হাতে-কলমে বিজ্ঞান

পাঠ ১০ / ১৩অনুচ্ছেদ ২.১০.৩

ত্রৈধ গুণন: আয়তন ও সমতলীয় ভেক্টর (3D)Triple products: volume & coplanar vectors (3D)

এই পাঠের আগে পড়ো (read first): পাঠ ৯ — ভেক্টর (ক্রস) গুণন: ডান হাতি স্ক্রু, টর্ক ও ক্ষেত্রফল (3D)

একটি দেশলাইয়ের বাক্স একটু চেপে হেলিয়ে দাও — তিনটি কিনারা (edge) এক কোণ থেকে তিন দিকে গেছে। নিচে ঠিক এমন একটি হেলানো বাক্স, তিনটি তীর A⃗\vec{A}, B⃗\vec{B}, C⃗\vec{C} দিয়ে গড়া। A⃗\vec{A} আর B⃗\vec{B} মেঝেতে শুয়ে আছে। সবুজ C⃗\vec{C}-এর মাথা টেনে মেঝের দিকে নামাও:

ABCOA, B মেঝেতে (A–B তল, plane)আয়তন 36.0(volume)

A·(B × C) = 36.0 → C যত নামে, আয়তন তত কমে।

সবুজ C-এর শীর্ষবিন্দু (tip) টেনে নামাও বা স্লাইডার চালাও; ফাঁকা জায়গা পাশে টানলে দৃশ্য ঘোরে।

C⃗\vec{C} মেঝেতে নামতেই বাক্সটি চ্যাপ্টা পাত হয়ে গেল, আয়তন 0। তখন তিনটি তীরই একই সমতলে। কিন্তু সংখ্যাগুলো দেওয়া থাকলে — যেমন 2i^+4j^+2k^2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}, 3i^+3j^+4k^3\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}, i^+2j^+k^\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} — ছবি না এঁকে কি বলা যায় তিনটি তীর একই সমতলে কি না? একটি হিসাবেই বলা যায়: ত্রৈধ গুণন।

এই পাঠে ধাপে ধাপে এগোব:

  1. আগে যা লাগবে: ডট গুণন (dot product) আর ক্রস গুণন (cross product)
  2. স্কেলার ত্রৈধ গুণন (scalar triple product) = বাক্সের আয়তন (volume)
  3. নির্ণায়ক (determinant) দিয়ে হিসাব, আর চক্রীয় ক্রম (cyclic order)
  4. সমতলীয় ভেক্টর (coplanar vectors) চেনার শর্ত
  5. ভেক্টর ত্রৈধ গুণন (vector triple product): BAC − CAB
  6. এবার নিজে করে দেখো — সমান্তরাল ষড়তলক ল্যাব (parallelepiped lab)

ধাপ ১: আগে যা লাগবে — দুই রকম গুণন

আগের দুটি পাঠ থেকে দুটি কথা মনে রাখো:

B⃗×C⃗=∣i^j^k^BxByBzCxCyCz∣\vec{B}\times\vec{C} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ B_x & B_y & B_z \\ C_x & C_y & C_z \end{vmatrix}

তিনটি ভেক্টর গুণ করতে হলে দুইভাবে মেলানো যায়: আগে ক্রস তারপর ডট — A⃗⋅(B⃗×C⃗)\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}), ফল একটি স্কেলার; অথবা দুবার ক্রস — A⃗×(B⃗×C⃗)\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C}), ফল একটি ভেক্টর। প্রথমটি স্কেলার ত্রৈধ গুণন, দ্বিতীয়টি ভেক্টর ত্রৈধ গুণন।

নিজে যাচাই করো

(A × B)·C আর A × (B·C) — কোনটির অর্থ আছে?

ধাপ ২: A·(B × C) মানে বাক্সের আয়তন

যেকোনো প্রিজমের (prism) মতো, হেলানো বাক্সেরও আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল × লম্ব উচ্চতা। এখন দেখো ত্রৈধ গুণনে দুটোই আছে:

তাই

A⃗⋅(B⃗×C⃗)=∣B⃗×C⃗∣ (A⃗⋅n^)=(base area)×h=V\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) = |\vec{B}\times\vec{C}|\,(\vec{A}\cdot\hat{n}) = \text{(base area)} \times h = V

নিচে A⃗\vec{A}-কে ওপরে তোলো, তারপর তার মাথা পাশে সরাও। হলুদ ভূমি, গোলাপি লম্ব n^\hat{n} আর হলুদ ড্যাশ দাগ (উচ্চতা) লক্ষ করো:

hnABCOভূমি (base) = |B × C| = 12.0উচ্চতা (height) h = A·n = 2.5

আয়তন = ভূমি × উচ্চতা = 12.0 × 2.5 = 30.0  ·  A·(B × C) = 30.0

শীর্ষ পাশে সরালে A বদলায়, কিন্তু উচ্চতা আর আয়তন একই থাকে — শুধু লম্ব বরাবর A-এর অংশটুকুই গোনে।

পাশে সরালে A⃗\vec{A} বদলায়, কিন্তু আয়তন বদলায় না — কারণ শুধু লম্ব বরাবর অংশটুকুই উচ্চতা। এক তাড়া কাগজ হেলিয়ে দিলেও কাগজের পরিমাণ একই থাকে, ঠিক তেমন।

চিহ্ন (sign): A⃗\vec{A} যদি n^\hat{n}-এর উল্টো দিকে থাকে (α>90°\alpha > 90°), তবে A⃗⋅n^\vec{A}\cdot\hat{n} ঋণাত্মক, তাই ত্রৈধ গুণফলও ঋণাত্মক। আয়তন কখনো ঋণাত্মক নয়, তাই সঠিক সূত্র

V=∣A⃗⋅(B⃗×C⃗)∣V = |\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})|

ধনাত্মক হলে A⃗,B⃗,C⃗\vec{A}, \vec{B}, \vec{C} ডান-হাতি ক্রমে (right-handed order) আছে, ঋণাত্মক হলে বাম-হাতি (left-handed)। সবচেয়ে সহজ উদাহরণ একক ঘনক (unit cube): i^⋅(j^×k^)=i^⋅i^=1\hat{i}\cdot(\hat{j}\times\hat{k}) = \hat{i}\cdot\hat{i} = 1, আয়তন 1।

একই তিনটি তীর দিয়ে একটি চতুস্তলকও (tetrahedron) হয়; তার আয়তন বাক্সের ছয় ভাগের এক ভাগ: 16∣A⃗⋅(B⃗×C⃗)∣\tfrac{1}{6}|\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})|।

নিজে যাচাই করো

তিনটি ভেক্টরের ত্রৈধ গুণফল A·(B × C) = −24 পাওয়া গেল। এদের দিয়ে গড়া সমান্তরাল ষড়তলকের আয়তন কত?

ধাপ ৩: নির্ণায়ক দিয়ে হিসাব, আর চক্রীয় ক্রম

B⃗×C⃗\vec{B}\times\vec{C}-এর নির্ণায়কে প্রথম সারির i^,j^,k^\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}-এর জায়গায় Ax,Ay,AzA_x, A_y, A_z বসালেই ডট গুণনও হয়ে যায়। তাই

A⃗⋅(B⃗×C⃗)=∣AxAyAzBxByBzCxCyCz∣=Ax(ByCz−BzCy)−Ay(BxCz−BzCx)+Az(BxCy−ByCx)\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) = \begin{vmatrix} A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \\ C_x & C_y & C_z \end{vmatrix} = A_x(B_yC_z - B_zC_y) - A_y(B_xC_z - B_zC_x) + A_z(B_xC_y - B_yC_x)

একে সংক্ষেপে [A⃗ B⃗ C⃗][\vec{A}\ \vec{B}\ \vec{C}]-ও লেখা হয়। নিচে একটি একটি করে পদ খোলো — কমলা ঘরটি প্রথম সারির উপাদান, নীল ঘরগুলো তার 2×2 অংশ (minor):

îĵk̂A31−2B1−34C23−1

প্রথম সারি ধরে বিস্তার (expansion): প্রতিটি উপাদান × তার সারি-কলাম বাদ দেওয়া 2×2 অংশ, চিহ্ন + − + ক্রমে।

ক্রম এখন [A B C]। চক্রাকারে সরালে মান একই থাকে, দুটি সারি অদলবদল করলে শুধু চিহ্ন উল্টায় — শেষ ধাপ পর্যন্ত চালিয়ে মিলিয়ে দেখো।

নির্ণায়কের দুটি নিয়ম থেকেই ত্রৈধ গুণনের দুটি ধর্ম আসে:

ABCএকই চিহ্ন (+)A·(B×C) = B·(C×A) = C·(A×B)ABCচিহ্ন উল্টো (−)A·(C×B) = −A·(B×C)
বাঁয়ে: A → B → C → A চক্রে (cyclic order) যেখান থেকেই শুরু করো, মান একই। ডানে: ক্রম উল্টালে (দুটি অদলবদল) শুধু চিহ্ন বদলায়।

একটি সুবিধাজনক ফল: ক্রম না বদলে ডট আর ক্রস চিহ্নের জায়গা বদলানো যায় — A⃗⋅(B⃗×C⃗)=(A⃗×B⃗)⋅C⃗\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) = (\vec{A}\times\vec{B})\cdot\vec{C}।

নিজে যাচাই করো

A·(B × C) = 10 হলে C·(B × A) কত?

ধাপ ৪: সমতলীয় ভেক্টর চেনার শর্ত

তিনটি ভেক্টর একই সমতলে থাকলে তাদের বাক্স চ্যাপ্টা — উচ্চতা শূন্য, আয়তন শূন্য। উল্টোটাও সত্য। তাই

A⃗, B⃗, C⃗ coplanar  ⟺  A⃗⋅(B⃗×C⃗)=0\vec{A},\ \vec{B},\ \vec{C} \text{ coplanar} \iff \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) = 0

যুক্তিটি এক লাইনে: B⃗×C⃗\vec{B}\times\vec{C} হলো B⃗\vec{B}–C⃗\vec{C} তলের লম্ব। A⃗⋅(B⃗×C⃗)=0\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) = 0 মানে A⃗\vec{A} ওই লম্বের সাথে 90° করে আছে, অর্থাৎ A⃗\vec{A}-এর তলের বাইরে যাওয়ার কোনো উপাংশ নেই — A⃗\vec{A} তলের মধ্যেই।

B–C তল (plane)BCAB × C (লম্ব, normal)A·(B × C) = 0 ⇔ A ⊥ (B × C) ⇔ A তলের মধ্যেই
B × C তলের লম্ব। A যদি এই লম্বের সাথে 90° করে, তবে A-কে তলের বাইরে যাওয়ার কোনো উপাংশ নেই — A, B, C একই সমতলে।

উদাহরণ (ঢা.বো. 2021): A⃗=2i^+4j^+2k^\vec{A} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}, B⃗=3i^+3j^+4k^\vec{B} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}, C⃗=i^+2j^+k^\vec{C} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}।

B⃗×C⃗=i^(3−8)−j^(3−4)+k^(6−3)=−5i^+j^+3k^\vec{B}\times\vec{C} = \hat{i}(3 - 8) - \hat{j}(3 - 4) + \hat{k}(6 - 3) = -5\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k} A⃗⋅(B⃗×C⃗)=2(−5)+4(1)+2(3)=0\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) = 2(-5) + 4(1) + 2(3) = 0

তাই তিনটি ভেক্টর সমতলীয়। শুরুর প্রশ্নের উত্তর এটাই!

কিছু দরকারি বিশেষ ক্ষেত্র:

নিজে যাচাই করো

A = î + 2ĵ + 3k̂, B = 2î + 4ĵ + 6k̂, C = 5î − ĵ + 7k̂। A·(B × C) কত?

ধাপ ৫: ভেক্টর ত্রৈধ গুণন — BAC − CAB

A⃗×(B⃗×C⃗)\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C}) একটি ভেক্টর। B⃗×C⃗\vec{B}\times\vec{C} তো B⃗\vec{B}–C⃗\vec{C} তলের লম্ব; আবার তার সাথে ক্রস গুণ করলে ফল সেই লম্বের ওপর লম্ব — অর্থাৎ আবার B⃗\vec{B}–C⃗\vec{C} তলেই ফিরে আসে। তাই ফলটিকে B⃗\vec{B} আর C⃗\vec{C} দিয়ে লেখা যায়:

A⃗×(B⃗×C⃗)=B⃗(A⃗⋅C⃗)−C⃗(A⃗⋅B⃗)\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C}) = \vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C}) - \vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B})

মনে রাখার কৌশল: “BAC − CAB” — ডান দিকে আগে B, শেষে C। উপাংশ ধরে দুই দিক খুলে মেলালে প্রমাণ হয়ে যায়।

উদাহরণ: A⃗=i^+j^\vec{A} = \hat{i} + \hat{j}, B⃗=j^+k^\vec{B} = \hat{j} + \hat{k}, C⃗=i^+k^\vec{C} = \hat{i} + \hat{k}। এখানে A⃗⋅C⃗=1\vec{A}\cdot\vec{C} = 1, A⃗⋅B⃗=1\vec{A}\cdot\vec{B} = 1, তাই

A⃗×(B⃗×C⃗)=B⃗(1)−C⃗(1)=−i^+j^\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C}) = \vec{B}(1) - \vec{C}(1) = -\hat{i} + \hat{j}

সরাসরি হিসাবেও একই: B⃗×C⃗=i^+j^−k^\vec{B}\times\vec{C} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}, আর A⃗×(i^+j^−k^)=−i^+j^\vec{A}\times(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = -\hat{i} + \hat{j}।

সাবধান — ক্রস গুণন সংযোজন বিধি (associative law) মানে না। একই ভেক্টরে (A⃗×B⃗)×C⃗=−i^+k^(\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C} = -\hat{i} + \hat{k}, যা A⃗×(B⃗×C⃗)\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C}) থেকে আলাদা। তাই বন্ধনী কখনো বাদ দেবে না।

জ্যাকোবি অভেদ (Jacobi identity), বইয়ের উদাহরণ 1: BAC − CAB তিনবার লিখে যোগ করলে সব পদ কেটে যায়:

A⃗×(B⃗×C⃗)+B⃗×(C⃗×A⃗)+C⃗×(A⃗×B⃗)=0⃗\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C}) + \vec{B}\times(\vec{C}\times\vec{A}) + \vec{C}\times(\vec{A}\times\vec{B}) = \vec{0}
নিজে যাচাই করো

A × (B × C) ভেক্টরটি কোন তলে থাকে?

ধাপ ৬: এবার নিজে করে দেখো

নিচের ল্যাবে তিনটি ভেক্টর নিজে বসাও:

সমান্তরাল ষড়তলক ল্যাব

Parallelepiped lab — triple products in 3D
↗

এক আঙুলে টেনে ঘোরাও, দুই আঙুলে চিমটি কেটে ছোট-বড় করো।

A
B
C
A·(B × C)27.00
B·(C × A)27.00
C·(A × B)27.00
আয়তন (volume) |A·(B × C)|27.00
সমতলীয়? (coplanar)না
ক্রম (order)ডান-হাতি (right-handed)

চ্যালেঞ্জ (challenges)

0/6
  1. A = 2î + 4ĵ + 2k̂, B = 3î + 3ĵ + 4k̂, C = î + 2ĵ + k̂ টাইপ করো (ঢা.বো. 2021)। এরা কি সমতলীয়?
  2. “JU 2021-22” বোতাম চাপো: A = 3î + ĵ − 2k̂, B = î − 3ĵ + 4k̂, C = 2î + 3ĵ − k̂। ত্রৈধ গুণফল কত?
  3. “λ খোঁজো” চাপো (C = î + 2ĵ + λk̂, শুরুতে λ = 0)। শুধু C-এর z বদলে এমন λ বের করো যাতে তিনটি সমতলীয় হয়।
  4. সমতলীয় নয় এমন তিনটি ভেক্টর নিয়ে “A ⇄ B” বা “B ⇄ C” চাপো। আয়তন আর চিহ্নের কী হলো?
  5. “BAC − CAB যাচাই” চালু করো আর এমন ভেক্টর দাও যাতে A × (B × C) শূন্য নয়। দুই দিক কি মেলে?
  6. X(3, 2, 1) আর Y(−2, 1, 4): A = OX, B = OY, আর C = XY (= OY − OX) বসাও। এরা সমতলীয়?

পর্যবেক্ষণ খাতা (observation notebook)

এখনো কিছু লেখা হয়নি। ভেক্টর বসিয়ে “খাতায় লেখো” চাপো।

বই পড়ার সময় সাবধান — পাঠ্যবইয়ের এই অংশে কিছু ভুল আর বিভ্রান্তিকর কথা আছে:

  • আয়তনের চিহ্ন (পৃ. 105): আয়তন =A⃗⋅(B⃗×C⃗)= \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) লেখা আছে। ক্রম বাম-হাতি হলে এটি ঋণাত্মক হয়, তাই সঠিক সূত্র আয়তন =∣A⃗⋅(B⃗×C⃗)∣= |\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})|। একই পাতায় “vector triple vector” আসলে vector triple product-এর ছাপার ভুল।
  • হিসাব কর, JU 2021-22 (পৃ. 105): শুধু ইঙ্গিত ছাপা, উত্তর নেই। উত্তর: নির্ণায়ক =−36≠0= -36 \neq 0, তাই ভেক্টর তিনটি সমতলীয় নয় (আয়তন 36)।
  • সমাধানকৃত সৃজনশীল প্রশ্ন 17(খ), কু.বো. 2016 (পৃ. 128): D⃗=B⃗×C⃗\vec{D} = \vec{B}\times\vec{C} বের করে লেখা — “যেহেতু D⃗\vec{D} এবং A⃗\vec{A} পরস্পর লম্ব সুতরাং তারা অবশ্যই একই সমতলে অবস্থিত।” এ যুক্তি কিছুই প্রমাণ করে না — যেকোনো দুটি ভেক্টর তো একটি তলে থাকেই। সঠিক যুক্তি: A⃗⋅(B⃗×C⃗)=0\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) = 0, তাই A⃗\vec{A} B⃗\vec{B}–C⃗\vec{C} তলের লম্বের ওপর লম্ব, অর্থাৎ A⃗\vec{A} সেই তলেই আছে। (সংখ্যাগুলো — D⃗=−i^−5j^−3k^\vec{D} = -\hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}, D⃗⋅A⃗=0\vec{D}\cdot\vec{A} = 0 — ঠিক আছে।)
  • সৃজনশীল প্রশ্ন 11(ক) (পৃ. 123): “সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল =B⃗×A⃗= \vec{B}\times\vec{A}” — ক্ষেত্রফল একটি সংখ্যা, তাই ∣B⃗×A⃗∣=140=11.83|\vec{B}\times\vec{A}| = \sqrt{140} = 11.83 বর্গ একক।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন 23(ক), য.বো. 2021 (পৃ. 133): সূত্রে cos⁡θ=OP⃗⋅PQ⃗∣OP⃗∣∣PQ⃗∣\cos\theta = \dfrac{\vec{OP}\cdot\vec{PQ}}{|\vec{OP}||\vec{PQ}|} ছাপা, কিন্তু হিসাব করা হয়েছে OQ⃗\vec{OQ} দিয়ে। কোণ θ\theta হলো OP⃗\vec{OP} আর OQ⃗\vec{OQ}-এর মধ্যে, তাই সূত্রে OQ⃗\vec{OQ} হবে: cos⁡θ=4/21\cos\theta = 4/21, θ=79.02°\theta = 79.02°।

ঘরে বসে পরীক্ষা: তিন পেন্সিলের বাক্স

তোমার লাগবে: তিনটি পেন্সিল, এক দলা মাটি বা প্লাস্টিসিন (না থাকলে আটার দলা), একটি বই।

  1. মাটির দলায় তিনটি পেন্সিলের গোড়া এক বিন্দুতে গেঁথে দাও — এরা তোমার A⃗\vec{A}, B⃗\vec{B}, C⃗\vec{C}।
  2. দলাটি টেবিলে রাখো। দুটি পেন্সিল টেবিলের সমান্তরাল করে ছড়াও, তৃতীয়টি খাড়া রাখো। মনে মনে বাক্সটি কল্পনা করো — এটিই সবচেয়ে বড় আয়তনের অবস্থান (তৃতীয়টি তলের লম্ব)।
  3. এবার তৃতীয় পেন্সিলটি আস্তে আস্তে নোয়াও, যতক্ষণ না সেটিও টেবিলের সমান্তরাল হয়। একটি বই ওপরে আলতো করে রাখো — তিনটি পেন্সিলই বইয়ের নিচে একই তলে চাপা পড়লে তারা সমতলীয়, “বাক্স” চ্যাপ্টা।
  4. ডান হাতের তর্জনী A⃗\vec{A}, মধ্যমা B⃗\vec{B} বরাবর রেখে দেখো বুড়ো আঙুল কোন দিকে — তৃতীয় পেন্সিল সেই পাশে থাকলে ক্রমটি ডান-হাতি (ত্রৈধ গুণফল ধনাত্মক)।

নিরাপত্তা: পেন্সিলের ধারালো মাথা চোখ থেকে দূরে রাখো; মাটি খাওয়া চলবে না, কাজ শেষে হাত ধুয়ে নাও।

পরীক্ষার প্রস্তুতি

১. A⃗⋅(B⃗×C⃗)\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})-এর জ্যামিতিক অর্থ ব্যাখ্যা করো। একে ঋণাত্মক পেলে কী বুঝবে?

উত্তর দেখো

B⃗×C⃗\vec{B}\times\vec{C}-এর মান B⃗\vec{B}, C⃗\vec{C} দিয়ে গড়া সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল, দিক তার লম্ব n^\hat{n}। A⃗⋅(B⃗×C⃗)=∣B⃗×C⃗∣ (A⃗⋅n^)\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) = |\vec{B}\times\vec{C}|\,(\vec{A}\cdot\hat{n}) = ভূমির ক্ষেত্রফল × লম্ব উচ্চতা — অর্থাৎ A⃗,B⃗,C⃗\vec{A}, \vec{B}, \vec{C} যে সমান্তরাল ষড়তলকের তিনটি সন্নিহিত বাহু, তার আয়তন। ঋণাত্মক হলে আয়তন একই (∣…∣|\ldots|), শুধু ক্রমটি বাম-হাতি — A⃗\vec{A} লম্ব B⃗×C⃗\vec{B}\times\vec{C}-এর উল্টো পাশে।

২. (ঢা.বো. 2021) A⃗=2i^+4j^+2k^\vec{A} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}, B⃗=3i^+3j^+4k^\vec{B} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}, C⃗=i^+2j^+k^\vec{C} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}। (ক) B⃗\vec{B}, A⃗\vec{A} দিয়ে গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত? (খ) ভেক্টর তিনটি সমতলীয় কি না যাচাই করো।

উত্তর দেখো

(ক) B⃗×A⃗=i^(6−16)−j^(6−8)+k^(12−6)=−10i^+2j^+6k^\vec{B}\times\vec{A} = \hat{i}(6 - 16) - \hat{j}(6 - 8) + \hat{k}(12 - 6) = -10\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}। ক্ষেত্রফল =∣B⃗×A⃗∣=100+4+36=140=11.83= |\vec{B}\times\vec{A}| = \sqrt{100 + 4 + 36} = \sqrt{140} = 11.83 বর্গ একক।

(খ) B⃗×C⃗=−5i^+j^+3k^\vec{B}\times\vec{C} = -5\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}; A⃗⋅(B⃗×C⃗)=−10+4+6=0\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) = -10 + 4 + 6 = 0। ত্রৈধ গুণফল শূন্য, তাই A⃗\vec{A} লম্ব B⃗×C⃗\vec{B}\times\vec{C}-এর ওপর লম্ব, অর্থাৎ B⃗\vec{B}–C⃗\vec{C} তলেই আছে — ভেক্টর তিনটি সমতলীয়।

৩. (JU 2021-22) A⃗=3i^+j^−2k^\vec{A} = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}, B⃗=i^−3j^+4k^\vec{B} = \hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}, C⃗=2i^+3j^−k^\vec{C} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k} কি সমতলীয়? এরা যে সমান্তরাল ষড়তলক গড়ে তার আয়তন কত?

উত্তর দেখো∣31−21−3423−1∣=3(3−12)−1(−1−8)+(−2)(3+6)=−27+9−18=−36\begin{vmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 4 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = 3(3 - 12) - 1(-1 - 8) + (-2)(3 + 6) = -27 + 9 - 18 = -36

−36≠0-36 \neq 0, তাই সমতলীয় নয়। আয়তন =∣−36∣=36= |-36| = 36 ঘন একক।

৪. (অভিন্ন বোর্ড 2018) তিনটি বিন্দু A, B, C-এর স্থানাঙ্ক (2,1,−1)(2, 1, -1), (3,−2,4)(3, -2, 4), (9,−3,6)(9, -3, 6); সুষম বেগে চলা একটি বস্তু B থেকে C-তে যেতে 2 s নিল (SI একক)। (ক) BC পথে বেগ কত? (খ) বিন্দুগুলোর অবস্থান ভেক্টর তিনটি একই সমতলে কি না যুক্তি দাও।

উত্তর দেখো

(ক) BC⃗=(9−3)i^+(−3+2)j^+(6−4)k^=6i^−j^+2k^\vec{BC} = (9 - 3)\hat{i} + (-3 + 2)\hat{j} + (6 - 4)\hat{k} = 6\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}, ∣BC⃗∣=41=6.40|\vec{BC}| = \sqrt{41} = 6.40 m। বেগের মান =6.40/2=3.20 m s−1= 6.40/2 = 3.20\ \text{m s}^{-1}, দিক BC⃗\vec{BC} বরাবর (v⃗=3i^−0.5j^+k^ m s−1\vec{v} = 3\hat{i} - 0.5\hat{j} + \hat{k}\ \text{m s}^{-1})।

(খ) r⃗B×r⃗C=i^(−12+12)−j^(18−36)+k^(−9+18)=18j^+9k^\vec{r}_B\times\vec{r}_C = \hat{i}(-12 + 12) - \hat{j}(18 - 36) + \hat{k}(-9 + 18) = 18\hat{j} + 9\hat{k}। r⃗A⋅(r⃗B×r⃗C)=0+18−9=9≠0\vec{r}_A\cdot(\vec{r}_B\times\vec{r}_C) = 0 + 18 - 9 = 9 \neq 0। তাই অবস্থান ভেক্টর তিনটি একই সমতলে নেই — O, A, B, C চারটি বিন্দু এক তলে নয়; এরা 9 ঘন একক আয়তনের বাক্স গড়ে।

৫. A⃗=2i^+4j^+2k^\vec{A} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}, B⃗=3i^+3j^+4k^\vec{B} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}, C⃗=i^+2j^+λk^\vec{C} = \hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}। λ\lambda-এর কোন মানে ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হবে?

উত্তর দেখো∣24233412λ∣=2(3λ−8)−4(3λ−4)+2(6−3)=−6λ+6\begin{vmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 3 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & \lambda \end{vmatrix} = 2(3\lambda - 8) - 4(3\lambda - 4) + 2(6 - 3) = -6\lambda + 6

সমতলীয় হতে হলে −6λ+6=0-6\lambda + 6 = 0, তাই λ=1\lambda = 1।

৬. প্রমাণ করো: A⃗×(B⃗×C⃗)+B⃗×(C⃗×A⃗)+C⃗×(A⃗×B⃗)=0⃗\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C}) + \vec{B}\times(\vec{C}\times\vec{A}) + \vec{C}\times(\vec{A}\times\vec{B}) = \vec{0}।

উত্তর দেখো

BAC − CAB নিয়ম তিনবার লেখো:

A⃗×(B⃗×C⃗)=B⃗(A⃗⋅C⃗)−C⃗(A⃗⋅B⃗)B⃗×(C⃗×A⃗)=C⃗(B⃗⋅A⃗)−A⃗(B⃗⋅C⃗)C⃗×(A⃗×B⃗)=A⃗(C⃗⋅B⃗)−B⃗(C⃗⋅A⃗)\begin{aligned} \vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C}) &= \vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C}) - \vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B}) \\ \vec{B}\times(\vec{C}\times\vec{A}) &= \vec{C}(\vec{B}\cdot\vec{A}) - \vec{A}(\vec{B}\cdot\vec{C}) \\ \vec{C}\times(\vec{A}\times\vec{B}) &= \vec{A}(\vec{C}\cdot\vec{B}) - \vec{B}(\vec{C}\cdot\vec{A}) \end{aligned}

ডট গুণন বিনিময় বিধি মানে (A⃗⋅C⃗=C⃗⋅A⃗\vec{A}\cdot\vec{C} = \vec{C}\cdot\vec{A} ইত্যাদি), তাই যোগ করলে প্রতিটি পদ তার বিপরীত পদের সাথে কেটে যায়, যোগফল 0⃗\vec{0}।