পাঠ ১০ / ১২অনুচ্ছেদ ২.৭.৩–২.৭.৪

ধারকে সঞ্চিত শক্তি ও শক্তি ঘনত্বEnergy stored in a capacitor & energy density

এই পাঠের আগে পড়ো (read first): পাঠ ৯ — ধারকের শ্রেণি ও সমান্তরাল সমবায়

ক্যামেরার ফ্ল্যাশ এক হাজার ভাগের এক সেকেন্ডে ঝলসে ওঠে, অথচ ক্যামেরার ব্যাটারি মাত্র কয়েক ভোল্টের। আলোর শক্তিটা আগে থেকে জমা থাকে একটি ধারকে (capacitor)। নিচের ফ্ল্যাশে ধারকত্ব আর বিভব বেছে চার্জ করো, তারপর ফ্ল্যাশ চাপো:

ধারকত্ব (capacitance) C = 120 μFচার্জ করার বিভব (voltage) V = 150 V

এই C আর V-তে শক্তি U = ½CV²1.35 J

শেষ ফ্ল্যাশের আলো (relative light)—

C আর V বেছে “চার্জ করো” চাপো, তারপর “ফ্ল্যাশ”। এরপর শুধু V দ্বিগুণ করে আবার করো — আলো কতগুণ হলো?

ভোল্টেজ দ্বিগুণ করলে আলো কতগুণ হয়? দ্বিগুণ নয় — চারগুণ। কেন, আর শক্তিটা ধারকের ঠিক কোথায় থাকে, সেটাই এই পাঠ।

এই পাঠে ধাপে ধাপে এগোব:

চার্জ করতে কাজ — Q–V লেখচিত্রের নিচের ক্ষেত্রফল (area under the Q–V graph)
শক্তি থাকে তড়িৎ ক্ষেত্রে — শক্তি ঘনত্ব (energy density) $u = \tfrac12\varepsilon_0E^2$
ব্যাটারি যুক্ত (connected) বনাম খোলা (isolated) — পাত সরালে বা ডাইইলেকট্রিক ঢোকালে
চার্জ ভাগাভাগিতে (charge sharing) শক্তি হারায়
নিষ্ক্রিয়করণ (discharge) — ফ্ল্যাশ, ডিফিব্রিলেটর আর তাপ
ভাঙন (dielectric breakdown) — ধারক কতটা শক্তি রাখতে পারে
এবার নিজে করে দেখো — শক্তির খাতা ল্যাব

আগে জেনে নাও: ধারকত্ব $C = Q/V$ , সমান্তরাল পাত ধারকের $C = K\varepsilon_0A/d$ (পাঠ ৮), আর ধারকের সমবায় (পাঠ ৯)।

ধাপ ১: চার্জ করতে কাজ — লেখচিত্রের ক্ষেত্রফল

$C$ ধারকত্বের একটি খালি ধারক ধরো। ব্যাটারি এক পাত থেকে ইলেকট্রন টেনে অন্য পাতে পাঠায় — একটু একটু করে। কোনো মুহূর্তে পাতে চার্জ $q$ থাকলে দুই পাতের বিভব পার্থক্য (potential difference) $v = q/C$ । এখন আরও $dq$ চার্জ সরাতে কাজ (work)

dW = v\,dq = \frac{q}{C}\,dq

প্রথম চার্জটুকু সরাতে প্রায় কোনো কাজ লাগে না ( $v \approx 0$ ), শেষেরটুকুতে সবচেয়ে বেশি। শূন্য থেকে $Q$ পর্যন্ত যোগ (সমাকলন, integration) করলে:

W = \int_0^{Q} \frac{q}{C}\,dq = \frac{Q^2}{2C}

এই কাজই ধারকে সঞ্চিত শক্তি (stored energy) $U$ হয়ে থাকে। $Q = CV$ বসালে তিন রূপ:

U = \frac{Q^2}{2C} = \frac12QV = \frac12CV^2

লেখচিত্রে $v$ বনাম $q$ একটি মূলবিন্দুগামী সরলরেখা, আর $U$ হলো তার নিচের ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল — ভূমি $Q$ , উচ্চতা $V$ , ক্ষেত্রফল $\tfrac12QV$ । কিন্তু ব্যাটারি পুরো সময় তার নিজের বিভব $V$ -এ চার্জ ঠেলে, তাই ব্যাটারির কাজ $QV$ — আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল। বাকি অর্ধেক কোথায়? স্লাইডার টেনে দেখো:

ত্রিভুজ = সঞ্চিত শক্তি (stored)বাকিটা = তাপ (heat)আয়তক্ষেত্র = ব্যাটারির কাজ (battery work)

কতটা চার্জ হলো (charged): 40 %

চার্জ q, বিভব v = q/C9.60 μC, 4.80 V

সঞ্চিত শক্তি (stored) ½qv23.0 μJ

ব্যাটারির কাজ (battery) V_bq115 μJ

তাপ (heat in wires)92.2 μJ

স্লাইডার টানো। শুরুতে ধারকের বিভব শূন্য, তাই প্রথম চার্জ তুলতে প্রায় কাজই লাগে না; পরের চার্জগুলোকে বাড়তে থাকা বিভবের বিরুদ্ধে ঠেলতে হয়।

ব্যাটারি দেয় $QV$ , ধারকে জমে $\tfrac12QV$ , আর ঠিক অর্ধেক তারের রোধে তাপ (আর সামান্য বেতার তরঙ্গ) হয়ে যায় — রোধ কম হলে তড়িৎপ্রবাহ বেশি, কিন্তু সময় কম; হিসাব কষলে তাপ সবসময় $\tfrac12QV$ । একক: জুল (joule, J) — $\text{F}\cdot\text{V}^2 = (\text{C/V})\,\text{V}^2 = \text{C}\cdot\text{V} = \text{J}$ ।

নিজে যাচাই করো

4 μF ধারককে 9 V-এ চার্জ করলে সঞ্চিত শক্তি কত?

ধাপ ২: শক্তি থাকে তড়িৎ ক্ষেত্রে

শক্তিটা কি পাতের চার্জে বসে থাকে? সমান্তরাল পাত ধারকে হিসাব করো। পাতের ক্ষেত্রফল $A$ , দূরত্ব $d$ , ভেতরে সুষম তড়িৎ প্রাবল্য (electric field intensity) $E$ , তাই $V = Ed$ আর $C = \varepsilon_0A/d$ :

U = \frac12CV^2 = \frac12\,\frac{\varepsilon_0A}{d}\,(Ed)^2 = \frac12\varepsilon_0E^2\,(Ad)

$Ad$ হলো দুই পাতের মাঝের আয়তন — যেখানে ক্ষেত্র আছে। তাই প্রতি একক আয়তনে শক্তি, অর্থাৎ শক্তি ঘনত্ব (energy density):

u = \frac{U}{Ad} = \frac12\varepsilon_0E^2 \qquad \text{(J m}^{-3}\text{)}

পাতের মাঝে $K$ ডাইইলেকট্রিক থাকলে $u = \tfrac12K\varepsilon_0E^2$ । সূত্রে $A$ , $d$ , চার্জ কিছুই নেই — শুধু সেই জায়গার $E$ । এজন্য বলা হয়: শক্তি থাকে ক্ষেত্রে (in the field), পাতে নয়। (এই ধারণাই পরে আলো আর বেতার তরঙ্গে শক্তি বয়ে নেওয়া বোঝায়।)

উদাহরণ: $A = 0.03$ m², $d = 2$ mm, 150 V। তাহলে $E = 150/0.002 = 7.5 \times 10^4$ V m⁻¹, $u = \tfrac12 \times 8.854 \times 10^{-12} \times (7.5 \times 10^4)^2 = 2.49 \times 10^{-2}$ J m⁻³, আর $U = u \times Ad = 2.49 \times 10^{-2} \times 6 \times 10^{-5} = 1.49 \times 10^{-6}$ J — ঠিক $\tfrac12CV^2$ -এর সমান।

নিচের বাক্সে প্রতিটি হলুদ “শক্তির ঘনক” শুরুর শক্তির 1/12 ভাগ। ঘনকের ঘনত্ব ∝ $u$ , আর মোট সংখ্যা ∝ $U$ । ব্যাটারি খোলা আর যুক্ত — দুই অবস্থায় $d$ বদলাও:

পাতের দূরত্ব (separation) d = 2.0 mm

বিভব (voltage) V100 V

প্রাবল্য (field) E = V/d50000 V/m

শক্তি ঘনত্ব (energy density) u = ½ε₀E²0.0111 J/m³

মোট শক্তি U = u × Ad221 nJ · × 1.00

স্লাইডার টেনে d বদলাও। দুই অবস্থায় (ব্যাটারি খোলা আর যুক্ত) ঘনকের ঘনত্ব আর সংখ্যা কী হয় দেখো।

নিজে যাচাই করো

সমান্তরাল পাত ধারকে A = 0.04 m², d = 0.002 m, বিভব পার্থক্য 60 V। পাতের মাঝে শক্তি ঘনত্ব কত?

ধাপ ৩: ব্যাটারি যুক্ত বনাম খোলা

পাত সরালে বা ডাইইলেকট্রিক ঢোকালে $C$ বদলায়। শক্তির কী হবে, তা নির্ভর করে কোনটি স্থির থাকে:

ব্যাটারি যুক্ত (connected): $V$ স্থির, তাই $U = \tfrac12CV^2 \propto C$ ।
ব্যাটারি খোলা, ধারক বিচ্ছিন্ন (isolated): $Q$ স্থির (চার্জ যাওয়ার পথ নেই), তাই $U = Q^2/2C \propto 1/C$ ।

পরিবর্তন	ব্যাটারি যুক্ত ( $V$ স্থির)	বিচ্ছিন্ন ( $Q$ স্থির)
$d \to 2d$ ( $C \to C/2$ )	$U \to U/2$	$U \to 2U$
$d$ 20 % কম, $d \to 0.8d$ ( $C \to 1.25C$ )	$U \to 1.25U$ (25 % বেশি)	$U \to 0.8U$
$K$ ডাইইলেকট্রিক ঢোকানো ( $C \to KC$ )	$U \to KU$	$U \to U/K$

শক্তি তো এমনি এমনি আসে-যায় না। পাত দুটি বিপরীত চার্জে পরস্পরকে টানে, তাই:

বিচ্ছিন্ন ধারকের পাত টেনে আলাদা করতে তোমাকে কাজ করতে হয় — সেই কাজই বাড়তি শক্তি ( $U \to 2U$ )।
ব্যাটারি যুক্ত রেখে $d$ দ্বিগুণ করলে $Q$ অর্ধেক হয়: $Q/2$ চার্জ ব্যাটারিতে ফেরত যায়, ব্যাটারি পায় $\tfrac12CV^2$ শক্তি। এর অর্ধেক ( $\tfrac14CV^2$ ) এল ধারকের শক্তি কমে, বাকি অর্ধেক তোমার টানার কাজ থেকে।

সাধারণ নিয়ম (ধীরে সরালে তাপ হয় না): তোমার কাজ = $\Delta U$ − ব্যাটারির কাজ, যেখানে ব্যাটারির কাজ $= V\,\Delta Q$ । ধাপ ৭-এর ল্যাবে এই হিসাবের খাতা আছে।

নিজে যাচাই করো

একটি সমান্তরাল পাত ধারক চার্জ করে ব্যাটারি খুলে নেওয়া হলো। এরপর পাতের দূরত্ব দ্বিগুণ করলে সঞ্চিত শক্তি কত হবে?

ধাপ ৪: চার্জ ভাগাভাগিতে শক্তি হারায়

$C_1$ ধারক $V_1$ বিভবে আর $C_2$ ধারক $V_2$ বিভবে আছে। সমধর্মী পাত তার দিয়ে জুড়লে চার্জ চলে যতক্ষণ না বিভব সমান হয়। চার্জ সংরক্ষিত থাকে, তাই সাধারণ বিভব (common potential)

V = \frac{C_1V_1 + C_2V_2}{C_1 + C_2}

কিন্তু শক্তি সংরক্ষিত থাকে না। আগের আর পরের শক্তি বিয়োগ করলে:

\Delta U = \frac12C_1V_1^2 + \frac12C_2V_2^2 - \frac12(C_1 + C_2)V^2 = \frac{C_1C_2\,(V_1 - V_2)^2}{2\,(C_1 + C_2)}

এটি সবসময় ধনাত্মক (বর্গ!) — শক্তি সবসময় কমে, যদি না বিভব আগে থেকেই সমান থাকে। হারানো শক্তি জোড়ার তারে তাপ, স্ফুলিঙ্গ (spark) আর বেতার তরঙ্গ হয়ে যায়। উদাহরণ: $V_0$ -এ চার্জিত $C$ -কে একটি খালি $2C$ -এর সাথে জুড়লে সাধারণ বিভব $V_0/3$ , আর

চার্জ সংরক্ষিত থাকে (Q = 3C × V₀/3), কিন্তু শক্তি থাকে না: জোড়ার মুহূর্তে তারে স্ফুলিঙ্গ (spark) আর তাপে দুই-তৃতীয়াংশ শক্তি চলে যায়। মোট শক্তি U → U/3।

নিজে যাচাই করো

U শক্তিসম্পন্ন একটি চার্জিত ধারককে একই রকম একটি খালি ধারকের সাথে জোড়া হলো। দুটির মোট শক্তি কত?

ধাপ ৫: নিষ্ক্রিয়করণ — শক্তি কোথায় যায়

চার্জিত ধারকের দুই পাত পরিবাহী দিয়ে জুড়লে নিষ্ক্রিয়করণ (discharge) হয়: পুরো $\tfrac12CV^2$ তাপ, আলো আর শব্দে (স্ফুলিঙ্গের “চট”) রূপান্তরিত হয়। ধারকের আসল গুণ মোট শক্তি নয় — দ্রুততা। একটি AA ব্যাটারিতে প্রায় 10 000 J থাকে, ফ্ল্যাশের ধারকে মাত্র কয়েক জুল; কিন্তু ধারক তা 1 ms-এ ছেড়ে দিতে পারে, অর্থাৎ হাজার ওয়াটের ক্ষমতা (power)।

যন্ত্র	ধারক	শক্তি
ক্যামেরার ফ্ল্যাশ (camera flash)	প্রায় 120 μF, 330 V	$\tfrac12 \times 120 \times 10^{-6} \times 330^2 \approx 6.5$ J
ডিফিব্রিলেটর (defibrillator) — থেমে যাওয়া হৃৎপিণ্ড চালু করার যন্ত্র	কয়েক হাজার ভোল্ট	প্রায় 150–360 J
ঘরের পরীক্ষা (নিচে)	1000 μF, 4.5 V	প্রায় 10 mJ

তাপমিতি (calorimetry)-র প্রশ্ন: 220 V-এ চার্জিত একটি ধারক একটি 0.15 kg ধাতব খণ্ডের ভেতরের তারে নিষ্ক্রিয় করলে খণ্ডের তাপমাত্রা 0.4 K বাড়ে ( $s = 220$ J kg⁻¹ K⁻¹)। পুরো শক্তি তাপ হলে $\tfrac12CV^2 = ms\,\Delta\theta$ :

C = \frac{2ms\,\Delta\theta}{V^2} = \frac{2 \times 0.15 \times 220 \times 0.4}{220^2} = 5.45 \times 10^{-4}\ \text{F} = 545\ \mu\text{F}

নিজে যাচাই করো

একটি ধারকে সঞ্চিত শক্তি দ্বিগুণ করতে হবে (C একই)। বিভব কত গুণ করতে হবে?

ধাপ ৬: ভাঙন — ধারক কতটা শক্তি রাখতে পারে

$U = \tfrac12CV^2$ দেখে মনে হয় বিভব বাড়ালেই যত খুশি শক্তি। কিন্তু প্রতিটি ডাইইলেকট্রিক একটি সর্বোচ্চ প্রাবল্য সহ্য করতে পারে, যার নাম ডাইইলেকট্রিক সহনশীলতা (dielectric strength) $E_{\max}$ । এর বেশি হলে অণু থেকে ইলেকট্রন ছিটকে বেরিয়ে যায়, অন্তরক হঠাৎ পরিবাহী হয়ে স্ফুলিঙ্গ ঘটে — একে বলে ভাঙন (breakdown)। তাই সর্বোচ্চ শক্তি ঘনত্ব $u_{\max} = \tfrac12K\varepsilon_0E_{\max}^2$ :

ডাইইলেকট্রিক	$K$	$E_{\max}$ (প্রায়)	$u_{\max}$
বাতাস (air)	1.0005	3 MV m⁻¹	40 J m⁻³
কাগজ (paper)	3.7	16 MV m⁻¹	4.2 × 10³ J m⁻³
অভ্র (mica)	6	100 MV m⁻¹	2.7 × 10⁵ J m⁻³

( $E_{\max}$ উপাদানের মান, পুরুত্ব আর আর্দ্রতা অনুযায়ী বদলায়; মানগুলো আনুমানিক। উৎস: Serway ও Halliday-এর সারণি।) বড় $K$ আর বড় $E_{\max}$ — দুটোই লাগে; এজন্য ধারকের গায়ে সর্বোচ্চ বিভব (যেমন “16 V”) লেখা থাকে। ল্যাবে বাতাস রেখে $d = 0.5$ mm করে 2000 V দিলে ভাঙন নিজেই দেখবে।

নিজে যাচাই করো

বাতাসে 1 mm ফাঁকের একটি পাত-ধারকে সর্বোচ্চ কত ভোল্ট দেওয়া যায় (বাতাসের E_max ≈ 3 MV/m)?

ধাপ ৭: এবার নিজে করে দেখো

নিচের ল্যাবে একটি ধারক, একটি ব্যাটারি-সুইচ আর একটি দ্বিতীয় ধারক $C_2$ আছে:

পাত-ধারক (plate capacitor) মোডে ক্ষেত্রফল $A$ , পাতের দূরত্ব $d$ (স্লাইডার, ধীরে সরানো ধরা হয়) আর ডাইইলেকট্রিক বেছে নাও। তৈরি ধারক (given C) মোডে সরাসরি μF-এ ধারকত্ব লেখো।
সুইচ জোড়ো/খোলো: যুক্ত থাকলে $V$ স্থির, খোলা থাকলে $Q$ স্থির।
ভাগ করো (share): খালি $C_2$ ( $C_1$ , $2C_1$ বা $3C_1$ ) নিয়ে চার্জ ভাগাভাগি।
শক্তির খাতা (energy ledger): ব্যাটারির কাজ + তোমার কাজ = সঞ্চিত শক্তি + তাপ — প্রতিটি পদক্ষেপে মিলিয়ে দেখো।

চ্যালেঞ্জগুলো শেষ করো, আর খাতায় লেখো চেপে মাপগুলো পর্যবেক্ষণ খাতায় (observation notebook) রাখো।

ধারকের শক্তির খাতা

Capacitor energy lab — battery, plates, slab, sharing and an energy ledger

↗

ধারকত্ব (capacitance) C₁1.328 × 10⁻¹⁰ F

চার্জ (charge) Q₁0 C

বিভব পার্থক্য (p.d.) V₁0 V

সঞ্চিত শক্তি (energy) U₁ = ½CV²0 J

শক্তি ঘনত্ব (energy density) u = ½Kε₀E²0 J/m³E = 0 V/m

ব্যাটারি (battery) ও সুইচ (switch)V

পাতের ক্ষেত্রফল (area) Am² (বদলালে নতুন খালি ধারক)

পাতের দূরত্ব (separation) d = 2.0 mm — ধীরে টানো/ঠেলো

পাতের মাঝে ডাইইলেকট্রিক (dielectric slab)

দ্বিতীয় ধারক C₂ (খালি নাও, তারপর ভাগ করো)

শক্তির খাতা (energy ledger)

ব্যাটারির কাজ (battery work) ΣV·ΔQ0 J

তোমার কাজ (your work: plates, slab)0 J

সঞ্চিত শক্তি (stored) U₁ + U₂0 J

তাপ ও স্ফুলিঙ্গ (heat, spark)0 J

হিসাব (balance): 0 J = 0 J ✓

সুইচ জুড়ে চার্জ করো, তারপর সুইচ খোলা বা যুক্ত রেখে পাত সরাও, ডাইইলেকট্রিক বদলাও, বা C₂-এর সাথে ভাগ করো। প্রতিবার খাতায় দেখো শক্তি কোথা থেকে এল আর কোথায় গেল। ঋণাত্মক “তোমার কাজ” মানে ক্ষেত্রই তোমার হাতে কাজ করেছে।

চ্যালেঞ্জ (challenges)

0/6

“তৈরি ধারক” মোডে 0.6 μF ধারককে 84 V-এ চার্জ করো। Q আর U কত?
ব্যাটারি যুক্ত রেখে d 20 % কমাও (যেমন 2 mm → 1.6 mm)। U কত গুণ হলো?
চার্জ করে ব্যাটারি খুলে দাও, তারপর d দ্বিগুণ করো। শক্তি কোথা থেকে এল?
C₁ চার্জ করে ব্যাটারি খোলো, তারপর খালি 2C₁-এর সাথে ভাগ করো। U কত হলো, বাকিটা কোথায়?
একই ধারককে একবার V আর একবার 3V-এ চার্জ করো (মাঝে নিষ্ক্রিয় করো)।
পাত-ধারক: A = 0.03 m², d = 2 mm, শূন্যস্থান, 150 V। C, U আর u মাপো।

পর্যবেক্ষণ খাতা (observation notebook)

এখনো কিছু লেখা হয়নি। চার্জ দিয়ে “খাতায় লেখো” চাপো।

বই পড়ার সময় সাবধান — পাঠ্যবইয়ের এই অংশে কিছু ভুল আছে:

উদাহরণ 2.15-এর 2 (পৃ. 132): “পাতের দূরত্ব 20 % কমানো হয়” — বই লিখেছে $d' = d - d/20 = 0.95d$ , উত্তর 5.26 %। কিন্তু $d$ -এর 20 % হলো $d/5$ : $d' = 0.8d$ , $C' = 1.25C$ , $V$ স্থির, তাই $U' = 1.25U$ — 25 % বৃদ্ধি। বই নিজেই একই প্রশ্ন পৃ. 133-এ (উদাহরণ 6) ঠিকভাবে 25 % করেছে।
উদাহরণ 2.15-এর 3 (পৃ. 132): “একটি বিচ্ছিন্ন সমান্তরাল পাত ধারকের দূরত্ব দ্বিগুণ” — বই $V$ স্থির ধরে $U/2$ পেয়েছে। বিচ্ছিন্ন ধারকে $Q$ স্থির: $U = Q^2/2C$ , $C$ অর্ধেক, তাই $U$ দ্বিগুণ (বাড়তি শক্তি পাত টানার কাজ)। $U/2$ ঠিক হতো কেবল ব্যাটারি যুক্ত থাকলে।
সূত্র-তালিকা (পৃ. 144): “P.E. = ½CV² = ½Q × V = B²/2C” — ছাপার ভুল; হবে $Q^2/2C$ ।
পৃ. 130 ও তথ্য ৪২ (পৃ. 161): “বিভব পার্থক্য স্থির থাকলে সঞ্চিত শক্তি তার চার্জের সমানুপাতিক” — $U = \tfrac12QV$ থেকে কথাটি সত্য, কিন্তু এর মানে আছে কেবল তখন, যখন $C$ বদলায় (পাত সরানো বা ডাইইলেকট্রিক ঢোকানো)। একটি নির্দিষ্ট ধারকে $V$ স্থির থাকলে $Q = CV$ -ও স্থির। বোর্ডের তথ্য হিসেবে এভাবেই মনে রাখো।
বই কোথাও $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}$ , কোথাও $8.854 \times 10^{-12}$ নেয়; তাই উত্তর তৃতীয় অঙ্কে একটু আলাদা (যেমন $1.327$ বনাম $1.328 \times 10^{-10}$ F)। দুটোই গ্রহণযোগ্য।

ঘরে বসে পরীক্ষা

LED জ্বালানো ধারক। লাগবে: একটি নতুন 1000 μF, 16 V ইলেকট্রোলাইটিক ধারক (electrolytic capacitor), একটি 470 μF ধারক, 3টি AA ব্যাটারি (একসাথে 4.5 V), একটি লাল LED আর একটি 220 Ω রোধ (resistor) — ইলেকট্রনিক্সের দোকানে সব মিলিয়ে ৫০ টাকার কম।

ধারকের লম্বা পা (বা গায়ের দাগ ছাড়া দিক) হলো +। এটি ব্যাটারির + প্রান্তে, অন্য পা − প্রান্তে কয়েক সেকেন্ড ধরে রাখো — চার্জ হলো।
ব্যাটারি সরিয়ে ধারকটিকে LED আর 220 Ω রোধের সাথে শ্রেণিতে জোড়ো (LED-এর লম্বা পা ধারকের + দিকে)। LED জ্বলে উঠে ধীরে ধীরে নিভে যাবে — ধারকের $\tfrac12CV^2 = \tfrac12 \times 10^{-3} \times 4.5^2 \approx 10$ mJ শক্তি আলো আর তাপ হলো।
470 μF দিয়ে আবার করো: শক্তি প্রায় অর্ধেক, আলো কম সময় থাকে। আবার 1000 μF-কে 2টি ব্যাটারিতে (3 V) চার্জ করে তুলনা করো — $V^2$ -এর প্রভাব দেখবে।

নিরাপত্তা: শুধু AA ব্যাটারি ব্যবহার করো — কখনো বিদ্যুতের লাইন (mains) বা মোবাইল চার্জার নয়। ইলেকট্রোলাইটিক ধারকের + আর − কখনো উল্টো জুড়বে না, আর গায়ে লেখা ভোল্টেজের বেশি দেবে না — তাতে ধারক গরম হয়ে ফেটে যেতে পারে। ক্যামেরার ফ্ল্যাশ, মশা মারার ব্যাট, পাখা, মাইক্রোওয়েভ বা টিভি কখনো খুলবে না: এদের ধারকে বিদ্যুৎ বন্ধ করার পরও প্রাণঘাতী চার্জ থেকে যেতে পারে।

পরীক্ষার প্রস্তুতি

১. (সৃজনশীল ঘ-ধরনের) দেখাও যে $C$ ধারকত্বের ধারককে $V$ বিভবে চার্জ করলে সঞ্চিত শক্তি $\tfrac12CV^2$ , আর সমান্তরাল পাত ধারকের শক্তি ঘনত্ব $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ ।

উত্তর দেখো

চার্জ $q$ থাকা অবস্থায় বিভব $v = q/C$ ; আরও $dq$ সরাতে কাজ $dW = (q/C)\,dq$ । মোট কাজ

W = \int_0^{Q}\frac{q}{C}\,dq = \frac{Q^2}{2C} = \frac12CV^2 \quad (Q = CV)

এই কাজই সঞ্চিত শক্তি $U$ । সমান্তরাল পাতে $C = \varepsilon_0A/d$ , $V = Ed$ , তাই $U = \tfrac12(\varepsilon_0A/d)(Ed)^2 = \tfrac12\varepsilon_0E^2(Ad)$ । পাতের মাঝের আয়তন $Ad$ দিয়ে ভাগ করলে $u = \tfrac12\varepsilon_0E^2$ ।

২. (প্রয়োগ) একটি সমান্তরাল পাত ধারকের প্রতিটি পাতের ক্ষেত্রফল 0.03 m², দূরত্ব 2 mm, মাঝে বাতাস। একে 150 V-এ চার্জ করা হলো। ধারকত্ব, সঞ্চিত শক্তি আর শক্তি ঘনত্ব নির্ণয় করো।

উত্তর দেখো

C = \frac{\varepsilon_0A}{d} = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 0.03}{0.002} = 1.33 \times 10^{-10}\ \text{F}

$U = \tfrac12CV^2 = \tfrac12 \times 1.328 \times 10^{-10} \times 150^2 = 1.49 \times 10^{-6}$ J। $E = V/d = 7.5 \times 10^4$ V m⁻¹, $u = \tfrac12\varepsilon_0E^2 = 2.49 \times 10^{-2}$ J m⁻³। যাচাই: $u \times Ad = 2.49 \times 10^{-2} \times 6 \times 10^{-5} = 1.49 \times 10^{-6}$ J ✓ (বইয়ের $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}$ নিলে $C = 1.327 \times 10^{-10}$ F, বাকি একই)।

৩. (উচ্চতর দক্ষতা) একটি সমান্তরাল পাত ধারক 100 V ব্যাটারিতে যুক্ত। (ক) ব্যাটারি যুক্ত রেখে পাতের দূরত্ব 20 % কমালে শক্তি শতকরা কত বাড়বে? (খ) ব্যাটারি খুলে নিয়ে দূরত্ব দ্বিগুণ করলে শক্তির কী হবে?

উত্তর দেখো

(ক) $d' = 0.8d \Rightarrow C' = C/0.8 = 1.25C$ । $V$ স্থির, তাই $U' = \tfrac12C'V^2 = 1.25U$ : 25 % বৃদ্ধি (বইয়ের 5.26 % ভুল)।

(খ) বিচ্ছিন্ন ধারকে $Q$ স্থির, $C' = C/2$ , তাই $U' = Q^2/2C' = 2U$ : শক্তি দ্বিগুণ। পাত পরস্পরকে টানে; টেনে আলাদা করার কাজই বাড়তি শক্তি। (ব্যাটারি যুক্ত থাকলে হতো $U/2$ ।)

৪. (প্রয়োগ, তাপমিতি) 220 V-এ চার্জিত একটি ধারক 0.15 kg ভরের একটি ধাতব খণ্ডে ( $s = 220$ J kg⁻¹ K⁻¹) জড়ানো তারের মধ্য দিয়ে নিষ্ক্রিয় করায় খণ্ডের তাপমাত্রা 0.4 K বাড়ল। ধারকত্ব কত?

উত্তর দেখো

তাপ $= ms\,\Delta\theta = 0.15 \times 220 \times 0.4 = 13.2$ J $= \tfrac12CV^2$ । তাই $C = 2 \times 13.2/220^2 = 5.45 \times 10^{-4}$ F $= 545$ μF।

৫. (বহুনির্বাচনি) 90 cm² ক্ষেত্রফলের দুটি পাত 2.5 mm দূরে, মাঝে বাতাস, বিভব পার্থক্য 400 V। সঞ্চিত শক্তি কত? (ক) $1.28 \times 10^{-8}$ J (খ) $2.55 \times 10^{-6}$ J (গ) $5.10 \times 10^{-6}$ J (ঘ) $2.55 \times 10^{-2}$ J

উত্তর দেখো

(খ)। $C = \varepsilon_0A/d = 8.854 \times 10^{-12} \times 90 \times 10^{-4}/(2.5 \times 10^{-3}) = 3.19 \times 10^{-11}$ F; $U = \tfrac12CV^2 = \tfrac12 \times 3.19 \times 10^{-11} \times 400^2 = 2.55 \times 10^{-6}$ J। (গ) হলো $QV$ — ½ বাদ পড়েছে; (ঘ)-তে cm²-কে m² করা হয়নি।

৬. (সৃজনশীল) 3 μF ধারকত্বের একটি ধারক 90 V-এ চার্জ করে ব্যাটারি খুলে নেওয়া হলো। এরপর এর সাথে একটি চার্জহীন 6 μF ধারক সমান্তরালে জোড়া হলো। (গ) জোড়ার পর সাধারণ বিভব কত? (ঘ) “জোড়ার আগে আর পরে চার্জ একই থাকলেও শক্তি একই থাকে না।” — গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

উত্তর দেখো

(গ) চার্জ $Q = 3 \times 10^{-6} \times 90 = 2.7 \times 10^{-4}$ C। সাধারণ বিভব $V = Q/(C_1 + C_2) = 2.7 \times 10^{-4}/(9 \times 10^{-6}) = 30$ V।

(ঘ) আগে: $U_1 = \tfrac12 \times 3 \times 10^{-6} \times 90^2 = 1.215 \times 10^{-2}$ J। পরে: $U_2 = \tfrac12 \times 9 \times 10^{-6} \times 30^2 = 4.05 \times 10^{-3}$ J $= U_1/3$ । মোট চার্জ $9 \times 10^{-6} \times 30 = 2.7 \times 10^{-4}$ C — অপরিবর্তিত। হারানো শক্তি $8.1 \times 10^{-3}$ J, যা সূত্র $C_1C_2(V_1 - V_2)^2/[2(C_1 + C_2)] = (3 \times 6 \times 10^{-12} \times 8100)/(18 \times 10^{-6}) = 8.1 \times 10^{-3}$ J-এর সাথে মেলে। এই শক্তি জোড়ার তারে তাপ, স্ফুলিঙ্গ আর বেতার তরঙ্গ হয়ে যায়। তাই উক্তিটি সঠিক।