পাঠ ৫ / ১৩অনুচ্ছেদ ২.৫, ২.৮

আপেক্ষিক বেগ: বৃষ্টি, ছাতা ও চলন্ত গাড়িRelative velocity: rain, umbrella & moving vehicles

এই পাঠের আগে পড়ো (read first): পাঠ ৩ — সামান্তরিক সূত্র: লব্ধির মান, দিক, সর্বোচ্চ-সর্বনিম্ন ও ভেক্টর বিয়োগ

বাতাস নেই, বৃষ্টি পড়ছে একদম খাড়া। দাঁড়িয়ে থাকলে ছাতা সোজা ধরলেই চলে। কিন্তু দৌড় শুরু করলেই মুখে, বুকে, পায়ে ফোঁটা লাগে — বৃষ্টি তো বাঁকেনি! নিচে নিজে দৌড়ে দেখো: বেগ বাড়াও, তারপর ছাতাটি হেলিয়ে এমন কোণে ধরো যাতে একটি ফোঁটাও শরীরে না পড়ে।

তোমার বেগ (your speed) v = 0.0 m/sছাতার হেলানো কোণ (umbrella tilt), উল্লম্বের সাথে = 0°

শুকনো! (dry)এবার বেগ বাড়িয়ে দেখো — শরীরে ফোঁটা পড়ছে কোথায়?

দাঁড়িয়ে থাকলে ছাতা সোজা, দৌড়ালে কেন সামনে হেলাতে হয়? আর ঠিক কতটা হেলাতে হবে — সেটি কি হিসাব করে বলা যায়? উত্তর লুকিয়ে আছে একটি ভেক্টর বিয়োগে।

এই পাঠে ধাপে ধাপে এগোব:

আপেক্ষিক বেগ (relative velocity): যে দেখছে তার বেগ বিয়োগ করো
দৌড়বিদের চোখে বৃষ্টি — প্রসঙ্গ কাঠামো (frame of reference) বদল
ছাতার কোণ: $\tan\theta = v/u$ , আর বাতাস থাকলে কী হয়
গাড়ির সামনের কাচ (windscreen) কেন বেশি ভেজে
দুটি চলন্ত বস্তু: গাড়ি–ট্রাক আর জাহাজ–নৌকা
ত্বরিত গাড়ির আপাত অভিকর্ষ (apparent gravity) আর ঢালু পথের বাস
এবার নিজে করে দেখো — বৃষ্টি ও ছাতা সিমুলেশন

ধাপ ১: আপেক্ষিক বেগ — যে দেখছে তার বেগ বিয়োগ করো

বেগ (velocity) একটি ভেক্টর (vector) রাশি — মান আর দিক দুটোই আছে। কিন্তু “বেগ কত” প্রশ্নের উত্তর নির্ভর করে কে দেখছে তার ওপর। ট্রেনে বসা যাত্রীর কাছে পাশের সিটের মানুষটি স্থির, অথচ প্ল্যাটফর্মের মানুষের কাছে সে 60 km/h বেগে ছুটছে।

দুটি বস্তু A আর B-এর বেগ মাটির সাপেক্ষে $\vec v_A$ আর $\vec v_B$ হলে, B-এর চোখে A-এর বেগ, অর্থাৎ B-এর সাপেক্ষে A-এর আপেক্ষিক বেগ:

\vec v_{AB} = \vec v_A - \vec v_B = \vec v_A + (-\vec v_B)

সামান্তরিক সূত্রের পাঠে দেখেছ, ভেক্টর বিয়োগ মানে বিপরীত ভেক্টর (negative vector) যোগ করা। তাই কৌশলটি সহজ: পর্যবেক্ষককে স্থির ধরে নাও, আর বাকি সবার বেগের সাথে পর্যবেক্ষকের বেগের উল্টো ভেক্টরটি যোগ করো।

আপেক্ষিক বেগ (relative velocity) = যাকে দেখছি তার বেগ − যে দেখছে তার বেগ। ডান দিক ধনাত্মক (positive)।

একই রেখায় চললে চিহ্ন (sign) দিয়েই কাজ হয়। কিন্তু বৃষ্টি পড়ে খাড়া নিচে আর মানুষ চলে অনুভূমিকভাবে (horizontally) — তখন লম্ব দুটি ভেক্টরের বিয়োগ লাগে, আর সেখানেই আসল মজা।

নিজে যাচাই করো

একটি বাস পূর্ব দিকে 15 m/s, আর একটি মোটরসাইকেল পশ্চিম দিকে 10 m/s বেগে চলছে। বাসের যাত্রীর কাছে মোটরসাইকেলের বেগ কত?

ধাপ ২: দৌড়বিদের চোখে বৃষ্টি

ধরো বৃষ্টি খাড়া নিচে $u$ বেগে পড়ছে আর তুমি অনুভূমিকভাবে $v$ বেগে দৌড়াচ্ছ। অনুভূমিক দিক (তোমার চলার দিক) $\hat{i}$ আর খাড়া ওপরের দিক $\hat{j}$ ধরলে:

\vec u = -u\,\hat{j}, \qquad \vec v = v\,\hat{i}

তোমার সাপেক্ষে বৃষ্টির বেগ:

\vec v_{rel} = \vec u - \vec v = -v\,\hat{i} - u\,\hat{j}, \qquad |\vec v_{rel}| = \sqrt{u^2 + v^2}

$-v\,\hat{i}$ অংশটি বলছে: তোমার চোখে ফোঁটাগুলো পেছনের দিকেও সরছে, অর্থাৎ ফোঁটা আসছে সামনে-ওপর থেকে, তেরছাভাবে মুখের দিকে। নিচের বোতাম দিয়ে দুই চোখে একই বৃষ্টি দেখো — মাটির চোখে (ground frame) ফোঁটা খাড়া, তুমি এগিয়ে যাও; দৌড়বিদের চোখে (runner’s frame) তুমি স্থির, পুরো পৃথিবী আর বৃষ্টি পেছনে সরে যায়:

দৌড়ের বেগ (running speed) v = 4.0 m/s · বৃষ্টি u = 6 m/s

v_{r e l} = u - v, ∣ v_{r e l} ∣ = 6^{2} + 4^{2} = 7.21 m/s, θ = tan^{- 1} \frac{4}{6} = 33. 7^{\circ}

ভেক্টর ত্রিভুজে (vector triangle) $\vec u$ -এর মাথা থেকে $-\vec v$ আঁকলে তৃতীয় বাহুটিই $\vec v_{rel}$ । বৃষ্টি একটুও বাঁকেনি — বাঁকা দেখাচ্ছে কারণ তুমি চলছ।

নিজে যাচাই করো

বৃষ্টি খাড়া নিচে 8 m/s বেগে পড়ছে, একজন সাইকেল আরোহী 6 m/s বেগে চলছে। আরোহীর কাছে বৃষ্টির বেগের মান কত?

ধাপ ৩: ছাতার কোণ

ছাতার দণ্ড (shaft) রাখতে হবে ঠিক সেই দিকে, যেদিক থেকে ফোঁটা আসছে — অর্থাৎ $-\vec v_{rel}$ বরাবর। তাহলে ছাতা সামনে হেলবে, উল্লম্বের (vertical) সাথে $\theta$ কোণে:

\tan\theta = \frac{\text{horizontal part}}{\text{vertical part}} = \frac{v}{u}, \qquad \theta = \tan^{-1}\frac{v}{u}

বৃষ্টি u	তোমার বেগ v	θ (উল্লম্বের সাথে)	অনুভূমিকের সাথে (horizontal)
6	0 (দাঁড়িয়ে)	0°	90°
6	4 (দৌড়)	33.7°	56.3°
6	6	45°	45°
6	8 (সাইকেল)	53.1°	36.9°
6	12	63.4°	26.6°

তিনটি জিনিস লক্ষ করো:

যত দ্রুত চলবে, θ তত বড় — ছাতা তত সামনে হেলাতে হয়। $v = u$ হলে ঠিক 45°।
বেগ দ্বিগুণ করলে কোণ দ্বিগুণ হয় না — $\tan\theta$ দ্বিগুণ হয়।
কোণ কোন রেখার সাথে মাপা, সবসময় বলবে। উল্লম্বের সাথে 63.4° মানে অনুভূমিকের সাথে 26.6° — একই ছাতা।

বাতাস থাকলে। বৃষ্টি যদি বাতাসের ধাক্কায় আগেই তোমার চলার দিকে $w$ বেগে তেরছা হয়ে পড়ে, তাহলে $\vec v_{rel} = (w - v)\,\hat{i} - u\,\hat{j}$ । ঠিক $v = w$ বেগে হাঁটলে অনুভূমিক অংশ শূন্য — তোমার কাছে বৃষ্টি খাড়া দেখাবে, ছাতা সোজা রাখলেই চলবে!

নিজে যাচাই করো

খাড়া বৃষ্টিতে একজন লোক 5 km/h বেগে হাঁটলে ছাতা উল্লম্বের সাথে 45° কোণে ধরতে হয়। বৃষ্টির বেগ কত?

ধাপ ৪: গাড়ির সামনের কাচ কেন বেশি ভেজে

একই যুক্তি গাড়িতে খাটে। গাড়ির সাপেক্ষে বৃষ্টির বেগ $\vec u - \vec v_{car}$ — এর অনুভূমিক অংশ $-v_{car}\,\hat{i}$ , মানে গাড়ির গতির উল্টো দিকে, পেছনমুখী। ফোঁটাগুলো তাই সামনে থেকে এসে সামনের কাচে (windscreen) আছড়ে পড়ে, আর পেছনের কাচ (rear glass) ছাদের “ছায়ায়” অনেকটাই শুকনো থাকে। এজন্যই ওয়াইপার (wiper) মূলত সামনের কাচে লাগানো হয়। গাড়ির বেগ বদলে দেখো:

গাড়ির বেগ (car speed) = 12 m/s (43 km/h) · বৃষ্টি 6 m/s খাড়া

গাড়ির সাপেক্ষে ফোঁটা আসছে উল্লম্বের সাথে 63.4° কোণে, সামনের দিক থেকে — অনুভূমিক অংশ 12 m/s পেছনের দিকে (backward)। দণ্ডগুলো দেখায় কোন কাচে কত ভাগ ফোঁটা পড়ছে।

নিজে যাচাই করো

খাড়া বৃষ্টিতে চলন্ত গাড়ির সাপেক্ষে বৃষ্টির বেগের অনুভূমিক অংশ কোন দিকে?

ধাপ ৫: দুটি চলন্ত বস্তু — গাড়ি–ট্রাক আর জাহাজ–নৌকা

আপেক্ষিক বেগের সমীকরণটি উল্টো দিক থেকেও কাজে লাগে। পর্যবেক্ষক যা দেখে (আপেক্ষিক বেগ) আর পর্যবেক্ষকের নিজের বেগ জানলে বস্তুর আসল বেগ পাই:

\vec v_B = \vec v_{\text{observer}} + \vec v_{B,\text{rel}}

(ক) গাড়ি–ট্রাক। একটি গাড়ি পূর্ব দিকে 40 km/h বেগে চলছে। গাড়ির যাত্রীর মনে হয় একটি ট্রাক উত্তর দিকে $40\sqrt{3}$ km/h বেগে চলছে। পূর্ব $\hat{i}$ , উত্তর $\hat{j}$ ধরলে:

\vec v_{truck} = 40\,\hat{i} + 40\sqrt{3}\,\hat{j}, \quad |\vec v_{truck}| = \sqrt{40^2 + 4800} = 80\ \text{km/h}, \quad \tan\beta = \frac{40}{40\sqrt{3}} \Rightarrow \beta = 30^\circ

অর্থাৎ ট্রাকের আসল বেগ 80 km/h, উত্তরের সাথে 30° পূর্বে (N30°E)।

(খ) জাহাজ–নৌকা। একটি জাহাজ পূর্ব দিকে 20 km/h বেগে চলছে। একটি নৌকা N30°E দিকে চলছে, অথচ জাহাজ থেকে নৌকাটিকে ঠিক উত্তরে চলতে দেখা যায়। নৌকার বেগ $s$ হলে $\vec v_{boat} = s\sin30^\circ\,\hat{i} + s\cos30^\circ\,\hat{j}$ , আর

\vec v_{boat} - \vec v_{ship} = (s\sin30^\circ - 20)\,\hat{i} + s\cos30^\circ\,\hat{j}

ঠিক উত্তরে দেখাতে হলে $\hat{i}$ অংশ শূন্য: $s \times \tfrac{1}{2} = 20 \Rightarrow s = 40$ km/h।

নীল = পর্যবেক্ষকের বেগ (observer), সবুজ = আপেক্ষিক বেগ (relative), লাল = আসল বেগ (true) = নীল + সবুজ।

নিজে যাচাই করো

উপরের জাহাজ–নৌকা উদাহরণে জাহাজ থেকে নৌকাটিকে কত বেগে উত্তরে যেতে দেখা যায়?

ধাপ ৬: ত্বরিত গাড়ি আর ঢালু পথের বাস

আপাত অভিকর্ষ (apparent gravity)। একটি গাড়ি সামনের দিকে $a$ ত্বরণে (acceleration) বেগ বাড়াচ্ছে। ভেতরে ছাদ থেকে সুতোয় একটি বল ঝোলানো। গাড়ির ভেতরের মানুষের কাছে মনে হয় অভিকর্ষ শুধু নিচে নয়, একটু পেছনেও টানছে — যেন বৃষ্টির মতোই, পর্যবেক্ষকের ত্বরণ বিয়োগ হয়:

\vec g' = \vec g - \vec a, \qquad |\vec g'| = \sqrt{g^2 + a^2}, \qquad \tan\theta = \frac{a}{g}

বলটি উল্লম্ব থেকে $\theta$ কোণে পেছনে হেলে থাকে। $a = 6$ m/s², $g = 9.8$ m/s² হলে $g' = \sqrt{96.04 + 36} = 11.49$ m/s², আর $\theta = \tan^{-1}(6/9.8) = 31.5^\circ$ ।

ঢালু পথের বাস। একটি বাস 30° ঢালের রাস্তা বেয়ে 20 m/s বেগে উঠছে, বৃষ্টি পড়ছে খাড়া 6 m/s বেগে। এখন বাসের বেগের নিজেরই একটি খাড়া অংশ আছে, তাই উপাংশে (components) ভাঙো:

\vec v_{bus} = 20\cos30^\circ\,\hat{i} + 20\sin30^\circ\,\hat{j} = 17.32\,\hat{i} + 10\,\hat{j}

\vec v_{rel} = -6\,\hat{j} - \vec v_{bus} = -17.32\,\hat{i} - 16\,\hat{j}, \quad |\vec v_{rel}| = \sqrt{17.32^2 + 16^2} = 23.58\ \text{m/s}

\theta = \tan^{-1}\frac{17.32}{16} = 47.27^\circ \ \text{(from the vertical)}

বৃষ্টি যদি বাসের দিকে (সামনের দিকে) 17.32 m/s বেগের বাতাসে তেরছা হয়, তাহলে অনুভূমিক অংশ $17.32 - 17.32 = 0$ — যাত্রীদের কাছে বৃষ্টি খাড়া দেখাবে।

নিজে যাচাই করো

ত্বরিত গাড়িতে ঝোলানো বল উল্লম্বের সাথে 45° কোণে পেছনে হেলে আছে। গাড়ির ত্বরণ কত? (g = 9.8 m/s²)

ধাপ ৭: এবার নিজে করে দেখো

এই সিমুলেশনে বৃষ্টির বেগ, বাতাস, তোমার (বা সাইকেল, বাসের) বেগ আর রাস্তার ঢাল — সব বদলাতে পারবে। ছাতার কোণের স্লাইডার ঘুরিয়ে ছাতাটি ড্যাশ রেখার সাথে মেলাও; ঠিক হলে সবুজ “শুকনো!” দেখাবে। ডানে (ফোনে নিচে) ভেক্টর ত্রিভুজটি স্কেলে আঁকা — আগে খাতায় হিসাব করো, তারপর মিলিয়ে দেখো। “ত্বরিত গাড়ি” মোডে আপাত অভিকর্ষ।

বৃষ্টি, ছাতা ও আপেক্ষিক বেগ

Rain, umbrella & relative velocity

↗

বৃষ্টির বেগ (rain speed) u = 6.0 m/sবাতাস (wind), + = সামনের দিকে = 0.0 m/sপথিক/গাড়ির বেগ (observer speed) v = 4.0 m/sরাস্তার ঢাল (road slope) = 0 °ছাতার কোণ (umbrella tilt), উল্লম্ব থেকে = 0.0 °

আরও সামনে হেলাও (tilt forward)অনুভূমিকের সাথে (horizontal): 56.3°

আপেক্ষিক বেগ (relative velocity) |v_rel| = 7.21 m/s · অনুভূমিক অংশ 4.00 m/s সামনে থেকে আসে · উল্লম্ব অংশ 6.00 m/s নিচে
দৃশ্যে ফোঁটার গতি ছোট করে দেখানো (speeds scaled for viewing); কোণ ও হিসাব নির্ভুল।

চ্যালেঞ্জ (challenges)

0/6

বৃষ্টি 6 m/s, দৌড়বিদ 4 m/s: ছাতা ঠিক কোণে ধরো।
বৃষ্টি 4, হাঁটা 3 (km/h হলেও চলবে — কোণ শুধু অনুপাতের ওপর নির্ভর করে): ছাতা ঠিক করো।
একই 6 km/h বৃষ্টিতে হাঁটা (4) আর সাইকেল (8) — দুটি সারি খাতায় লেখো, কোণ তুলনা করো। (0/2)
বৃষ্টি 6 m/s। কোন বেগে ফোঁটা 45° কোণে লাগে? সেটি লেখো, তারপর বেগ দ্বিগুণ করে আবার লেখো। (0/2)
বাস 30° ঢালে 20 m/s বেগে উঠছে, বৃষ্টি 6 m/s: ছাতার কোণ বের করো; তারপর বাতাস দিয়ে বৃষ্টিকে খাড়া দেখাও। (0/2)
ত্বরিত গাড়ি মোডে a = 6 m/s² করো: ঝোলানো বল কত কোণে হেলে, g′ কত?

পর্যবেক্ষণ খাতা (observation notebook)

এখনো কিছু লেখা হয়নি। বৃষ্টি মোডে মান বসিয়ে “খাতায় লেখো” চাপো।

বই পড়ার সময় সাবধান

p030 (কাজ II, উইন্ডস্ক্রিন): বইয়ে লেখা “লব্ধি বেগ … গাড়ির গতির দিকে ক্রিয়া করে”। ভুল। গাড়ির সাপেক্ষে বৃষ্টির বেগ $\vec u - \vec v_{car}$ , এর অনুভূমিক অংশ গাড়ির গতির বিপরীতে (পেছনে) — তাই ফোঁটা সামনে থেকে এসে সামনের কাচে পড়ে। বইয়ের p018-এর ব্যাখ্যাটি ঠিক, সেটিই লিখো।
p052, সমাধানকৃত প্রশ্ন ১(খ): 12 m/s বেগে সাইকেল, 6 m/s বৃষ্টি — উত্তর “26.57° কোণে ছাতা ধরতে হবে”। এটি অনুভূমিকের সাথে কোণ, অথচ বই নিজেই p015, p017-এ উল্লম্বের সাথে মাপে। উল্লম্বের সাথে ছাতার কোণ $\tan^{-1}(12/6) = 63.43^\circ$ । উত্তরে সবসময় লিখো কোন রেখার সাথে: “উল্লম্বের সাথে 63.43°, অর্থাৎ অনুভূমিকের সাথে 26.57°”। (বইয়ের মান (book value): 26.57°)
p016, উদাহরণ ২.২-৬: “tanθ = 0.61 = tan 31.4°” — আসলে $\tan^{-1}(6/9.8) = 31.5^\circ$ (শুধু রাউন্ডিং; $g' = 11.49$ m/s² ঠিক আছে)।
p071–p072, CQ27 (ঢালু পথের বাস): সমাধানে “tan 90° = …” দিয়ে সমীকরণ লেখা হয়েছে (tan 90° অসংজ্ঞায়িত, undefined), আর বাতাসের দিকও বলা নেই। উত্তর 17.32 m/s ঠিক — কিন্তু উপাংশে ভেঙে লিখো: অনুভূমিক অংশ $w - 20\cos30^\circ = 0$ , বাতাস সামনের দিকে 17.32 m/s।
p093 (CQ23) ও p015 (উদাহরণ ৪)-এর চিত্র: যে তীরটিকে “বাতাস” লেখা হয়েছে, সেটি আসলে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ (relative velocity of rain)। বাতাস না থাকলেও এই তেরছা তীর থাকে।

ঘরে বসে পরীক্ষা: কার্ডবোর্ডের ছাতা

যা লাগবে: একটি কার্ডবোর্ডের টুকরো (প্রায় 40 cm × 40 cm) একটি লাঠি বা স্কেলে টেপ দিয়ে লাগানো (“ছাতা”), একটি সাদা কাগজ, ঝাঁঝরি (watering can), আর একজন সাহায্যকারী।

সাহায্যকারী ঝাঁঝরিটি একটি নির্দিষ্ট উচ্চতায় স্থির ধরে রাখবে — পানি খাড়া পড়বে। (হালকা বৃষ্টির দিনেও করা যায়।)
কাগজটি বুকে লাগাও। ছাতাটি সোজা ধরে ঝাঁঝরির নিচ দিয়ে ধীরে হাঁটো — কাগজ কি শুকনো থাকে?
এবার একটু দ্রুত হাঁটো। কাগজে ফোঁটা পড়ছে? ছাতাটি কতটা সামনে হেলালে কাগজ শুকনো থাকে, লক্ষ করো। কেউ মোবাইলে ভিডিও করলে পরে কোণটি মাপতে পারবে।
হাঁটার বেগ আন্দাজ করো (কত সেকেন্ডে কত মিটার), আর পানির পড়ার বেগ ধরো ≈ 4–5 m/s (কয়েক মিটার ওপর থেকে পড়া পানি বা বড় ফোঁটার মোটামুটি মান — আনুমানিক, মাপা নয়)। $\tan^{-1}(v/u)$ -এর সাথে মাপা কোণ মেলে কি?

ঘরের ভেতরের বিকল্প: একটি জুতার বাক্স হাতে নিয়ে সমান বেগে হাঁটো, আর সাহায্যকারী ওপর থেকে (তোমার পাশে স্থির দাঁড়িয়ে) একটি ছোট কাগজের বল ছেড়ে দেবে যাতে বাক্সে পড়ে। বাক্সের সাপেক্ষে বলটি কোন দিক থেকে ঢোকে?

নিরাপত্তা: ভেজা মেঝেতে বা পিচ্ছিল পথে কখনো দৌড়াবে না — শুধু হাঁটো, আর এমন জায়গা বেছে নাও যেখানে পা পিছলায় না। বজ্রপাতের (lightning) সময় বাইরে পরীক্ষা করো না। পানি বৈদ্যুতিক সুইচ-সকেট থেকে দূরে রাখো।

পরীক্ষার প্রস্তুতি

১. বৃষ্টির মধ্যে দৌড়ানোর সময় ছাতা সামনের দিকে হেলিয়ে ধরতে হয় কেন? ব্যাখ্যা করো।

বৃষ্টি খাড়া $u$ বেগে পড়ে, মানুষ অনুভূমিক $v$ বেগে চলে। মানুষের সাপেক্ষে বৃষ্টির বেগ $\vec v_{rel} = \vec u - \vec v = \vec u + (-\vec v)$ । $-\vec v$ পেছনমুখী, তাই $\vec v_{rel}$ সামনে-ওপর থেকে তেরছাভাবে আসে, উল্লম্বের সাথে $\theta = \tan^{-1}(v/u)$ কোণে। বৃষ্টি থেকে বাঁচতে ছাতার দণ্ড $-\vec v_{rel}$ বরাবর, অর্থাৎ উল্লম্বের সাথে $\theta$ কোণে সামনে হেলিয়ে ধরতে হয়। বেগ যত বেশি, $\theta$ তত বড়।

২. বৃষ্টির সময় চলন্ত গাড়ির সামনের কাচ পেছনের কাচের চেয়ে বেশি ভেজে কেন? ওয়াইপার সামনের কাচে থাকে কেন?

গাড়ির সাপেক্ষে বৃষ্টির বেগ $\vec u - \vec v_{car}$ । এর অনুভূমিক অংশ $-v_{car}$ , গাড়ির গতির বিপরীতে। তাই গাড়ির চোখে ফোঁটা সামনে-ওপর থেকে তেরছা হয়ে আসে আর সামনের কাচে আঘাত করে; পেছনের কাচ ছাদের আড়ালে পড়ে। চালকের দৃষ্টি পরিষ্কার রাখতে তাই ওয়াইপার সামনের কাচে। গাড়ি যত দ্রুত, ফোঁটা তত বেশি অনুভূমিকভাবে আসে।

৩. খাড়াভাবে 6 m/s বেগে বৃষ্টি পড়ছে। একজন লোক 4 m/s বেগে দৌড়ালে বৃষ্টি থেকে বাঁচতে ছাতা কোন দিকে কত কোণে ধরতে হবে? লোকটির সাপেক্ষে বৃষ্টির বেগ কত?

$|\vec v_{rel}| = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} = 7.21$ m/s।

$\tan\theta = \dfrac{4}{6} \Rightarrow \theta = 33.69^\circ \approx 33.7^\circ$ — উল্লম্বের সাথে, সামনের দিকে (অনুভূমিকের সাথে 56.3°)।

৪. একটি গাড়ি পূর্ব দিকে 40 km/h বেগে চলছে। গাড়ির আরোহীর কাছে একটি ট্রাককে উত্তর দিকে 40√3 km/h বেগে চলতে দেখা যায়। ট্রাকের প্রকৃত বেগ নির্ণয় করো।

$\vec v_{truck} = \vec v_{car} + \vec v_{rel} = 40\,\hat{i} + 40\sqrt{3}\,\hat{j}$ (পূর্ব $\hat{i}$ , উত্তর $\hat{j}$ )।

$|\vec v_{truck}| = \sqrt{1600 + 4800} = 80$ km/h; $\tan\beta = \dfrac{40}{40\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \beta = 30^\circ$ ।

ট্রাক 80 km/h বেগে উত্তরের সাথে 30° পূর্ব দিকে (N30°E) চলছে।

৫. নাফিসা 12 m/s বেগে সাইকেল চালাচ্ছে; বৃষ্টি খাড়া 6 m/s বেগে পড়ছে। সে বলল, “ছাতা 26.57° কোণে ধরলেই চলবে।” তার কথা কি ঠিক? বেগ অর্ধেক করলে কোণ কত হবে?

$\tan\theta = \dfrac{12}{6} = 2 \Rightarrow \theta = 63.43^\circ$ উল্লম্বের সাথে। অনুভূমিকের সাথে এটি $90^\circ - 63.43^\circ = 26.57^\circ$ ।

তাই নাফিসার সংখ্যাটি ঠিক কেবল যদি সে অনুভূমিকের সাথে কোণ বোঝায়; উল্লম্ব থেকে 26.57° হেলালে সে ভিজবে। কোণ বলার সময় রেফারেন্স রেখা বলতেই হবে।

বেগ অর্ধেক (6 m/s) হলে $\tan\theta = 1$ , $\theta = 45^\circ$ — উল্লম্ব ও অনুভূমিক দুটির সাথেই।

৬. একটি বাস 30° ঢালের রাস্তা বেয়ে 20 m/s বেগে উপরে উঠছে। বৃষ্টি খাড়া 6 m/s বেগে পড়ছে। (ক) বাসের যাত্রীর কাছে বৃষ্টির বেগ ও দিক নির্ণয় করো। (খ) কত বেগের, কোন দিকের বাতাস বইলে যাত্রীর কাছে বৃষ্টি খাড়া মনে হবে?

(ক) $\vec v_{bus} = 20\cos30^\circ\,\hat{i} + 20\sin30^\circ\,\hat{j} = 17.32\,\hat{i} + 10\,\hat{j}$ ।

$\vec v_{rel} = -6\,\hat{j} - \vec v_{bus} = -17.32\,\hat{i} - 16\,\hat{j}$ ; $|\vec v_{rel}| = \sqrt{300 + 256} = 23.58$ m/s।

$\tan\theta = \dfrac{17.32}{16} \Rightarrow \theta = 47.27^\circ$ — উল্লম্বের সাথে, সামনে থেকে আসে।

(খ) বাতাস বৃষ্টিকে অনুভূমিকভাবে $w$ বেগ দিলে আপেক্ষিক বেগের অনুভূমিক অংশ $w - 17.32$ । খাড়া দেখাতে হলে এটি শূন্য: $w = 17.32$ m/s, বাসের চলার দিকে (সামনের দিকে)।

৭. MCQ: একটি গাড়ি 6 m/s² ত্বরণে চলছে। গাড়ির ছাদ থেকে ঝোলানো সরল দোলকের সুতা উল্লম্বের সাথে কত কোণে হেলে থাকবে? (g = 9.8 m/s²) (ক) 0° (খ) 31.5° (গ) 58.5° (ঘ) 37°

(খ) 31.5°। $\tan\theta = a/g = 6/9.8 = 0.612 \Rightarrow \theta = 31.5^\circ$ , গাড়ির গতির বিপরীতে (পেছনে)। আপাত অভিকর্ষ $g' = \sqrt{9.8^2 + 6^2} = 11.49$ m/s²। (58.5° হলো অনুভূমিকের সাথে কোণ।)