vec{B} = |\vec{A}\times\vec{B}|$ কি সম্ভব? হ্যাঁ — $AB\cos\alpha = AB\sin\alpha$ মানে $\tan\alpha = 1$ , $\alpha = 45^\circ$ ।

তিন ভেক্টরের যোগফল শূন্য হলে: $\vec{P}+\vec{Q}+\vec{R} = \vec{0}$ হলে বাম দিক থেকে $\vec{P}\times$ গুণ করো: $\vec{P}\times\vec{Q} + \vec{P}\times\vec{R} = \vec{0}$ , তাই $\vec{P}\times\vec{Q} = \vec{R}\times\vec{P}$ । একইভাবে $\vec{Q}\times$ গুণ করে $\vec{Q}\times\vec{R} = \vec{P}\times\vec{Q}$ । অর্থাৎ

\vec{P}\times\vec{Q} = \vec{Q}\times\vec{R} = \vec{R}\times\vec{P}

(ত্রিভুজের তিন বাহু যেকোনো জোড়া নিয়ে একই ক্ষেত্রফল দেয় — যুক্তিসঙ্গত!)

একটি প্রিয় MCQ: $(\vec{P}+\vec{Q})\times(\vec{P}-\vec{Q}) = \vec{P}\times\vec{P} - \vec{P}\times\vec{Q} + \vec{Q}\times\vec{P} - \vec{Q}\times\vec{Q} = 2\,\vec{Q}\times\vec{P}$ ।

নিজে যাচাই করো

|A × B| = √3 (A · B) হলে A আর B-এর মধ্যের কোণ কত?

ধাপ ৯: এবার নিজে করে দেখো

ক্রস গুণন 3D ল্যাব: ওপরে মোড বাছো — সাধারণ $\vec{A}\times\vec{B}$ , টর্ক $\vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F}$ বা কৌণিক ভরবেগ $\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p}$ । − / + বোতামে প্রতিটি উপাংশ বসাও। 3D দৃশ্য আঙুলে টেনে ঘোরাও (দুর্বল ফোনে “সমতলে দেখাও”)। নিচে নির্ণায়কের প্রতিটি ধাপ, মান, ক্ষেত্রফল, একক লম্ব আর sin ও cos থেকে কোণ দেখাবে। প্রতিটি ফল “খাতায় লেখো” চেপে নোট করো, তারপর চ্যালেঞ্জগুলো শেষ করো।

ক্রস গুণন 3D ল্যাব

Cross product 3D lab

↗

3D লোড হচ্ছে…

আঙুলে টেনে ঘোরাও (drag to orbit)। কমলা তীরের দৈর্ঘ্য ∝ sinα (আলাদা স্কেল)।

ভেক্টর A

ভেক্টর B

A \times B = i^31 j^02 k^00

= i^[0 \cdot 0 - 0 \cdot 2] - j^[3 \cdot 0 - 0 \cdot 1] + k^[3 \cdot 2 - 0 \cdot 1]

= 0 i^+ 0 j^+ 6 k^

|A × B| 6.00

সামান্তরিক (parallelogram) = |A × B|6.00

ত্রিভুজ (triangle) = ½|A × B|3.00

একক লম্ব (unit normal) n̂(0, 0, 1)

α, cos থেকে (from A·B = 3)63.43°

α, sin থেকে (from |A × B|)63.43°

α সূক্ষ্ম কোণ হলে sin আর cos থেকে একই কোণ আসে।

ভুলটি খুঁজে বের করো (find the mistake) — চ.বো. 2021, সৃজনশীল প্রশ্ন

A = 2î + √2ĵ − √3k̂, B = √3î + 3ĵ − 2k̂। প্রথম ত্রিভুজ A ও B বাহুর, দ্বিতীয়টি P = 3A ও Q = ½B বাহুর। বই লিখেছে: P × Q-এর î-উপাংশ “−12.03”, আর ½|P × Q| = ½ × (144.7 + 2.25 + 28.4) = 87.68। দ্বিতীয় ত্রিভুজের আসল ক্ষেত্রফল কত?

চ্যালেঞ্জ (challenges)

0/6

A = 2î + 3ĵ + k̂, B = 5î + ĵ + 3k̂ বসিয়ে |A × B| বের করো (KUET)।
P(1, 3, 2) ও Q(2, 1, 3) বাহু ধরে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করো (ত্রিভুজ বোতাম চাপো)।
A = î − 3ĵ + 5k̂ রাখো; B = mî + 6ĵ − 10k̂-এ m বদলে A × B = 0 করো (সমান্তরাল)।
টর্ক মোডে r = 2î + 2ĵ − k̂ m, F = 6î + 3ĵ − 3k̂ N দিয়ে τ বের করো (সি.বো. 2015)।
কৌণিক ভরবেগ মোডে m = 3 kg, v = 2î + 2ĵ − k̂ m/s, r = î + ĵ m দিয়ে L বের করো।
নিচের “ভুলটি খুঁজে বের করো” কার্ডে বইয়ের ভুল উত্তরটি শুদ্ধ করো।

পর্যবেক্ষণ খাতা (observation notebook)

এখনো কিছু লেখা হয়নি — মান বসিয়ে “খাতায় লেখো” চাপো।

বই পড়ার সময় সাবধান — পাঠ্যবইয়ের এই অংশে কয়েকটি ভুল আছে:

টর্কের সূত্র (সূত্র তালিকা, পৃ. 116, সূত্র 19): “τ = P × r” লেখা আছে। ঠিক হলো $\vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F}$ — ক্রম উল্টালে চিহ্ন উল্টে যায়। বইয়ের নিজের পৃ. 65-এ ঠিকটিই আছে।
ক্ষেত্রফলকে ভেক্টর লেখা (সৃজনশীল 11, 14, 25, 26; পৃ. 123, 126, 135): “ক্ষেত্রফল = ½(7i + j − 5k)”, “সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = A × B”। ক্ষেত্রফল হলো মান $|\ldots|$ : যেমন সৃজনশীল 14-এ $\tfrac12\sqrt{75} = 4.33$ , 26-এ $5\sqrt3 = 8.66$ , 25-এ $\sqrt{689} = 26.25$ ।
চ.বো. 2021 সৃজনশীল 13(খ) (পৃ. 125): î-উপাংশ “−12.03” আর “½|P × Q| = ½ × (144.7 + 2.25 + 28.4) = 87.68” — বর্গমূল নেওয়া হয়নি, চিহ্নও ভুল। আসলে î-উপাংশ +3.55 আর ½|P × Q| = 3.29 (প্রথম ত্রিভুজ 2.19)। “দ্বিতীয়টি বড়” — সিদ্ধান্তটি ঠিক থাকে। (ল্যাবের “ভুলটি খুঁজে বের করো” কার্ড দেখো।)
পৃ. 99: “বা, R = Q × P = η̂ QP sinα” — আসলে $\vec{Q}\times\vec{P} = -\vec{P}\times\vec{Q} = -\vec{R}$ । চিত্র 2.40-এর লেবেলেও একই ভুল, আর চিত্র 2.42-এ “−R = P × Q” হবে −R = Q × P।
পৃ. 98, উদাহরণ ২.৯-৬: “উচ্চতা AD = AC cosθ = Q sinθ” — হবে AD = AC sinθ।
সংখ্যাগত প্রশ্ন 100 (পৃ. 169): ছাপা উত্তর −42i + 30j − 6k; আসলে $(-2\hat{i}+4\hat{j}+6\hat{k})\times(4\hat{i}-5\hat{j}+3\hat{k}) = 42\hat{i}+30\hat{j}-6\hat{k}$ ।
সংখ্যাগত প্রশ্ন 102 ও 113 (পৃ. 170): “কৌণিক বেগ” চেয়ে $\vec{r}\times\vec{v}$ দেওয়া হয়েছে (তাও ছাপা উত্তর ভুল; সঠিক $4\hat{i}-8\hat{k}$ )। $\vec{r}\times\vec{v}$ কৌণিক বেগ নয়; বৃত্তীয় গতিতে $\vec{\omega} = (\vec{r}\times\vec{v})/r^2$ ।
সারসংক্ষেপ (পৃ. 138): “গুলফল যদি একটি বৃহত্তর রাশি হয়” — ছাপার ভুল; হবে “গুণফল যদি একটি ভেক্টর রাশি হয়”।
MCQ-এর উত্তরমালা (পৃ. 153) থেকে উত্তর কপি কোরো না — কয়েকটি চাবি ভুল; প্রতিটি নিজে কষে দেখো।

ঘরে বসে পরীক্ষা: দরজা আর স্ক্রু

দরজার টর্ক: একটি দরজা সামান্য খোলা রাখো। এক আঙুলে দরজার পাল্লার লম্ব দিকে আলতো ঠেলো — প্রথমে হাতলের কাছে, তারপর মাঝখানে, তারপর কবজার একদম কাছে। কোথায় সবচেয়ে কষ্ট হয়? এবার হাতলের কাছে আঙুল রেখে পাল্লা বরাবর সোজা কবজার দিকে চাপ দাও — দরজা নড়ে কি? $|\vec\tau| = rF\sin\theta$ দিয়ে ব্যাখ্যা করো।
ডান হাতি স্ক্রু: একটি বোতলের ছিপি বা স্ক্রু ডান হাতে ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরাও (তোমার দিক থেকে দেখে) — এটি তোমার থেকে দূরে এগোয় (শক্ত হয়)। উল্টো দিকে ঘোরালে তোমার দিকে আসে। ডান হাতের আঙুল ঘোরার দিকে বাঁকিয়ে দেখো, বুড়ো আঙুল কি স্ক্রুর চলার দিক দেখায়?

নিরাপত্তা: দরজার কবজার দিকের ফাঁকে আঙুল রাখবে না — বন্ধ হওয়ার সময় আঙুল চাপা পড়ে মারাত্মক আঘাত লাগতে পারে। দরজা আস্তে ঠেলো, পেছনে কেউ আছে কিনা দেখে নাও।

পরীক্ষার প্রস্তুতি

১. ভেক্টর গুণন (ক্রস গুণন) কাকে বলে? এর দিক কীভাবে নির্ণয় করা হয়? দেখাও যে $\hat{i}\times\hat{j} = \hat{k}$ কিন্তু $\hat{i}\times\hat{i} = \vec{0}$ ।

উত্তর দেখো

দুটি ভেক্টরের গুণফল যদি একটি ভেক্টর হয় যার মান ভেক্টর দুটির মান আর মধ্যের ছোট কোণের sine-এর গুণফল, আর দিক ভেক্টর দুটির তলের লম্ব — তাকে ভেক্টর গুণন বলে: $\vec{A}\times\vec{B} = AB\sin\alpha\,\hat{n}$ । দিক ডান হাতি স্ক্রু নিয়মে: প্রথম ভেক্টর থেকে দ্বিতীয়টির দিকে ছোট কোণ দিয়ে স্ক্রু ঘোরালে স্ক্রু যেদিকে এগোয়।

$\hat{i}$ ও $\hat{j}$ লম্ব: মান $1\cdot1\cdot\sin90^\circ = 1$ , দিক x থেকে y-এর দিকে ঘোরালে +z, তাই $\hat{k}$ । $\hat{i}\times\hat{i}$ : $\alpha = 0$ , $\sin0 = 0$ , তাই $\vec{0}$ ।

২. $\vec{A} = 3\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ ও $\vec{B} = -2\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k}$ । (ক) এদের তলের লম্ব একক ভেক্টর বের করো। (খ) $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

উত্তর দেখো

(ক) $\vec{A}\times\vec{B} = 7\hat{i}-14\hat{j}+7\hat{k}$ (ধাপ ৫), $|\vec{A}\times\vec{B}| = 7\sqrt{1+4+1} = 7\sqrt6$ ।

\hat{n} = \pm\frac{\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt6}

( $+$ চিহ্ন $\vec{A}\times\vec{B}$ -এর দিকে, $-$ চিহ্ন $\vec{B}\times\vec{A}$ -এর দিকে।)

(খ) ক্ষেত্রফল $= \tfrac12|\vec{A}\times\vec{B}| = \tfrac12 \times 7\sqrt6 = 8.57$ বর্গ একক — একটি মান, ভেক্টর নয়।

৩. (সি.বো. 2015 ধরনের) $\vec{r} = 2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$ m অবস্থানে $\vec{F} = 6\hat{i}+3\hat{j}-3\hat{k}$ N বল ক্রিয়া করে। মূলবিন্দুর সাপেক্ষে টর্ক ও তার মান নির্ণয় করো।

উত্তর দেখো

\vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & -1 \\ 6 & 3 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}\,(-6+3) - \hat{j}\,(-6+6) + \hat{k}\,(6-12) = -3\hat{i} - 6\hat{k}\ \text{N m}

$|\vec{\tau}| = \sqrt{9+36} = \sqrt{45} = 6.71$ N m। (ভুল ক্রমে $\vec{F}\times\vec{r}$ নিলে $3\hat{i}+6\hat{k}$ — চিহ্ন উল্টো।)

৪. 3 kg ভরের একটি কণা $\vec{r} = \hat{i}+\hat{j}$ m অবস্থানে $\vec{v} = 2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$ m/s বেগে চলছে। মূলবিন্দুর সাপেক্ষে কৌণিক ভরবেগ নির্ণয় করো।

উত্তর দেখো

$\vec{p} = m\vec{v} = 6\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}$ ।

\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 6 & 6 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}\,(-3-0) - \hat{j}\,(-3-0) + \hat{k}\,(6-6) = -3\hat{i}+3\hat{j}\ \text{kg m}^2\,\text{s}^{-1}

যাচাই: $\vec{L}\cdot\vec{r} = -3+3 = 0$ ✓ — L, r-এর লম্ব।

৫. $\vec{A} = \hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}$ ও $\vec{B} = m\hat{i}+6\hat{j}-10\hat{k}$ পরস্পর সমান্তরাল হলে $m$ -এর মান কত? দুটি ভেক্টরের ডট গুণফল ও ক্রস গুণফলের মান কি কখনো সমান হতে পারে?

উত্তর দেখো

সমান্তরাল হলে $\dfrac{1}{m} = \dfrac{-3}{6} = \dfrac{5}{-10} = -\dfrac12$ , তাই $m = -2$ ( $\vec{B} = -2\vec{A}$ , বিপরীতমুখী সমান্তরাল)।

দ্বিতীয় অংশ: $AB\cos\alpha = AB\sin\alpha \Rightarrow \tan\alpha = 1 \Rightarrow \alpha = 45^\circ$ । হ্যাঁ, মধ্যের কোণ 45° হলে।

৬. (MCQ) $(\vec{P}+\vec{Q})\times(\vec{P}-\vec{Q})$ = ? (ক) $\vec{0}$ (খ) $2\,\vec{P}\times\vec{Q}$ (গ) $2\,\vec{Q}\times\vec{P}$ (ঘ) $P^2 - Q^2$

উত্তর দেখো

(গ)। $(\vec{P}+\vec{Q})\times(\vec{P}-\vec{Q}) = \vec{P}\times\vec{P} - \vec{P}\times\vec{Q} + \vec{Q}\times\vec{P} - \vec{Q}\times\vec{Q} = \vec{0} + \vec{Q}\times\vec{P} + \vec{Q}\times\vec{P} - \vec{0} = 2\,\vec{Q}\times\vec{P}$ । (ঘ) হলো ডট গুণফল $(\vec{P}+\vec{Q})\cdot(\vec{P}-\vec{Q})$ -এর উত্তর — ফাঁদ।